Introduzione alla Goniometria

Sapevi che gli angoli e gli archi sono in proporzionalità diretta? Questo significa che puoi misurare gli angoli in gradi oppure gli archi in centimetri - è geniale!

Il trucco è usare il raggio come unità di misura. Così tutti gli archi hanno lo stesso valore, indipendentemente dalla grandezza della circonferenza. È come avere una misura universale che funziona sempre.

La circonferenza completa misura 360° oppure 2π raggi (circa 6,28 raggi). Per semplificarci la vita, useremo sempre la circonferenza trigonometrica con raggio = 1.

💡 Trucco: Un radiante corrisponde a circa 57°. Ricordatelo, ti servirà!

Misure degli Angoli e Periodicità

Ecco le corrispondenze fondamentali che devi memorizzare:

• π/2 = 90°
• π = 180°
• 3π/2 = 270°
• 2π = 360° = 0°

La cosa figata è che dopo 360° tutto si ripete! È come se la circonferenza fosse una spirale che torna sempre sui suoi passi. Questo si chiama periodicità.

Se hai un angolo maggiore di 360°, devi sottrarre 360° fino a ottenere un angolo tra 0° e 360°. Per esempio: 1520° diventa 80° dopo aver tolto 360° per quattro volte.

💡 Importante: Gli angoli sono periodici di 360° - questo concetto ti semplificherà tantissimo i calcoli!

La Funzione Seno

Il seno di α è semplicemente la coordinata y del punto sulla circonferenza. È il rapporto tra l'altezza PH e il raggio (che nella circonferenza trigonometrica vale 1).

I valori chiave da ricordare sono:

• sen 0° = 0
• sen 90° = 1
• sen 180° = 0
• sen 270° = -1
• sen 360° = 0

Il seno parte da zero, sale fino a 1, ridiscende a zero, scende fino a -1 e risale a zero. È un movimento ondulatorio perfetto!

💡 Visualizza: Immagina il punto che gira sulla circonferenza - l'altezza che proietta sull'asse y è esattamente il seno!

Il Grafico della Sinusoide

Per disegnare y = sen x, immagina di "srotolare" la circonferenza sull'asse delle x. Ogni punto della circonferenza diventa un punto del grafico.

Il risultato è la famosa sinusoide - quella curva ondulata che hai visto mille volte! Ha caratteristiche precise:

La funzione è limitata tra -1 e +1, parte dall'origine con valore 0 ed è periodica di periodo 2π. Significa che ogni 2π la curva si ripete identica.

Questa è una delle curve più importanti in matematica e fisica - la ritroverai ovunque, dalle onde sonore alle oscillazioni!

💡 Ricorda: La sinusoide oscilla sempre tra -1 e +1, mai oltre questi valori!

La Funzione Coseno

Il coseno di α è la coordinata x del punto sulla circonferenza. È il rapporto tra il segmento orizzontale OH e il raggio.

I valori fondamentali sono:

• cos 0° = 1
• cos 90° = 0
• cos 180° = -1
• cos 270° = 0
• cos 360° = 1

A differenza del seno, il coseno parte da 1, scende a zero, continua fino a -1, risale a zero e torna a 1.

💡 Confronto: Il coseno è come il seno "spostato" di 90° - inizia dal massimo invece che da zero!

Il Grafico della Cosinusoide

La cosinusoide $y = cos x$ si disegna con lo stesso metodo del seno: srotoli la circonferenza e proietti le coordinate x.

Caratteristiche della cosinusoide: parte dall'origine con valore 1, è limitata tra -1 e +1, ed è periodica di periodo 2π.

La differenza principale con il seno? La cosinusoide inizia dal valore massimo (1) invece che da zero. È come se fosse la sinusoide "anticipata" di 90°.

Questa funzione è cruciale per descrivere fenomeni che iniziano dal loro valore massimo, come certi tipi di oscillazioni.

💡 Trucco: Coseno = seno spostato di π/2. Se conosci uno, conosci anche l'altro!

La Funzione Tangente - Parte 1

La tangente di α è più complicata: è il rapporto tra il segmento AT (sulla tangente alla circonferenza in A) e il raggio OA.

I valori base sono:

• tg 0° = 0
• tg 90° = +∞ (non esiste!)
• tg 180° = 0

La tangente ha un comportamento particolare: parte da 0, cresce rapidamente e "esplode" verso +∞ quando si avvicina a 90°. Poi ricompare da -∞ appena dopo 90°.

💡 Attenzione: La tangente non esiste a 90°, 270°, ecc. - questi sono punti di discontinuità!

La Funzione Tangente - Parte 2

Dopo 90°, la tangente ricompare da -∞ e cresce fino a raggiungere 0 a 180°. Poi il ciclo ricomincia identico.

La tangente è periodica di periodo π (180°), non 2π come seno e coseno. Si ripete ogni mezzo giro invece che ogni giro completo.

Per disegnare la tangentoide, usi sempre il metodo dello "srotolamento", ma stavolta proietti i valori AT invece delle coordinate x o y.

Il grafico risultante ha delle asintoti verticali nei punti dove la funzione non esiste (90°, 270°, ecc.).

💡 Caratteristica unica: La tangente è l'unica funzione trigonometrica sempre crescente nei suoi intervalli di esistenza!

Il Grafico della Tangentoide

La tangentoide $y = tg x$ ha un aspetto molto particolare: sembra una serie di "S" ripetute, separate da linee verticali (asintoti).

Caratteristiche principali: parte dall'origine con valore 0, è sempre crescente dove esiste, è illimitata (può assumere qualsiasi valore reale), ed è periodica di periodo π.

I punti critici sono i multipli dispari di π/2, dove la funzione diventa infinita e "salta" da +∞ a -∞.

Questa funzione è fondamentale per calcolare pendenze, angoli di inclinazione e in molti problemi di fisica e ingegneria.

💡 Visualizza: La tangentoide sembra una scala infinita che sale sempre, ma viene "tagliata" ogni π/2!

Funzioni Reciproche vs Inverse

Attenzione a non confondere! Le funzioni reciproche si ottengono facendo 1/funzione, mentre le funzioni inverse si ottengono scambiando x e y.

Per esempio: la reciproca di e^x è 1/e^x, ma la sua inversa è log x.

Le funzioni inverse trigonometriche sono:

• arcsen x (inversa del seno)
• arccos x (inversa del coseno)
• arctg x (inversa della tangente)

Queste funzioni ti servono per risolvere le equazioni trigonometriche quando devi trovare l'angolo conoscendo il valore della funzione trigonometrica.

💡 Quando usarle: Le funzioni inverse ti permettono di "tornare indietro" - dal valore della funzione all'angolo originale!