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Grafici Funzioni Elementari PDF: Esempi, Esercizi e Formule

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Irene Costa

30/09/2022

Matematica

Grafici elementari di funzioni - caratteristiche e aspetti

Grafici Funzioni Elementari PDF: Esempi, Esercizi e Formule

L'analisi delle funzioni elementari è fondamentale per comprendere i grafici funzioni elementari pdf. Questo documento esplora le caratteristiche e le equazioni di parabole, circonferenze, rette, ellissi e iperboli, fornendo formule chiave e rappresentazioni grafiche.

• La parabola è definita dall'equazione y = ax²+bx+c, con punti fondamentali come vertice e intersezioni con gli assi.
• La circonferenza ha l'equazione x² + y² + ax+by+c = 0, con casi particolari basati sui valori di a, b e c.
• Le rette sono rappresentate da y = mx + q, dove m è il coefficiente angolare.
• L'ellisse è descritta da x²/a² + y²/b² = 1, con fuochi e eccentricità.
• L'iperbole ha l'equazione x²/a² - y²/b² = 1, con asintoti e vertici caratteristici.

...

30/09/2022

2685

Parabola: grafico
EQUAZIONE e FORMA
y = ax²+bx+c
PUNTI FONDAMENTALI
INTERSEZIONE con l'asse x
INTERSEZIONE Con l'asse y
VERTICE
GRAFICO
.
V=

Vedi

Circonferenza: Equazione e Casi Particolari

La circonferenza è definita dall'equazione circonferenza centro e raggio x² + y² + ax + by + c = 0, dove:

  • a = -2x₀
  • b = -2y₀
  • c = x₀² + y₀² - r²

x0,y0x₀, y₀ sono le coordinate del centro e r è il raggio.

Definizione: La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro.

Casi particolari della circonferenza:

  1. Se a = 0: il centro appartiene all'asse y
  2. Se b = 0: il centro appartiene all'asse x
  3. Se c = 0: la circonferenza passa per l'origine degli assi
  4. Se a = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse y e passa per l'origine
  5. Se a = b = 0: la circonferenza ha il centro nell'origine
  6. Se b = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse x e passa per l'origine

Highlight: La posizione di una retta rispetto alla circonferenza può essere determinata risolvendo il sistema tra l'equazione della retta e quella della circonferenza.

Formula: Il raggio della circonferenza può essere calcolato come r = √x02+y02cx₀² + y₀² - c

Per trovare la retta tangente alla circonferenza, si utilizza il metodo del fascio di rette imponendo la condizione di tangenza Δ = 0.

Parabola: grafico
EQUAZIONE e FORMA
y = ax²+bx+c
PUNTI FONDAMENTALI
INTERSEZIONE con l'asse x
INTERSEZIONE Con l'asse y
VERTICE
GRAFICO
.
V=

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Rette: Equazione e Caratteristiche Principali

L'equazione generale di una retta è y = mx + q, dove:

  • m è il coefficiente angolare pendenzadellarettapendenza della retta
  • q è l'intercetta y puntoincuilarettaintersecalasseypunto in cui la retta interseca l'asse y

Definizione: Il coefficiente angolare m rappresenta la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x positivo.

Caratteristiche delle rette:

  • m > 0: la retta ha inclinazione positiva <90°< 90°
  • m < 0: la retta ha inclinazione negativa >90°> 90°
  • m = 0: la retta è parallela all'asse x
  • m = ∞: la retta è parallela all'asse y

Casi particolari:

  • Rette perpendicolari agli assi: y = ±k o x = ±k
  • Rette parallele: hanno lo stesso coefficiente angolare
  • Rette perpendicolari: il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1

Formula: L'intersezione tra due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni.

Highlight: La distanza di un punto da una retta si calcola trovando l'intersezione tra la retta data e la retta perpendicolare passante per il punto.

L'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio. Per trovarlo:

  1. Calcolare il punto medio del segmento
  2. Determinare l'equazione della retta passante per il punto medio e perpendicolare al segmento
Parabola: grafico
EQUAZIONE e FORMA
y = ax²+bx+c
PUNTI FONDAMENTALI
INTERSEZIONE con l'asse x
INTERSEZIONE Con l'asse y
VERTICE
GRAFICO
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Ellisse: Equazione e Proprietà Geometriche

L'equazione dell'ellisse con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² + y²/b² = 1

dove a e b sono i semiassi maggiore e minore rispettivamente.

