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Grafici Funzioni Elementari PDF: Esempi, Esercizi e Formule

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Grafici Funzioni Elementari PDF: Esempi, Esercizi e Formule
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Irene Costa

@irenecosta_ddyo

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L'analisi delle funzioni elementari è fondamentale per comprendere i grafici funzioni elementari pdf. Questo documento esplora le caratteristiche e le equazioni di parabole, circonferenze, rette, ellissi e iperboli, fornendo formule chiave e rappresentazioni grafiche.

• La parabola è definita dall'equazione y = ax²+bx+c, con punti fondamentali come vertice e intersezioni con gli assi.
• La circonferenza ha l'equazione x² + y² + ax+by+c = 0, con casi particolari basati sui valori di a, b e c.
• Le rette sono rappresentate da y = mx + q, dove m è il coefficiente angolare.
• L'ellisse è descritta da x²/a² + y²/b² = 1, con fuochi e eccentricità.
• L'iperbole ha l'equazione x²/a² - y²/b² = 1, con asintoti e vertici caratteristici.

30/9/2022

2148

Parabola: grafico EQUAZIONE e FORMA y = ax²+bx+c PUNTI FONDAMENTALI INTERSEZIONE con l'asse x INTERSEZIONE Con l'asse y VERTICE GRAFICO . V=

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Circonferenza: Equazione e Casi Particolari

La circonferenza è definita dall'equazione circonferenza centro e raggio x² + y² + ax + by + c = 0, dove:

  • a = -2x₀
  • b = -2y₀
  • c = x₀² + y₀² - r²

(x₀, y₀) sono le coordinate del centro e r è il raggio.

Definizione: La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro.

Casi particolari della circonferenza:

  1. Se a = 0: il centro appartiene all'asse y
  2. Se b = 0: il centro appartiene all'asse x
  3. Se c = 0: la circonferenza passa per l'origine degli assi
  4. Se a = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse y e passa per l'origine
  5. Se a = b = 0: la circonferenza ha il centro nell'origine
  6. Se b = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse x e passa per l'origine

Highlight: La posizione di una retta rispetto alla circonferenza può essere determinata risolvendo il sistema tra l'equazione della retta e quella della circonferenza.

Formula: Il raggio della circonferenza può essere calcolato come r = √(x₀² + y₀² - c)

Per trovare la retta tangente alla circonferenza, si utilizza il metodo del fascio di rette imponendo la condizione di tangenza Δ = 0.

Parabola: grafico EQUAZIONE e FORMA y = ax²+bx+c PUNTI FONDAMENTALI INTERSEZIONE con l'asse x INTERSEZIONE Con l'asse y VERTICE GRAFICO . V=

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Rette: Equazione e Caratteristiche Principali

L'equazione generale di una retta è y = mx + q, dove:

  • m è il coefficiente angolare (pendenza della retta)
  • q è l'intercetta y (punto in cui la retta interseca l'asse y)

Definizione: Il coefficiente angolare m rappresenta la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x positivo.

Caratteristiche delle rette:

  • m > 0: la retta ha inclinazione positiva (< 90°)
  • m < 0: la retta ha inclinazione negativa (> 90°)
  • m = 0: la retta è parallela all'asse x
  • m = ∞: la retta è parallela all'asse y

Casi particolari:

  • Rette perpendicolari agli assi: y = ±k o x = ±k
  • Rette parallele: hanno lo stesso coefficiente angolare
  • Rette perpendicolari: il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1

Formula: L'intersezione tra due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni.

Highlight: La distanza di un punto da una retta si calcola trovando l'intersezione tra la retta data e la retta perpendicolare passante per il punto.

L'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio. Per trovarlo:

  1. Calcolare il punto medio del segmento
  2. Determinare l'equazione della retta passante per il punto medio e perpendicolare al segmento
Parabola: grafico EQUAZIONE e FORMA y = ax²+bx+c PUNTI FONDAMENTALI INTERSEZIONE con l'asse x INTERSEZIONE Con l'asse y VERTICE GRAFICO . V=

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Ellisse: Equazione e Proprietà Geometriche

L'equazione dell'ellisse con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² + y²/b² = 1

dove a e b sono i semiassi maggiore e minore rispettivamente.

Definizione: L'ellisse è il luogo geometrico dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'ellisse:

  1. Fuochi: si trovano sull'asse maggiore a una distanza c dal centro, dove c² = a² - b²
  2. Eccentricità: e = c/a, misura lo schiacciamento dell'ellisse (0 ≤ e < 1)
  3. Area: S = πab

Formula: La somma delle distanze di un punto qualsiasi dell'ellisse dai fuochi è sempre uguale a 2a.

