Circonferenza: Equazione e Casi Particolari

La circonferenza è definita dall'equazione circonferenza centro e raggio x² + y² + ax + by + c = 0, dove:

• a = -2x₀
• b = -2y₀
• c = x₀² + y₀² - r²

(x₀, y₀) sono le coordinate del centro e r è il raggio.

Definizione: La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro.

Casi particolari della circonferenza:

1. Se a = 0: il centro appartiene all'asse y
2. Se b = 0: il centro appartiene all'asse x
3. Se c = 0: la circonferenza passa per l'origine degli assi
4. Se a = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse y e passa per l'origine
5. Se a = b = 0: la circonferenza ha il centro nell'origine
6. Se b = c = 0: la circonferenza ha centro sull'asse x e passa per l'origine

Highlight: La posizione di una retta rispetto alla circonferenza può essere determinata risolvendo il sistema tra l'equazione della retta e quella della circonferenza.

Formula: Il raggio della circonferenza può essere calcolato come r = √$x₀² + y₀² - c$

Per trovare la retta tangente alla circonferenza, si utilizza il metodo del fascio di rette imponendo la condizione di tangenza Δ = 0.

Rette: Equazione e Caratteristiche Principali

L'equazione generale di una retta è y = mx + q, dove:

• m è il coefficiente angolare (pendenza della retta)
• q è l'intercetta y (punto in cui la retta interseca l'asse y)

Definizione: Il coefficiente angolare m rappresenta la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x positivo.

Caratteristiche delle rette:

• m > 0: la retta ha inclinazione positiva (< 90°)
• m < 0: la retta ha inclinazione negativa (> 90°)
• m = 0: la retta è parallela all'asse x
• m = ∞: la retta è parallela all'asse y

Casi particolari:

• Rette perpendicolari agli assi: y = ±k o x = ±k
• Rette parallele: hanno lo stesso coefficiente angolare
• Rette perpendicolari: il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1

Formula: L'intersezione tra due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni.

Highlight: La distanza di un punto da una retta si calcola trovando l'intersezione tra la retta data e la retta perpendicolare passante per il punto.

L'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio. Per trovarlo:

1. Calcolare il punto medio del segmento
2. Determinare l'equazione della retta passante per il punto medio e perpendicolare al segmento

Ellisse: Equazione e Proprietà Geometriche

L'equazione dell'ellisse con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² + y²/b² = 1

dove a e b sono i semiassi maggiore e minore rispettivamente.

Definizione: L'ellisse è il luogo geometrico dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'ellisse:

1. Fuochi: si trovano sull'asse maggiore a una distanza c dal centro, dove c² = a² - b²
2. Eccentricità: e = c/a, misura lo schiacciamento dell'ellisse (0 ≤ e < 1)
3. Area: S = πab

Formula: La somma delle distanze di un punto qualsiasi dell'ellisse dai fuochi è sempre uguale a 2a.

Per un'ellisse traslata, l'equazione diventa:

$x-x₀$²/a² + $y-y₀$²/b² = 1

dove (x₀, y₀) sono le coordinate del centro.

Highlight: Il cambio di coordinate permette di spostare il centro dell'ellisse nell'origine degli assi cartesiani, semplificando i calcoli.

Esempio: Se i fuochi si trovano sull'asse y anziché sull'asse x, l'equazione dell'ellisse diventa y²/a² + x²/b² = 1, con a > b.

Iperbole: Equazione e Caratteristiche Fondamentali

L'equazione canonica dell'iperbole con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² - y²/b² = 1 (iperbole con asse trasverso sull'asse x) y²/a² - x²/b² = 1 (iperbole con asse trasverso sull'asse y)

dove a e b sono i semiassi.

Definizione: L'iperbole è il luogo geometrico dei punti per cui la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'iperbole:

1. Vertici: V₁$-a, 0$ e V₂(a, 0) per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x
2. Fuochi: F₁$-c, 0$ e F₂(c, 0), dove c² = a² + b²
3. Asintoti: y = ±(b/a)x

Formula: Le coordinate dei fuochi sono $±√(a² + b²), 0$ per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x.

Casi particolari:

1. Iperbole equilatera: a = b, l'equazione diventa x² - y² = a²
2. Iperbole omografica (ruotata e traslata): x-x₀$$y-y₀ = k

Highlight: Gli asintoti dell'iperbole sono le rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano indefinitamente senza mai toccarle.

Esempio: L'equazione y = k/x rappresenta un'iperbole equilatera ruotata di 45° rispetto agli assi cartesiani.

Parabola: Grafico e Caratteristiche

La parabola è una delle funzioni elementari più importanti in matematica. La sua equazione generale è y = ax²+bx+c, dove a, b e c sono costanti e a ≠ 0.

Il grafico della parabola dipende dal valore di a:

• Se a > 0, la parabola è concava verso l'alto
• Se a < 0, la parabola è concava verso il basso

Punti fondamentali della parabola:

1. Intersezioni con l'asse x: si trovano risolvendo l'equazione ax²+bx+c = 0
2. Intersezione con l'asse y: si trova ponendo x = 0 nell'equazione
3. Vertice: il punto più alto (o più basso) della parabola

Formula: Il vertice ha coordinate V = $-b/(2a), -Δ/(4a)$, dove Δ = b²-4ac

La parabola può intersecare una retta in diversi modi:

• Secante: la retta interseca la parabola in due punti
• Tangente: la retta tocca la parabola in un solo punto
• Esterna: la retta non interseca la parabola

Highlight: Per trovare la retta tangente a una parabola in un punto, si usa il metodo del fascio di piani imponendo la condizione di tangenza Δ = 0.

Esempio: Una parabola passante per 3 punti può essere trovata risolvendo un sistema di 3 equazioni.