Matematica

Tecniche di Risoluzione delle Equazioni

metodo di sostituzione

1189

•

6 dic 2025

•

2 pagine

Comprendere i Sistemi Lineari con Due Incognite

Maria Cristina

@_mariaa_cristinaa_

I sistemi lineari a 2 incognite sono fondamentali in algebra.... Mostra di più

I sistemi lineari a 2 incognite
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• Un sistema è l'insieme di 2 o più equazioni che condividono la stessa
incognita
il grado di un sistema è

I sistemi lineari a 2 incognite: concetti base

Un sistema lineare è un insieme di due o più equazioni che condividono le stesse incognite. Quando parliamo di sistemi lineari, il grado del sistema è pari a 1, risultato del prodotto dei gradi delle singole equazioni.

Un tipico sistema lineare a 2 incognite si presenta così: $\begin{cases} 2x-y=5 \ 3x+7y=2 \end{cases}$ che rappresenta la forma generale $\begin{cases} ax+by=c \ ax+by=c₁ \end{cases}$

Per risolvere questi sistemi abbiamo quattro metodi principali: il metodo della sostituzione, il metodo della riduzione, il metodo del confronto e il metodo di Cramer.

💡 Trucco dello studente: Il metodo della sostituzione è spesso il più intuitivo per iniziare, ma potresti trovare più veloce il metodo della riduzione quando i coefficienti sono "comodi".

Vediamo il metodo della sostituzione con un esempio:

Dall'equazione $3x-5y=10$ ricaviamo $x=\frac{10}{3}+\frac{5}{3}y$
Sostituiamo nella seconda equazione: $-2(\frac{10}{3}+\frac{5}{3}y)+7y=20$
Risolviamo per $y$ e otteniamo $y=\frac{80}{11}$
Sostituiamo questo valore nell'espressione di $x$ : $x=\frac{10}{3}+\frac{5}{3}\cdot\frac{80}{11}$
Calcolo finale: $x=\frac{170}{11}$ e $y=\frac{80}{11}$

Altri metodi di risoluzione dei sistemi

Il metodo della riduzione è particolarmente utile quando vogliamo eliminare una delle incognite:

Moltiplichiamo i coefficienti di un'equazione in modo da avere coefficienti uguali o opposti per una delle incognite
Sommiamo o sottraiamo le equazioni per eliminare un'incognita
Ripetiamo il procedimento con l'altra incognita se necessario

Vediamo un esempio: Partendo da $\begin{cases} 2t + 3z = 13 \ 5t - 7z = -11 \end{cases}$ , moltiplichiamo la prima per 5 e otteniamo $\begin{cases} 10t + 15z = 65 \ 10t - 14z = -22 \end{cases}$ . Sottraendo otteniamo $29z = 87$ , quindi $z = 3$ e $t = 2$ .

Il metodo del confronto funziona così:

Ricaviamo la stessa incognita in entrambe le equazioni
Uguagliamo le due espressioni ottenute
Calcoliamo il valore di un'incognita
Sostituiamo per trovare l'altra incognita

🔍 Attenzione: Scegli il metodo più adatto in base ai coefficienti delle equazioni. Con coefficienti semplici, la riduzione è spesso la via più veloce!

Esempio: da $\begin{cases} ux + y = 5 \ 3x - 2y = 12 \end{cases}$ ricaviamo $y = 5 - ux$ e $y = \frac{3x - 12}{2}$ . Uguagliando otteniamo $x = 2$ e $y = 1$ , la soluzione del sistema.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

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utente iOS

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Anna

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Maria Cristina

@_mariaa_cristinaa_

I sistemi lineari a 2 incognite sono fondamentali in algebra. Ci permettono di trovare valori che soddisfano contemporaneamente due equazioni diverse. In questo riassunto vedremo cosa sono e quali metodi possiamo usare per risolverli.

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I sistemi lineari a 2 incognite: concetti base

Un tipico sistema lineare a 2 incognite si presenta così: $\begin{cases} 2x-y=5 \ 3x+7y=2 \end{cases}$ che rappresenta la forma generale $\begin{cases} ax+by=c \ ax+by=c₁ \end{cases}$

Per risolvere questi sistemi abbiamo quattro metodi principali: il metodo della sostituzione, il metodo della riduzione, il metodo del confronto e il metodo di Cramer.

💡 Trucco dello studente: Il metodo della sostituzione è spesso il più intuitivo per iniziare, ma potresti trovare più veloce il metodo della riduzione quando i coefficienti sono "comodi".

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Dall'equazione $3x-5y=10$ ricaviamo $x=\frac{10}{3}+\frac{5}{3}y$
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Esempio: da $\begin{cases} ux + y = 5 \ 3x - 2y = 12 \end{cases}$ ricaviamo $y = 5 - ux$ e $y = \frac{3x - 12}{2}$ . Uguagliando otteniamo $x = 2$ e $y = 1$ , la soluzione del sistema.

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