Per un'ellisse traslata, l'equazione diventa:

(x-x₀)²/a² + (y-y₀)²/b² = 1

dove (x₀, y₀) sono le coordinate del centro.

Highlight: Il cambio di coordinate permette di spostare il centro dell'ellisse nell'origine degli assi cartesiani, semplificando i calcoli.

Esempio: Se i fuochi si trovano sull'asse y anziché sull'asse x, l'equazione dell'ellisse diventa y²/a² + x²/b² = 1, con a > b.

Parabola: grafico EQUAZIONE e FORMA y = ax²+bx+c PUNTI FONDAMENTALI INTERSEZIONE con l'asse x INTERSEZIONE Con l'asse y VERTICE GRAFICO . V=

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Iperbole: Equazione e Caratteristiche Fondamentali

L'equazione canonica dell'iperbole con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² - y²/b² = 1 (iperbole con asse trasverso sull'asse x) y²/a² - x²/b² = 1 (iperbole con asse trasverso sull'asse y)

dove a e b sono i semiassi.

Definizione: L'iperbole è il luogo geometrico dei punti per cui la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'iperbole:

  1. Vertici: V₁(-a, 0) e V₂(a, 0) per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x
  2. Fuochi: F₁(-c, 0) e F₂(c, 0), dove c² = a² + b²
  3. Asintoti: y = ±(b/a)x

Formula: Le coordinate dei fuochi sono (±√(a² + b²), 0) per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x.

Casi particolari:

  1. Iperbole equilatera: a = b, l'equazione diventa x² - y² = a²
  2. Iperbole omografica (ruotata e traslata): (x-x₀)(y-y₀) = k

Highlight: Gli asintoti dell'iperbole sono le rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano indefinitamente senza mai toccarle.

Esempio: L'equazione y = k/x rappresenta un'iperbole equilatera ruotata di 45° rispetto agli assi cartesiani.

Parabola: grafico EQUAZIONE e FORMA y = ax²+bx+c PUNTI FONDAMENTALI INTERSEZIONE con l'asse x INTERSEZIONE Con l'asse y VERTICE GRAFICO . V=

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Parabola: Grafico e Caratteristiche

La parabola è una delle funzioni elementari più importanti in matematica. La sua equazione generale è y = ax²+bx+c, dove a, b e c sono costanti e a ≠ 0.

Il grafico della parabola dipende dal valore di a:

  • Se a > 0, la parabola è concava verso l'alto
  • Se a < 0, la parabola è concava verso il basso

Punti fondamentali della parabola:

  1. Intersezioni con l'asse x: si trovano risolvendo l'equazione ax²+bx+c = 0
  2. Intersezione con l'asse y: si trova ponendo x = 0 nell'equazione
  3. Vertice: il punto più alto (o più basso) della parabola

Formula: Il vertice ha coordinate V = (-b/(2a), -Δ/(4a)), dove Δ = b²-4ac

La parabola può intersecare una retta in diversi modi:

  • Secante: la retta interseca la parabola in due punti
  • Tangente: la retta tocca la parabola in un solo punto
  • Esterna: la retta non interseca la parabola

Highlight: Per trovare la retta tangente a una parabola in un punto, si usa il metodo del fascio di piani imponendo la condizione di tangenza Δ = 0.

Esempio: Una parabola passante per 3 punti può essere trovata risolvendo un sistema di 3 equazioni.

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• La parabola è definita dall'equazione y = ax²+bx+c, con punti fondamentali come vertice e intersezioni con gli assi.
• La circonferenza ha l'equazione x² + y² + ax+by+c = 0, con casi particolari basati sui valori di a, b e c.
• Le rette sono rappresentate da y = mx + q, dove m è il coefficiente angolare.
• L'ellisse è descritta da x²/a² + y²/b² = 1, con fuochi e eccentricità.
• L'iperbole ha l'equazione x²/a² - y²/b² = 1, con asintoti e vertici caratteristici.

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Circonferenza: Equazione e Casi Particolari

La circonferenza è definita dall'equazione circonferenza centro e raggio x² + y² + ax + by + c = 0, dove:

  • a = -2x₀
  • b = -2y₀
  • c = x₀² + y₀² - r²

(x₀, y₀) sono le coordinate del centro e r è il raggio.

Definizione: La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro.

