Ellisse: Equazione e Proprietà Geometriche
L'equazione dell'ellisse con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:
x²/a² + y²/b² = 1
dove a e b sono i semiassi maggiore e minore rispettivamente.
Definizione: L'ellisse è il luogo geometrico dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.
Caratteristiche principali dell'ellisse:
- Fuochi: si trovano sull'asse maggiore a una distanza c dal centro, dove c² = a² - b²
- Eccentricità: e = c/a, misura lo schiacciamento dell'ellisse (0 ≤ e < 1)
- Area: S = πab
Formula: La somma delle distanze di un punto qualsiasi dell'ellisse dai fuochi è sempre uguale a 2a.
Per un'ellisse traslata, l'equazione diventa:
(x-x₀)²/a² + (y-y₀)²/b² = 1
dove (x₀, y₀) sono le coordinate del centro.
Highlight: Il cambio di coordinate permette di spostare il centro dell'ellisse nell'origine degli assi cartesiani, semplificando i calcoli.
Esempio: Se i fuochi si trovano sull'asse y anziché sull'asse x, l'equazione dell'ellisse diventa y²/a² + x²/b² = 1, con a > b.