Rette: Equazione e Caratteristiche Principali

L'equazione generale di una retta è y = mx + q, dove:

• m è il coefficiente angolare (pendenza della retta)
• q è l'intercetta y (punto in cui la retta interseca l'asse y)

Definizione: Il coefficiente angolare m rappresenta la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x positivo.

Caratteristiche delle rette:

• m > 0: la retta ha inclinazione positiva (< 90°)
• m < 0: la retta ha inclinazione negativa (> 90°)
• m = 0: la retta è parallela all'asse x
• m = ∞: la retta è parallela all'asse y

Casi particolari:

• Rette perpendicolari agli assi: y = ±k o x = ±k
• Rette parallele: hanno lo stesso coefficiente angolare
• Rette perpendicolari: il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1

Formula: L'intersezione tra due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni.

Highlight: La distanza di un punto da una retta si calcola trovando l'intersezione tra la retta data e la retta perpendicolare passante per il punto.

L'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio. Per trovarlo:

1. Calcolare il punto medio del segmento
2. Determinare l'equazione della retta passante per il punto medio e perpendicolare al segmento

Iperbole: Equazione e Caratteristiche Fondamentali

L'equazione canonica dell'iperbole con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi cartesiani è:

x²/a² - y²/b² = 1 (iperbole con asse trasverso sull'asse x) y²/a² - x²/b² = 1 (iperbole con asse trasverso sull'asse y)

dove a e b sono i semiassi.

Definizione: L'iperbole è il luogo geometrico dei punti per cui la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Caratteristiche principali dell'iperbole:

1. Vertici: V₁(-a, 0) e V₂(a, 0) per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x
2. Fuochi: F₁(-c, 0) e F₂(c, 0), dove c² = a² + b²
3. Asintoti: y = ±(b/a)x

Formula: Le coordinate dei fuochi sono (±√(a² + b²), 0) per l'iperbole con asse trasverso sull'asse x.

Casi particolari:

1. Iperbole equilatera: a = b, l'equazione diventa x² - y² = a²
2. Iperbole omografica (ruotata e traslata): (x-x₀)(y-y₀) = k

Highlight: Gli asintoti dell'iperbole sono le rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano indefinitamente senza mai toccarle.

Esempio: L'equazione y = k/x rappresenta un'iperbole equilatera ruotata di 45° rispetto agli assi cartesiani.