L'integrale indefinito è l'operazione inversa della derivata - invece di...
Matematica1,884 visualizzazioni·Aggiornato Jun 18, 2026·3 pagineIntroduzione all'Integrale Indefinito
Giorgia Fasola@giorgiafasola
1 / 3
1
of 3
Integrale indefinito e primitive
Ogni volta che derivi una funzione, puoi anche fare il processo inverso. La primitiva di f(x) è quella funzione F(x) che, quando la derivi, ti ridà f(x). Semplice, no?
Il bello è che le primitive non sono uniche - ce ne sono infinite! Se F(x) è una primitiva, anche F(x)+5 o F(x)-10 lo sono. Tutte le primitive di una funzione differiscono solo per una costante.
L'integrale indefinito è proprio l'insieme di tutte queste primitive: ∫f(x)dx = F(x) + c. Quella "c" rappresenta tutte le possibili costanti.
Ricorda: L'integrazione gode della proprietà di linearità - puoi spezzare somme e tirare fuori le costanti!
Esistono formule base per le funzioni elementari: ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + c, ∫e^x dx = e^x + c, ∫sin x dx = -cos x + c, e tante altre che diventeranno automatiche con la pratica.
2
of 3
Tecniche di integrazione avanzate
Quando gli integrali si complicano, hai tre armi segrete. La prima è l'integrazione per sostituzione: sostituisci una parte complicata con una variabile più semplice, tipo t = g(x).
L'integrazione per parti è perfetta quando hai prodotti di funzioni. La formula è ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx. Scegli sempre x^n come fattore finito e funzioni come e^x, sin x, cos x come fattore differenziale.
Per le funzioni razionali (frazioni di polinomi), prima dividi se il grado del numeratore è maggiore o uguale a quello del denominatore. Poi scomponi il denominatore e scrivi la frazione come somma di frazioni più semplici.
Trucco: Per denominatori di secondo grado, controlla sempre il discriminante Δ per decidere quale metodo usare!
Le frazioni parziali sono la tua salvezza: ogni fattore diventa A/, ogni fattore ripetuto ^r genera r frazioni con potenze crescenti al denominatore.
3
of 3
Schema per frazioni parziali
Questo schema ti salverà la vita negli esami! Ogni tipo di fattore nel denominatore corrisponde a specifici addendi nella decomposizione.
Se hai un fattore lineare , aggiungi A/. Se questo fattore è ripetuto r volte, devi aggiungere r frazioni: A₁/ + A₂/² + ... + Aᵣ/^r.
Per i fattori quadratici ax² + bx + c (con Δ < 0), aggiungi /. Se il fattore quadratico è ripetuto r volte, servono r frazioni con numeratori lineari e denominatori con potenze crescenti.
Consiglio: Memorizza questa tabella - ti farà risparmiare tempo prezioso durante le verifiche!
Una volta decomposte le frazioni, integri ogni pezzo separatamente. I denominatori lineari danno logaritmi, quelli quadratici spesso arcotangenti o altri tipi più complessi.
Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....
Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Knowunity è davvero gratuita?
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
Contenuti simili
Contenuti più popolari: integrale indefinito
5MatematicaGli integrali
Insieme di appunti e informazioni prese dal libro e riassunte su iPad riguardo gli integrali. Utile per esame di stato.
5ªl1,44731
MatematicaIntegrali indefiniti
Proprietà, immediati, semi-immediati, integrazione per sostituzione, per parti e funzioni razionali fratte
5ªl2,90473
MatematicaTabella Integrali
Integrali tabella, immediati e composti
4ªl2,39551
MatematicaFormulario Integrali indefiniti fondamentali
formulario sugli integrali indefiniti fondamentali con integrale per parti e per sostituzione.
4ªl43212
MatematicaIntegrali
schema formule integrali per ripasso
5ªl3,090126
Contenuti più popolari di Matematica
9E
MatematicaEquazioni
esercizi
2ªm3,34915
I
Matematicai criteri di divisibilità
i criteri di divisibilità
1ªm1,4912
F
MatematicaFondamenti del Teorema di Pitagora
Identifica ipotenusa e cateti e apprendi la formula fondamentale del Teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli.
2ªm2,8340
MatematicaFormulario di mate
Spero possa esservi utile
3ªl5,210149
MatematicaMatematica per la maturità
Appunti di tutti e cinque gli anni di matematica in vista della maturità (potrebbero mancare alcune cose).
