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2 dic 2025
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Sofia Mazzasette
@sofii.mazza
Il piano cartesiano ti permette di rappresentare graficamente punti, rette... Mostra di più
Calcolare le distanze tra punti nel piano cartesiano è più semplice di quanto pensi! Quando due punti hanno la stessa coordinata x o y, basta fare una sottrazione.
Per punti con stessa ascissa A(x₁,y₁) e B(x₁,y₂), la distanza è |y₂-y₁|. Per punti con stessa ordinata A(x₁,y₁) e B(x₂,y₁), è |x₂-x₁|.
Per punti qualsiasi usi la formula della distanza: √. È praticamente il teorema di Pitagora applicato al piano cartesiano!
Il punto medio di un segmento ha coordinate che sono la media aritmetica delle coordinate dei due estremi: M. Il baricentro di un triangolo funziona allo stesso modo, ma dividi per 3 invece che per 2.
💡 Trucco: Per ricordare le formule, pensa sempre al teorema di Pitagora per le distanze e alle medie per i punti medi!
Le funzioni lineari hanno equazione y = mx + q e rappresentano sempre rette nel piano cartesiano. Per disegnarle ti bastano due punti!
Il coefficiente angolare m ti dice quanto è inclinata la retta. Se m > 0, la retta sale da sinistra a destra; se m < 0, scende. Il termine noto q indica dove la retta interseca l'asse y.
Per trovare le intersezioni con gli assi: poni y = 0 per trovare l'intersezione con l'asse x, e x = 0 per l'asse y. Facilissimo!
Alcuni coefficienti angolari da ricordare: m = 1 per rette a 45°, m = √3 per 60°, m = √3/3 per 30°. Gli angoli ottusi hanno coefficienti negativi.
💡 Ricorda: Il coefficiente angolare si calcola con m = Δy/Δx, cioè quanto sale (o scende) la retta per ogni unità orizzontale.
Esistono quattro tipi principali di rette che devi saper riconoscere. Le rette parallele all'asse x hanno equazione y = k . Quelle parallele all'asse y sono x = h (coefficiente angolare non definito).
Le rette per l'origine hanno forma y = mx, mentre le rette generiche sono y = mx + q. Puoi sempre passare dalla forma implicita alla forma esplicita risolvendo per y.
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare: m = m'. È importante distinguerle dalle rette coincidenti!
Per determinare la posizione reciproca di due rette, confronta i rapporti a/a', b/b' e c/c'. Se a/a' ≠ b/b', le rette sono incidenti. Se a/a' = b/b' ≠ c/c', sono parallele distinte.
💡 Metodo veloce: Per rette parallele, stesso coefficiente angolare. Per rette perpendicolari, prodotto dei coefficienti = -1.
Due rette sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari vale -1: m · m' = -1. Questo è un test rapidissimo per verificare la perpendicolarità!
Per scrivere l'equazione di una retta passante per un punto P(x₀, y₀) con coefficiente angolare m noto, usa la formula: y - y₀ = m. È la forma punto-coefficiente angolare.
Le posizioni reciproche di due rette si determinano mettendole a sistema. Rette incidenti = sistema determinato, parallele distinte = sistema impossibile, coincidenti = sistema indeterminato.
La condizione per rette perpendicolari vale solo per rette non parallele agli assi. Se una retta è verticale e l'altra orizzontale , sono automaticamente perpendicolari.
💡 Attenzione: Se una retta ha coefficiente angolare m, quella perpendicolare avrà coefficiente -1/m.
Per trovare l'equazione di una retta passante per due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), calcola prima il coefficiente angolare: m = /. Poi usa la formula punto-coefficiente angolare.
La distanza di un punto P(x₀, y₀) da una retta ax + by + c = 0 è: d = |ax₀ + by₀ + c|/√. Se la retta è in forma esplicita, trasformala prima in forma implicita!
Per verificare se tre punti sono allineati, calcola i coefficienti angolari delle rette che li uniscono a due a due. Se sono uguali, i punti sono allineati.
Quando i due punti hanno stessa ascissa, la retta è verticale . Se hanno stessa ordinata, è orizzontale . In questi casi non serve calcolare il coefficiente angolare!
💡 Controllo rapido: Se sostituisci le coordinate di un punto nell'equazione della retta e ottieni un'uguaglianza vera, il punto appartiene alla retta.
La simmetria centrale rispetto a un punto O trasforma ogni punto P nel punto P' tale che O sia il punto medio di PP'. È come "riflettere" il punto attraverso O.
