Matematica

Equazioni delle Sezioni Coniche

equazione della circonferenza

2,014

•

Aggiornato Mar 22, 2026

•

6 pagine

Equazioni delle Circonferenze nel Piano Cartesiano

ValeV

@_valev13_

La circonferenza è una figura fondamentale in geometria analitica che... Mostra di più

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$# La circonferenza: EQUAZIONE GENERICA ~> x²+y² + ax+by+c=0 FORMULE ESSENZIALI c(-$\frac{a}{2}$;-$ CASI PARTICOLARI • se a=0 ~~ il cent$

Equazione e casi particolari della circonferenza

L'equazione generica della circonferenza è x²+y² + ax+by+c=0, da cui puoi ricavare tutto quello che ti serve. Il centro ha coordinate C $-a/2; -b/2$ mentre il raggio si calcola con r = √ $(a²+b²-4c)/4$ .

Esistono alcuni casi particolari super utili da ricordare. Se a=0, il centro sta sull'asse y; se b=0, il centro sta sull'asse x. Quando c=0, la circonferenza passa per l'origine.

Il caso più semplice è quando a=b=0: qui il centro coincide con l'origine. Questi trucchi ti faranno risparmiare un sacco di tempo nei calcoli!

Ricorda: I coefficienti a, b, c nell'equazione ti dicono subito dove si trova il centro e se la circonferenza ha caratteristiche particolari.

$# La circonferenza: EQUAZIONE GENERICA ~> x²+y² + ax+by+c=0 FORMULE ESSENZIALI c(-$\frac{a}{2}$;-$ CASI PARTICOLARI • se a=0 ~~ il cent$

Posizione di rette rispetto alla circonferenza

Una retta può trovarsi in tre posizioni rispetto a una circonferenza, e tutto dipende dal discriminante Δ. Se Δ<0, la retta è esterna (nessun punto in comune); se Δ=0, è tangente (un solo punto); se Δ>0, è secante (due punti).

Per trovare le rette tangenti da un punto esterno, parti dall'equazione y-yp=m $x-xp$ , calcola centro e raggio, poi imponi che la distanza dal centro alla retta sia uguale al raggio. Risolvi l'equazione e trovi i coefficienti angolari.

Se invece devi trovare la tangente in un punto della circonferenza, il procedimento è più diretto. Calcola il coefficiente angolare della retta che unisce centro e punto, poi prendi il reciproco con segno opposto.

Trucco: La tangente in un punto è sempre perpendicolare al raggio che passa per quel punto!

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Come trovare l'equazione di una circonferenza

Ci sono diversi metodi per scrivere l'equazione di una circonferenza, e ognuno si adatta a situazioni diverse. Il più diretto è quando conosci centro e raggio: usi la formula $x-xc$ ²+ $y-yc$ ²=r².

Con tre punti A, B, C, metti a sistema tre equazioni sostituendo le coordinate nell'equazione generale. Se hai due punti che formano un diametro, il centro è il punto medio del segmento e il raggio è metà della sua lunghezza.

Quando il centro appartiene a una retta nota, combini le condizioni: metti a sistema le equazioni dei punti con quella della retta. Se c'è una condizione di tangenza, imponi che il discriminante sia zero.

Strategia: Identifica sempre quale metodo è più adatto al tipo di dati che hai - ti eviterà calcoli inutili!

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Metodi avanzati per circonferenze

Quando hai due punti sulla circonferenza e una condizione di tangenza, metti a sistema circonferenza e retta tangente, poi imponi Δ=0. Questo ti dà una terza equazione da usare insieme alle coordinate dei due punti.

Se uno dei punti è quello di tangenza, puoi tracciare l'asse del segmento che unisce i due punti. Il centro appartiene sempre a questo asse, semplificando molto i calcoli.

Con centro noto e una retta tangente, calcola la distanza dal centro alla retta: questa deve essere uguale al raggio. È uno dei metodi più veloci quando hai questi dati.

Attenzione: Quando lavori con punti di tangenza, sfrutta sempre la proprietà che il centro, il punto di tangenza e il punto esterno sono allineati perpendicolarmente!

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Posizione reciproca e fasci di circonferenze

Per capire come si comportano due circonferenze tra loro, metti a sistema le loro equazioni e conta i punti d'intersezione. Due punti significa che sono secanti, un punto che sono tangenti, nessun punto che sono esterne.

Le circonferenze tangenti possono essere interne $se la distanza tra i centri è |r₂-r₁|$ o esterne $se la distanza è r₁+r₂$ . Questi calcoli ti dicono esattamente la loro posizione relativa.

I fasci di circonferenze hanno la forma x²+y²+a₁x+b₁y+c₁+K $x²+y²+a₂x+b₂y+c₂$ =0. L'asse centrale passa per i centri, mentre l'asse radicale $con K=-1$ è perpendicolare e passa per i punti d'intersezione.

Importante: Il parametro K determina quale circonferenza del fascio stai considerando - cambiando K ottieni circonferenze diverse ma sempre appartenenti allo stesso fascio!

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Studio completo dei fasci

Per studiare un fascio di circonferenze devi analizzare tutti i suoi elementi caratteristici. Trova centro e raggio in funzione di K, identifica le due circonferenze generatrici e calcola i punti base.

L'asse radicale si ottiene sostituendo K=-1 nell'equazione del fascio, mentre l'asse centrale è la retta che passa per i centri. Questi due assi sono sempre perpendicolari tra loro.

Le circonferenze degeneri sono casi limite dove il raggio diventa infinitamente grande. Per trovarle, cerca i valori di K che annullano il termine x²+y² nell'equazione del fascio.

Metodo: Studia sempre il fascio step by step - prima i punti base, poi gli assi, infine i casi particolari. Ti darà una visione completa del comportamento del fascio!

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