3ªl2,38476
MatematicaDerivate
Appunti di matematica sulle derivate
4ªl22,638528
MatematicaPiano cartesiano e retta
Appunti
1ªl2,94662
MatematicaOperazioni e prodotti notevoli
Operazioni con polinomi e prodotti notevoli
1ªm4,84780
MatematicaFormulario di matematica maturità 2024
Tutte le formule per la prova d'esame di matematica della maturità
5ªl6,819175
Contenuti più popolari
9
ItalianoRiassunto patente B
Riassunto patente B - appunti presi a lezione
5ªl29,084939
AltroTeoria patente b
Tutti gli argomenti per la patente
1ªl20,909679
Ed. civ.Teoria patente di guida B: Segnali stradali
Segnali stradali di pericolo, luminosi, di prescrizione, di indicazione, temporanei, complementari, pannelli integrativi, segnaletica orizzontale, segnalazioni agenti del traffico, distanza di visibilità per l‘arresto, minima di sicurezza.
5ªl39,7891,638
FilosofiaAristotele
Aristotele: vita, metafisica, fisica, etica e politica, retorica e poetica
3ªl7,621216
ItalianoI promessi sposi
Riassunti completi di tutti i 38 capitoli dei Promessi sposi.
2ªl14,081314
AltroPATENTE
schemi per esame teorico della patente
Università21,804753
S
ItalianoSintesi finale di Analisi logica
Esercitazione completa di analisi logica su frasi articolate per consolidare la conoscenza di tutti i complementi.
3ªm5,5180
P
InglesePresent Simple vs Present Continuous
Develop the ability to choose correctly between the Present Simple for habits and the Present Continuous for ongoing actions.
3ªm4,1940
G
ItalianoGabriele D'Annunzio e l'Estetismo
Domande sull'ideale del superuomo, il panismo e la concezione dell'arte come valore assoluto in D'Annunzio.
4ªl2,6180
Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.
Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano Sutente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klichutente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Annautente iOS
Matematica1,884 visualizzazioni·Aggiornato Jun 18, 2026·3 pagineIntroduzione all'Integrale Indefinito
Giorgia Fasola@giorgiafasola
L'integrale indefinito è l'operazione inversa della derivata - invece di trovare la velocità di cambiamento di una funzione, troviamo la funzione originale. È come ricostruire un percorso avendo solo la velocità istantanea!
1
of 3
Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!
- Accesso a tutti i documenti
- Migliora i tuoi voti
- Unisciti a milioni di studenti
Integrale indefinito e primitive
Ogni volta che derivi una funzione, puoi anche fare il processo inverso. La primitiva di f(x) è quella funzione F(x) che, quando la derivi, ti ridà f(x). Semplice, no?
Il bello è che le primitive non sono uniche - ce ne sono infinite! Se F(x) è una primitiva, anche F(x)+5 o F(x)-10 lo sono. Tutte le primitive di una funzione differiscono solo per una costante.
L'integrale indefinito è proprio l'insieme di tutte queste primitive: ∫f(x)dx = F(x) + c. Quella "c" rappresenta tutte le possibili costanti.
Ricorda: L'integrazione gode della proprietà di linearità - puoi spezzare somme e tirare fuori le costanti!
Esistono formule base per le funzioni elementari: ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + c, ∫e^x dx = e^x + c, ∫sin x dx = -cos x + c, e tante altre che diventeranno automatiche con la pratica.
2
of 3Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!
- Accesso a tutti i documenti
- Migliora i tuoi voti
- Unisciti a milioni di studenti
Tecniche di integrazione avanzate
Quando gli integrali si complicano, hai tre armi segrete. La prima è l'integrazione per sostituzione: sostituisci una parte complicata con una variabile più semplice, tipo t = g(x).
L'integrazione per parti è perfetta quando hai prodotti di funzioni. La formula è ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx. Scegli sempre x^n come fattore finito e funzioni come e^x, sin x, cos x come fattore differenziale.
Per le funzioni razionali (frazioni di polinomi), prima dividi se il grado del numeratore è maggiore o uguale a quello del denominatore. Poi scomponi il denominatore e scrivi la frazione come somma di frazioni più semplici.
Trucco: Per denominatori di secondo grado, controlla sempre il discriminante Δ per decidere quale metodo usare!
Le frazioni parziali sono la tua salvezza: ogni fattore diventa A/, ogni fattore ripetuto ^r genera r frazioni con potenze crescenti al denominatore.
