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ValeV
02/12/2025
Matematica
Circonferenza nel piano cartesiano
1383
•
2 dic 2025
•
ValeV
@_valev13_
La circonferenza è una figura fondamentale in geometria analitica che... Mostra di più
L'equazione generica della circonferenza è x²+y² + ax+by+c=0, da cui puoi ricavare tutto quello che ti serve. Il centro ha coordinate C mentre il raggio si calcola con r = √.
Esistono alcuni casi particolari super utili da ricordare. Se a=0, il centro sta sull'asse y; se b=0, il centro sta sull'asse x. Quando c=0, la circonferenza passa per l'origine.
Il caso più semplice è quando a=b=0: qui il centro coincide con l'origine. Questi trucchi ti faranno risparmiare un sacco di tempo nei calcoli!
Ricorda: I coefficienti a, b, c nell'equazione ti dicono subito dove si trova il centro e se la circonferenza ha caratteristiche particolari.
Una retta può trovarsi in tre posizioni rispetto a una circonferenza, e tutto dipende dal discriminante Δ. Se Δ<0, la retta è esterna (nessun punto in comune); se Δ=0, è tangente (un solo punto); se Δ>0, è secante (due punti).
Per trovare le rette tangenti da un punto esterno, parti dall'equazione y-yp=m, calcola centro e raggio, poi imponi che la distanza dal centro alla retta sia uguale al raggio. Risolvi l'equazione e trovi i coefficienti angolari.
Se invece devi trovare la tangente in un punto della circonferenza, il procedimento è più diretto. Calcola il coefficiente angolare della retta che unisce centro e punto, poi prendi il reciproco con segno opposto.
Trucco: La tangente in un punto è sempre perpendicolare al raggio che passa per quel punto!
Ci sono diversi metodi per scrivere l'equazione di una circonferenza, e ognuno si adatta a situazioni diverse. Il più diretto è quando conosci centro e raggio: usi la formula ²+²=r².
Con tre punti A, B, C, metti a sistema tre equazioni sostituendo le coordinate nell'equazione generale. Se hai due punti che formano un diametro, il centro è il punto medio del segmento e il raggio è metà della sua lunghezza.
Quando il centro appartiene a una retta nota, combini le condizioni: metti a sistema le equazioni dei punti con quella della retta. Se c'è una condizione di tangenza, imponi che il discriminante sia zero.
Strategia: Identifica sempre quale metodo è più adatto al tipo di dati che hai - ti eviterà calcoli inutili!
Quando hai due punti sulla circonferenza e una condizione di tangenza, metti a sistema circonferenza e retta tangente, poi imponi Δ=0. Questo ti dà una terza equazione da usare insieme alle coordinate dei due punti.
Se uno dei punti è quello di tangenza, puoi tracciare l'asse del segmento che unisce i due punti. Il centro appartiene sempre a questo asse, semplificando molto i calcoli.
Con centro noto e una retta tangente, calcola la distanza dal centro alla retta: questa deve essere uguale al raggio. È uno dei metodi più veloci quando hai questi dati.
Attenzione: Quando lavori con punti di tangenza, sfrutta sempre la proprietà che il centro, il punto di tangenza e il punto esterno sono allineati perpendicolarmente!
Per capire come si comportano due circonferenze tra loro, metti a sistema le loro equazioni e conta i punti d'intersezione. Due punti significa che sono secanti, un punto che sono tangenti, nessun punto che sono esterne.
Le circonferenze tangenti possono essere interne o esterne . Questi calcoli ti dicono esattamente la loro posizione relativa.
I fasci di circonferenze hanno la forma x²+y²+a₁x+b₁y+c₁+K=0. L'asse centrale passa per i centri, mentre l'asse radicale è perpendicolare e passa per i punti d'intersezione.
Importante: Il parametro K determina quale circonferenza del fascio stai considerando - cambiando K ottieni circonferenze diverse ma sempre appartenenti allo stesso fascio!
Per studiare un fascio di circonferenze devi analizzare tutti i suoi elementi caratteristici. Trova centro e raggio in funzione di K, identifica le due circonferenze generatrici e calcola i punti base.
L'asse radicale si ottiene sostituendo K=-1 nell'equazione del fascio, mentre l'asse centrale è la retta che passa per i centri. Questi due assi sono sempre perpendicolari tra loro.
Le circonferenze degeneri sono casi limite dove il raggio diventa infinitamente grande. Per trovarle, cerca i valori di K che annullano il termine x²+y² nell'equazione del fascio.
Metodo: Studia sempre il fascio step by step - prima i punti base, poi gli assi, infine i casi particolari. Ti darà una visione completa del comportamento del fascio!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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MatematicaApp Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
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ValeV
@_valev13_
La circonferenza è una figura fondamentale in geometria analitica che puoi rappresentare con formule precise. Imparerai come scrivere la sua equazione, trovare centro e raggio, e capire come si comporta quando incontra rette e altre circonferenze.
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L'equazione generica della circonferenza è x²+y² + ax+by+c=0, da cui puoi ricavare tutto quello che ti serve. Il centro ha coordinate C mentre il raggio si calcola con r = √.
Esistono alcuni casi particolari super utili da ricordare. Se a=0, il centro sta sull'asse y; se b=0, il centro sta sull'asse x. Quando c=0, la circonferenza passa per l'origine.
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Una retta può trovarsi in tre posizioni rispetto a una circonferenza, e tutto dipende dal discriminante Δ. Se Δ<0, la retta è esterna (nessun punto in comune); se Δ=0, è tangente (un solo punto); se Δ>0, è secante (due punti).
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Ci sono diversi metodi per scrivere l'equazione di una circonferenza, e ognuno si adatta a situazioni diverse. Il più diretto è quando conosci centro e raggio: usi la formula ²+²=r².
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