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Maria Varavallo
21/11/2025
Matematica
Iperbole
3965
•
21 nov 2025
•
Maria Varavallo
@mariavaravallo_ngfo
L'iperbole è una delle curve più affascinanti della geometria analitica!... Mostra di più
Pensa all'iperbole come a una curva che "si apre" verso l'infinito mantenendo sempre la stessa regola matematica. È il luogo geometrico dei punti P per cui la differenza in valore assoluto delle distanze da due fuochi F₁ e F₂ rimane costante: |PF₁ - PF₂| = costante.
La forma dell'iperbole dipende dall'orientamento dei fuochi. Quando i fuochi sono sull'asse x, l'equazione canonica è con a > b. Se i fuochi sono sull'asse y, diventa con a < b.
💡 Ricorda: La relazione fondamentale è sempre c² = a² + b², dove c è la semidistanza focale!
I parametri chiave sono il semiasse trasverso (a), il semiasse non trasverso (b) e la semidistanza focale (c). L'eccentricità e = c/a è sempre maggiore di 1, distinguendo l'iperbole dalle altre coniche. Gli asintoti hanno equazioni y = ±x e rappresentano le rette verso cui tende la curva.
Trovare l'equazione di un'iperbole è più semplice di quanto sembri! Hai bisogno di due condizioni tra fuochi, semiassi, punti di passaggio o eccentricità. Ogni condizione diventa un'equazione nel sistema che risolvi.
Per un'iperbole passante per due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), usi la forma αx² - βy² = 1. Sostituisci le coordinate dei punti e risolvi il sistema nelle incognite α e β. Poi trasformi tutto nell'equazione canonica.
💡 Trucco importante: Le incognite sono sempre a² e b², non a e b!
Le rette tangenti si trovano con tecniche specifiche. Per un punto esterno P₀(x₀, y₀), scrivi il fascio di rette y - y₀ = m e imponi la condizione di tangenza (Δ = 0). Per la tangente in un punto dell'iperbole, usa la formula di sdoppiamento: sostituisci x² con x₀x e y² con y₀y nell'equazione.
L'iperbole equilatera è un caso speciale dove i semiassi sono uguali: a = b. La sua equazione si semplifica in x² - y² = a² e gli asintoti diventano le bisettrici y = ±x. È come se l'iperbole fosse perfettamente "simmetrica"!
Quando ruoti l'iperbole equilatera di ±45°, ottieni l'equazione xy = k. Se k > 0, la curva si trova nel I e III quadrante; se k < 0, nel II e IV quadrante. I fuochi si spostano di conseguenza lungo le bisettrici.
💡 Connessione utile: La funzione omografica y = / è proprio un'iperbole equilatera ruotata e traslata!
La funzione omografica rappresenta l'evoluzione finale di questo percorso. Ha centro O' e asintoti x = -d/c e y = a/c. È fondamentale per lo studio di funzioni e trova applicazioni pratiche in fisica e economia.
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Maria Varavallo
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L'iperbole è una delle curve più affascinanti della geometria analitica! È il luogo dei punti che mantengono costante la differenza delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi. Questa conica presenta caratteristiche uniche come gli asintoti e forme speciali come... Mostra di più
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Pensa all'iperbole come a una curva che "si apre" verso l'infinito mantenendo sempre la stessa regola matematica. È il luogo geometrico dei punti P per cui la differenza in valore assoluto delle distanze da due fuochi F₁ e F₂ rimane costante: |PF₁ - PF₂| = costante.
La forma dell'iperbole dipende dall'orientamento dei fuochi. Quando i fuochi sono sull'asse x, l'equazione canonica è con a > b. Se i fuochi sono sull'asse y, diventa con a < b.
💡 Ricorda: La relazione fondamentale è sempre c² = a² + b², dove c è la semidistanza focale!
I parametri chiave sono il semiasse trasverso (a), il semiasse non trasverso (b) e la semidistanza focale (c). L'eccentricità e = c/a è sempre maggiore di 1, distinguendo l'iperbole dalle altre coniche. Gli asintoti hanno equazioni y = ±x e rappresentano le rette verso cui tende la curva.
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💡 Trucco importante: Le incognite sono sempre a² e b², non a e b!
Le rette tangenti si trovano con tecniche specifiche. Per un punto esterno P₀(x₀, y₀), scrivi il fascio di rette y - y₀ = m e imponi la condizione di tangenza (Δ = 0). Per la tangente in un punto dell'iperbole, usa la formula di sdoppiamento: sostituisci x² con x₀x e y² con y₀y nell'equazione.
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L'iperbole equilatera è un caso speciale dove i semiassi sono uguali: a = b. La sua equazione si semplifica in x² - y² = a² e gli asintoti diventano le bisettrici y = ±x. È come se l'iperbole fosse perfettamente "simmetrica"!
Quando ruoti l'iperbole equilatera di ±45°, ottieni l'equazione xy = k. Se k > 0, la curva si trova nel I e III quadrante; se k < 0, nel II e IV quadrante. I fuochi si spostano di conseguenza lungo le bisettrici.
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Samantha Klich
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