Definizione: L'ellisse è il luogo geometrico dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'ellisse:

  1. Fuochi: si trovano sull'asse maggiore a una distanza c dal centro, dove c² = a² - b²
  2. Eccentricità: e = c/a, misura lo schiacciamento dell'ellisse 0e<10 ≤ e < 1
  3. Area: S = πab

Formula: La somma delle distanze di un punto qualsiasi dell'ellisse dai fuochi è sempre uguale a 2a.

Per un'ellisse traslata, l'equazione diventa:

xx0x-x₀²/a² + yy0y-y₀²/b² = 1

dove x0,y0x₀, y₀ sono le coordinate del centro.

Highlight: Il cambio di coordinate permette di spostare il centro dell'ellisse nell'origine degli assi cartesiani, semplificando i calcoli.

Esempio: Se i fuochi si trovano sull'asse y anziché sull'asse x, l'equazione dell'ellisse diventa y²/a² + x²/b² = 1, con a > b.

Parabola: grafico
EQUAZIONE e FORMA
y = ax²+bx+c
PUNTI FONDAMENTALI
INTERSEZIONE con l'asse x
INTERSEZIONE Con l'asse y
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Iperbole: Equazione e Caratteristiche Fondamentali

L'equazione canonica dell'iperbole con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² - y²/b² = 1 iperboleconassetrasversosullassexiperbole con asse trasverso sull'asse x y²/a² - x²/b² = 1 iperboleconassetrasversosullasseyiperbole con asse trasverso sull'asse y

dove a e b sono i semiassi.

Definizione: L'iperbole è il luogo geometrico dei punti per cui la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'iperbole:

  1. Vertici: V₁a,0-a, 0 e V₂a,0a, 0 per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x
  2. Fuochi: F₁c,0-c, 0 e F₂c,0c, 0, dove c² = a² + b²
  3. Asintoti: y = ±b/ab/ax

Formula: Le coordinate dei fuochi sono ±(a2+b2±√(a² + b², 0) per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x.

Casi particolari:

  1. Iperbole equilatera: a = b, l'equazione diventa x² - y² = a²
  2. Iperbole omografica ruotataetraslataruotata e traslata: xx0x-x₀yy0y-y₀ = k

Highlight: Gli asintoti dell'iperbole sono le rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano indefinitamente senza mai toccarle.

Esempio: L'equazione y = k/x rappresenta un'iperbole equilatera ruotata di 45° rispetto agli assi cartesiani.

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

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Utente iOS

Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

2685

30 set 2022

5 pagine

Grafici Funzioni Elementari PDF: Esempi, Esercizi e Formule

I

Irene Costa

@irenecosta_ddyo

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y = ax²+bx+c
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Circonferenza: Equazione e Casi Particolari

La circonferenza è definita dall'equazione circonferenza centro e raggio x² + y² + ax + by + c = 0, dove:

  • a = -2x₀
  • b = -2y₀
  • c = x₀² + y₀² - r²

x0,y0x₀, y₀ sono le coordinate del centro e r è il raggio.

Definizione: La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro.

Casi particolari della circonferenza:

  1. Se a = 0: il centro appartiene all'asse y
  2. Se b = 0: il centro appartiene all'asse x
  3. Se c = 0: la circonferenza passa per l'origine degli assi
  4. Se a = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse y e passa per l'origine
  5. Se a = b = 0: la circonferenza ha il centro nell'origine
  6. Se b = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse x e passa per l'origine

Highlight: La posizione di una retta rispetto alla circonferenza può essere determinata risolvendo il sistema tra l'equazione della retta e quella della circonferenza.

Formula: Il raggio della circonferenza può essere calcolato come r = √x02+y02cx₀² + y₀² - c

Per trovare la retta tangente alla circonferenza, si utilizza il metodo del fascio di rette imponendo la condizione di tangenza Δ = 0.

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Rette: Equazione e Caratteristiche Principali

L'equazione generale di una retta è y = mx + q, dove:

  • m è il coefficiente angolare pendenzadellarettapendenza della retta
  • q è l'intercetta y puntoincuilarettaintersecalasseypunto in cui la retta interseca l'asse y

Definizione: Il coefficiente angolare m rappresenta la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x positivo.