Se O ha coordinate (a, b) e vuoi trovare il simmetrico P'(x', y') di P(x, y), usa le formule: x' = 2a - x e y' = 2b - y. Il centro di simmetria è sempre equidistante dai due punti.
Le disequazioni lineari dividono il piano in semipiani. Per y ≥ mx + q, tutti i punti sopra la retta (inclusa la retta) soddisfano la disequazione. Per y > mx + q, la retta è esclusa.
Per risolvere graficamente una disequazione: trasforma in forma esplicita, disegna la retta, verifica con un punto test, colora il semipiano corretto. Se hai "≥" o "≤", la retta è inclusa (linea continua).
💡 Test veloce: Scegli un punto semplice come (0,0) per verificare quale semipiano colorare nella disequazione.
Per verificare se un punto soddisfa una disequazione lineare, sostituisci le sue coordinate nell'espressione. Se ottieni una disuguaglianza vera, il punto appartiene al semipiano soluzione.
L'intersezione tra due semipiani forma una regione del piano delimitata da due rette. Devi risolvere il sistema di disequazioni e colorare solo la zona che soddisfa entrambe le condizioni.
Quando risolvi sistemi di disequazioni: disegna tutte le rette, identifica i semipiani di ogni disequazione, trova la zona di intersezione. La soluzione è dove si sovrappongono tutti i colori!
Se una disequazione usa ">" o "<" (senza uguale), disegna la retta tratteggiata perché non fa parte della soluzione. Con "≥" o "≤", usa linea continua.
💡 Metodo sistematico: Prima risolvi graficamente ogni disequazione separatamente, poi trova l'intersezione colorando solo la zona comune.
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Greenlight Bonnie
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Il piano cartesiano ti permette di rappresentare graficamente punti, rette e funzioni usando coordinate. È uno strumento fondamentale per la geometria analitica che ti aiuterà a risolvere problemi di matematica in modo visivo e preciso.
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Calcolare le distanze tra punti nel piano cartesiano è più semplice di quanto pensi! Quando due punti hanno la stessa coordinata x o y, basta fare una sottrazione.
Per punti con stessa ascissa A(x₁,y₁) e B(x₁,y₂), la distanza è |y₂-y₁|. Per punti con stessa ordinata A(x₁,y₁) e B(x₂,y₁), è |x₂-x₁|.
Per punti qualsiasi usi la formula della distanza: √. È praticamente il teorema di Pitagora applicato al piano cartesiano!
Il punto medio di un segmento ha coordinate che sono la media aritmetica delle coordinate dei due estremi: M. Il baricentro di un triangolo funziona allo stesso modo, ma dividi per 3 invece che per 2.
💡 Trucco: Per ricordare le formule, pensa sempre al teorema di Pitagora per le distanze e alle medie per i punti medi!
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Alcuni coefficienti angolari da ricordare: m = 1 per rette a 45°, m = √3 per 60°, m = √3/3 per 30°. Gli angoli ottusi hanno coefficienti negativi.
💡 Ricorda: Il coefficiente angolare si calcola con m = Δy/Δx, cioè quanto sale (o scende) la retta per ogni unità orizzontale.
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Le rette per l'origine hanno forma y = mx, mentre le rette generiche sono y = mx + q. Puoi sempre passare dalla forma implicita alla forma esplicita risolvendo per y.
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare: m = m'. È importante distinguerle dalle rette coincidenti!
Per determinare la posizione reciproca di due rette, confronta i rapporti a/a', b/b' e c/c'. Se a/a' ≠ b/b', le rette sono incidenti. Se a/a' = b/b' ≠ c/c', sono parallele distinte.
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Le posizioni reciproche di due rette si determinano mettendole a sistema. Rette incidenti = sistema determinato, parallele distinte = sistema impossibile, coincidenti = sistema indeterminato.
La condizione per rette perpendicolari vale solo per rette non parallele agli assi. Se una retta è verticale e l'altra orizzontale , sono automaticamente perpendicolari.
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Quando i due punti hanno stessa ascissa, la retta è verticale . Se hanno stessa ordinata, è orizzontale . In questi casi non serve calcolare il coefficiente angolare!
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Per risolvere graficamente una disequazione: trasforma in forma esplicita, disegna la retta, verifica con un punto test, colora il semipiano corretto. Se hai "≥" o "≤", la retta è inclusa (linea continua).
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Per verificare se un punto soddisfa una disequazione lineare, sostituisci le sue coordinate nell'espressione. Se ottieni una disuguaglianza vera, il punto appartiene al semipiano soluzione.
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