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Giorgia Fasola
23/11/2025
Matematica
Integrale indefinito
1391
•
23 nov 2025
•
Giorgia Fasola
@giorgiafasola
L'integrale indefinito è l'operazione inversa della derivata - invece di... Mostra di più
Ogni volta che derivi una funzione, puoi anche fare il processo inverso. La primitiva di f(x) è quella funzione F(x) che, quando la derivi, ti ridà f(x). Semplice, no?
Il bello è che le primitive non sono uniche - ce ne sono infinite! Se F(x) è una primitiva, anche F(x)+5 o F(x)-10 lo sono. Tutte le primitive di una funzione differiscono solo per una costante.
L'integrale indefinito è proprio l'insieme di tutte queste primitive: ∫f(x)dx = F(x) + c. Quella "c" rappresenta tutte le possibili costanti.
Ricorda: L'integrazione gode della proprietà di linearità - puoi spezzare somme e tirare fuori le costanti!
Esistono formule base per le funzioni elementari: ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + c, ∫e^x dx = e^x + c, ∫sin x dx = -cos x + c, e tante altre che diventeranno automatiche con la pratica.
Quando gli integrali si complicano, hai tre armi segrete. La prima è l'integrazione per sostituzione: sostituisci una parte complicata con una variabile più semplice, tipo t = g(x).
L'integrazione per parti è perfetta quando hai prodotti di funzioni. La formula è ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx. Scegli sempre x^n come fattore finito e funzioni come e^x, sin x, cos x come fattore differenziale.
Per le funzioni razionali (frazioni di polinomi), prima dividi se il grado del numeratore è maggiore o uguale a quello del denominatore. Poi scomponi il denominatore e scrivi la frazione come somma di frazioni più semplici.
Trucco: Per denominatori di secondo grado, controlla sempre il discriminante Δ per decidere quale metodo usare!
Le frazioni parziali sono la tua salvezza: ogni fattore diventa A/, ogni fattore ripetuto ^r genera r frazioni con potenze crescenti al denominatore.
Questo schema ti salverà la vita negli esami! Ogni tipo di fattore nel denominatore corrisponde a specifici addendi nella decomposizione.
Se hai un fattore lineare , aggiungi A/. Se questo fattore è ripetuto r volte, devi aggiungere r frazioni: A₁/ + A₂/² + ... + Aᵣ/^r.
Per i fattori quadratici ax² + bx + c (con Δ < 0), aggiungi /. Se il fattore quadratico è ripetuto r volte, servono r frazioni con numeratori lineari e denominatori con potenze crescenti.
Consiglio: Memorizza questa tabella - ti farà risparmiare tempo prezioso durante le verifiche!
Una volta decomposte le frazioni, integri ogni pezzo separatamente. I denominatori lineari danno logaritmi, quelli quadratici spesso arcotangenti o altri tipi più complessi.
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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Martina
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Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Giorgia Fasola
@giorgiafasola
L'integrale indefinito è l'operazione inversa della derivata - invece di trovare la velocità di cambiamento di una funzione, troviamo la funzione originale. È come ricostruire un percorso avendo solo la velocità istantanea!
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Ogni volta che derivi una funzione, puoi anche fare il processo inverso. La primitiva di f(x) è quella funzione F(x) che, quando la derivi, ti ridà f(x). Semplice, no?
Il bello è che le primitive non sono uniche - ce ne sono infinite! Se F(x) è una primitiva, anche F(x)+5 o F(x)-10 lo sono. Tutte le primitive di una funzione differiscono solo per una costante.
L'integrale indefinito è proprio l'insieme di tutte queste primitive: ∫f(x)dx = F(x) + c. Quella "c" rappresenta tutte le possibili costanti.
Ricorda: L'integrazione gode della proprietà di linearità - puoi spezzare somme e tirare fuori le costanti!
Esistono formule base per le funzioni elementari: ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + c, ∫e^x dx = e^x + c, ∫sin x dx = -cos x + c, e tante altre che diventeranno automatiche con la pratica.
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Quando gli integrali si complicano, hai tre armi segrete. La prima è l'integrazione per sostituzione: sostituisci una parte complicata con una variabile più semplice, tipo t = g(x).
L'integrazione per parti è perfetta quando hai prodotti di funzioni. La formula è ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx. Scegli sempre x^n come fattore finito e funzioni come e^x, sin x, cos x come fattore differenziale.
Per le funzioni razionali (frazioni di polinomi), prima dividi se il grado del numeratore è maggiore o uguale a quello del denominatore. Poi scomponi il denominatore e scrivi la frazione come somma di frazioni più semplici.
Trucco: Per denominatori di secondo grado, controlla sempre il discriminante Δ per decidere quale metodo usare!
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Per i fattori quadratici ax² + bx + c (con Δ < 0), aggiungi /. Se il fattore quadratico è ripetuto r volte, servono r frazioni con numeratori lineari e denominatori con potenze crescenti.
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