3
of 3Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!
- Accesso a tutti i documenti
- Migliora i tuoi voti
- Unisciti a milioni di studenti
Schema per frazioni parziali
Questo schema ti salverà la vita negli esami! Ogni tipo di fattore nel denominatore corrisponde a specifici addendi nella decomposizione.
Se hai un fattore lineare , aggiungi A/. Se questo fattore è ripetuto r volte, devi aggiungere r frazioni: A₁/ + A₂/² + ... + Aᵣ/^r.
Per i fattori quadratici ax² + bx + c (con Δ < 0), aggiungi /. Se il fattore quadratico è ripetuto r volte, servono r frazioni con numeratori lineari e denominatori con potenze crescenti.
Consiglio: Memorizza questa tabella - ti farà risparmiare tempo prezioso durante le verifiche!
Una volta decomposte le frazioni, integri ogni pezzo separatamente. I denominatori lineari danno logaritmi, quelli quadratici spesso arcotangenti o altri tipi più complessi.
Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....
Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Knowunity è davvero gratuita?
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
Contenuti simili
Contenuti più popolari: integrale indefinito
5MatematicaGli integrali
Insieme di appunti e informazioni prese dal libro e riassunte su iPad riguardo gli integrali. Utile per esame di stato.
5ªl1,44731
MatematicaIntegrali indefiniti
Proprietà, immediati, semi-immediati, integrazione per sostituzione, per parti e funzioni razionali fratte
5ªl2,90473
MatematicaTabella Integrali
Integrali tabella, immediati e composti
4ªl2,39551
MatematicaFormulario Integrali indefiniti fondamentali
formulario sugli integrali indefiniti fondamentali con integrale per parti e per sostituzione.
4ªl43212
MatematicaIntegrali
schema formule integrali per ripasso
5ªl3,090126
Contenuti più popolari di Matematica
9E
MatematicaEquazioni
esercizi
2ªm3,34915
I
Matematicai criteri di divisibilità
i criteri di divisibilità
1ªm1,4912
F
MatematicaFondamenti del Teorema di Pitagora
Identifica ipotenusa e cateti e apprendi la formula fondamentale del Teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli.
2ªm2,8340
MatematicaFormulario di mate
Spero possa esservi utile
3ªl5,210149
MatematicaMatematica per la maturità
Appunti di tutti e cinque gli anni di matematica in vista della maturità (potrebbero mancare alcune cose).
3ªl2,38476
MatematicaDerivate
Appunti di matematica sulle derivate
4ªl22,638528
MatematicaPiano cartesiano e retta
Appunti
1ªl2,94662
MatematicaOperazioni e prodotti notevoli
Operazioni con polinomi e prodotti notevoli
1ªm4,84780
MatematicaFormulario di matematica maturità 2024
Tutte le formule per la prova d'esame di matematica della maturità
5ªl6,819175
Contenuti più popolari
9ItalianoRiassunto patente B
Riassunto patente B - appunti presi a lezione
5ªl29,084939
AltroTeoria patente b
Tutti gli argomenti per la patente
1ªl20,909679
Ed. civ.Teoria patente di guida B: Segnali stradali
Segnali stradali di pericolo, luminosi, di prescrizione, di indicazione, temporanei, complementari, pannelli integrativi, segnaletica orizzontale, segnalazioni agenti del traffico, distanza di visibilità per l‘arresto, minima di sicurezza.
5ªl39,7891,638
FilosofiaAristotele
Aristotele: vita, metafisica, fisica, etica e politica, retorica e poetica
3ªl7,621216
ItalianoI promessi sposi
Riassunti completi di tutti i 38 capitoli dei Promessi sposi.
2ªl14,081314
AltroPATENTE
schemi per esame teorico della patente
Università21,804753
S
ItalianoSintesi finale di Analisi logica
Esercitazione completa di analisi logica su frasi articolate per consolidare la conoscenza di tutti i complementi.
3ªm5,5180
P
InglesePresent Simple vs Present Continuous
Develop the ability to choose correctly between the Present Simple for habits and the Present Continuous for ongoing actions.
3ªm4,1940
G
ItalianoGabriele D'Annunzio e l'Estetismo
Domande sull'ideale del superuomo, il panismo e la concezione dell'arte come valore assoluto in D'Annunzio.
4ªl2,6180
Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.
Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano Sutente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klichutente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Annautente iOS