Caratteristiche delle rette:

  • m > 0: la retta ha inclinazione positiva <90°< 90°
  • m < 0: la retta ha inclinazione negativa >90°> 90°
  • m = 0: la retta è parallela all'asse x
  • m = ∞: la retta è parallela all'asse y

Casi particolari:

  • Rette perpendicolari agli assi: y = ±k o x = ±k
  • Rette parallele: hanno lo stesso coefficiente angolare
  • Rette perpendicolari: il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1

Formula: L'intersezione tra due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni.

Highlight: La distanza di un punto da una retta si calcola trovando l'intersezione tra la retta data e la retta perpendicolare passante per il punto.

L'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio. Per trovarlo:

  1. Calcolare il punto medio del segmento
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Ellisse: Equazione e Proprietà Geometriche

L'equazione dell'ellisse con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² + y²/b² = 1

dove a e b sono i semiassi maggiore e minore rispettivamente.

Definizione: L'ellisse è il luogo geometrico dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'ellisse:

  1. Fuochi: si trovano sull'asse maggiore a una distanza c dal centro, dove c² = a² - b²
  2. Eccentricità: e = c/a, misura lo schiacciamento dell'ellisse 0e<10 ≤ e < 1
  3. Area: S = πab

Formula: La somma delle distanze di un punto qualsiasi dell'ellisse dai fuochi è sempre uguale a 2a.

Per un'ellisse traslata, l'equazione diventa:

xx0x-x₀²/a² + yy0y-y₀²/b² = 1

dove x0,y0x₀, y₀ sono le coordinate del centro.

Highlight: Il cambio di coordinate permette di spostare il centro dell'ellisse nell'origine degli assi cartesiani, semplificando i calcoli.

Esempio: Se i fuochi si trovano sull'asse y anziché sull'asse x, l'equazione dell'ellisse diventa y²/a² + x²/b² = 1, con a > b.

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Iperbole: Equazione e Caratteristiche Fondamentali

L'equazione canonica dell'iperbole con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² - y²/b² = 1 iperboleconassetrasversosullassexiperbole con asse trasverso sull'asse x y²/a² - x²/b² = 1 iperboleconassetrasversosullasseyiperbole con asse trasverso sull'asse y

dove a e b sono i semiassi.

Definizione: L'iperbole è il luogo geometrico dei punti per cui la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'iperbole:

  1. Vertici: V₁a,0-a, 0 e V₂a,0a, 0 per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x
  2. Fuochi: F₁c,0-c, 0 e F₂c,0c, 0, dove c² = a² + b²
  3. Asintoti: y = ±b/ab/ax

Formula: Le coordinate dei fuochi sono ±(a2+b2±√(a² + b², 0) per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x.

Casi particolari:

  1. Iperbole equilatera: a = b, l'equazione diventa x² - y² = a²
  2. Iperbole omografica ruotataetraslataruotata e traslata: xx0x-x₀yy0y-y₀ = k

Highlight: Gli asintoti dell'iperbole sono le rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano indefinitamente senza mai toccarle.

Esempio: L'equazione y = k/x rappresenta un'iperbole equilatera ruotata di 45° rispetto agli assi cartesiani.

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Parabola: Grafico e Caratteristiche

La parabola è una delle funzioni elementari più importanti in matematica. La sua equazione generale è y = ax²+bx+c, dove a, b e c sono costanti e a ≠ 0.

Il grafico della parabola dipende dal valore di a:

  • Se a > 0, la parabola è concava verso l'alto
  • Se a < 0, la parabola è concava verso il basso

Punti fondamentali della parabola:

  1. Intersezioni con l'asse x: si trovano risolvendo l'equazione ax²+bx+c = 0
  2. Intersezione con l'asse y: si trova ponendo x = 0 nell'equazione
  3. Vertice: il punto più alto opiuˋbassoo più basso della parabola

Formula: Il vertice ha coordinate V = b/(2a-b/(2a, -Δ/4a4a), dove Δ = b²-4ac

La parabola può intersecare una retta in diversi modi:

  • Secante: la retta interseca la parabola in due punti
  • Tangente: la retta tocca la parabola in un solo punto
  • Esterna: la retta non interseca la parabola

Highlight: Per trovare la retta tangente a una parabola in un punto, si usa il metodo del fascio di piani imponendo la condizione di tangenza Δ = 0.

Esempio: Una parabola passante per 3 punti può essere trovata risolvendo un sistema di 3 equazioni.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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Anastasia

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Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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