Casi particolari della circonferenza:

  1. Se a = 0: il centro appartiene all'asse y
  2. Se b = 0: il centro appartiene all'asse x
  3. Se c = 0: la circonferenza passa per l'origine degli assi
  4. Se a = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse y e passa per l'origine
  5. Se a = b = 0: la circonferenza ha il centro nell'origine
  6. Se b = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse x e passa per l'origine

Highlight: La posizione di una retta rispetto alla circonferenza può essere determinata risolvendo il sistema tra l'equazione della retta e quella della circonferenza.

Formula: Il raggio della circonferenza può essere calcolato come r = √(x₀² + y₀² - c)

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Rette: Equazione e Caratteristiche Principali

L'equazione generale di una retta è y = mx + q, dove:

  • m è il coefficiente angolare (pendenza della retta)
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Caratteristiche delle rette:

  • m > 0: la retta ha inclinazione positiva (< 90°)
  • m < 0: la retta ha inclinazione negativa (> 90°)
  • m = 0: la retta è parallela all'asse x
  • m = ∞: la retta è parallela all'asse y

Casi particolari:

  • Rette perpendicolari agli assi: y = ±k o x = ±k
  • Rette parallele: hanno lo stesso coefficiente angolare
  • Rette perpendicolari: il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1

Formula: L'intersezione tra due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni.

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Ellisse: Equazione e Proprietà Geometriche

L'equazione dell'ellisse con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² + y²/b² = 1

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Caratteristiche principali dell'ellisse:

  1. Fuochi: si trovano sull'asse maggiore a una distanza c dal centro, dove c² = a² - b²
  2. Eccentricità: e = c/a, misura lo schiacciamento dell'ellisse (0 ≤ e < 1)
  3. Area: S = πab

Formula: La somma delle distanze di un punto qualsiasi dell'ellisse dai fuochi è sempre uguale a 2a.

Per un'ellisse traslata, l'equazione diventa:

(x-x₀)²/a² + (y-y₀)²/b² = 1

dove (x₀, y₀) sono le coordinate del centro.

Highlight: Il cambio di coordinate permette di spostare il centro dell'ellisse nell'origine degli assi cartesiani, semplificando i calcoli.

Esempio: Se i fuochi si trovano sull'asse y anziché sull'asse x, l'equazione dell'ellisse diventa y²/a² + x²/b² = 1, con a > b.

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Iperbole: Equazione e Caratteristiche Fondamentali

L'equazione canonica dell'iperbole con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² - y²/b² = 1 (iperbole con asse trasverso sull'asse x) y²/a² - x²/b² = 1 (iperbole con asse trasverso sull'asse y)

dove a e b sono i semiassi.

Definizione: L'iperbole è il luogo geometrico dei punti per cui la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'iperbole:

  1. Vertici: V₁(-a, 0) e V₂(a, 0) per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x
  2. Fuochi: F₁(-c, 0) e F₂(c, 0), dove c² = a² + b²
  3. Asintoti: y = ±(b/a)x

Formula: Le coordinate dei fuochi sono (±√(a² + b²), 0) per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x.

Casi particolari:

  1. Iperbole equilatera: a = b, l'equazione diventa x² - y² = a²
  2. Iperbole omografica (ruotata e traslata): (x-x₀)(y-y₀) = k

Highlight: Gli asintoti dell'iperbole sono le rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano indefinitamente senza mai toccarle.

Esempio: L'equazione y = k/x rappresenta un'iperbole equilatera ruotata di 45° rispetto agli assi cartesiani.

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Parabola: Grafico e Caratteristiche

La parabola è una delle funzioni elementari più importanti in matematica. La sua equazione generale è y = ax²+bx+c, dove a, b e c sono costanti e a ≠ 0.

Il grafico della parabola dipende dal valore di a:

  • Se a > 0, la parabola è concava verso l'alto
  • Se a < 0, la parabola è concava verso il basso

Punti fondamentali della parabola:

  1. Intersezioni con l'asse x: si trovano risolvendo l'equazione ax²+bx+c = 0
  2. Intersezione con l'asse y: si trova ponendo x = 0 nell'equazione
  3. Vertice: il punto più alto (o più basso) della parabola

Formula: Il vertice ha coordinate V = (-b/(2a), -Δ/(4a)), dove Δ = b²-4ac

La parabola può intersecare una retta in diversi modi:

  • Secante: la retta interseca la parabola in due punti
  • Tangente: la retta tocca la parabola in un solo punto
  • Esterna: la retta non interseca la parabola

Highlight: Per trovare la retta tangente a una parabola in un punto, si usa il metodo del fascio di piani imponendo la condizione di tangenza Δ = 0.

Esempio: Una parabola passante per 3 punti può essere trovata risolvendo un sistema di 3 equazioni.

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