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Matematica
12 dic 2025
3389
7 pagine
vanessa @vanessa_qdib
Benvenuto nel mondo della matematica avanzata! Questo riassunto copre tutti i concetti fondamentali che devi padroneggiare: dalle equazioni... Mostra di più
Le equazioni lineari sono il tuo punto di partenza - contengono l'incognita solo al primo grado e sono relativamente semplici da risolvere. Quando passi alle equazioni di secondo grado, le cose si complicano un po' ma niente paura!
Per le equazioni di secondo grado hai quattro tipi diversi monomie (due soluzioni uguali), pure (nessuna soluzione), spurie (senza termine noto, due soluzioni diverse) e complete (usi la formula del delta). Il trucco è riconoscere subito che tipo hai davanti.
Le equazioni fratte ti mettono l'incognita al denominatore - qui devi fare attenzione alle condizioni di esistenza! Prima calcoli il mcm, poi elimini il denominatore e risolvi normalmente. Ricorda sempre il denominatore non può mai essere zero.
💡 Trucco Quando risolvi disequazioni e devi moltiplicare per un numero negativo, cambia sempre il verso della disuguaglianza!
Per le scomposizioni hai diversi strumenti prodotti notevoli (differenza di quadrati, cubo di binomio), raccoglimento totale o parziale, e il trinomio particolare. La chiave è riconoscere quale metodo usare guardando la forma dell'espressione.
Con le disequazioni di secondo grado tutto dipende dal delta! Se delta > 0 hai due soluzioni distinte e devi considerare la parabola. Se il coefficiente di x² è positivo, la parabola va verso l'alto; se negativo, verso il basso.
Quando delta = 0 hai soluzioni coincidenti, mentre con delta < 0 o hai soluzione per tutti i numeri reali o non esiste soluzione. Le disequazioni fratte richiedono di analizzare separatamente numeratore e denominatore.
Gli esponenziali contengono almeno un'incognita all'esponente. Il segreto è ridurre tutto a potenze con la stessa base usando le proprietà a^m × a^n = a^, a^m a^n = a^, ^n = a^(m×n).
💡 Ricorda La funzione esponenziale ha sempre dominio R e passa per il punto (0;1), indipendentemente dalla base!
La funzione esponenziale con base A > 1 è crescente e sempre positiva, con A = 1 è costante, mentre con 0 < A < 1 è decrescente ma sempre positiva. Tutte hanno l'asse x come asintoto orizzontale.
Il logaritmo è semplicemente "a che numero devo elevare la base per ottenere l'argomento?". Ricorda i vincoli base positiva e diversa da 1, argomento sempre positivo. È come fare il percorso inverso dell'esponenziale!
La funzione logaritmica è l'inversa di quella esponenziale, quindi i loro grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Passa sempre per il punto (1;0) e ha l'asse y come asintoto verticale.
Se la base è maggiore di 1, la funzione logaritmica è crescente; se è compresa tra 0 e 1, è decrescente. Il dominio è sempre R+ (solo numeri positivi) mentre il codominio è tutto R.
💡 Conversione veloce Per passare da gradi a radianti usa la formula radianti = (π × gradi) ÷ 180°
La relazione fondamentale tra logaritmi ed esponenziali ti permette di risolvere equazioni complesse se a^x = b, allora x = log_a(b). Questa è la chiave per moltissimi problemi!
In goniometria lavori con angoli misurati in gradi o radianti. Gli angoli fondamentali da ricordare sono 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3. La circonferenza goniometrica ha raggio 1 e centro nell'origine.
Il seno di un angolo α è l'ordinata del punto P (coordinata y), mentre il coseno è l'ascissa (coordinata x). Da qui deriva la relazione fondamentale cos²α + sen²α = 1. Questa formula ti salverà in mille situazioni!
Nella trigonometria risolvi triangoli rettangoli trovando lati e angoli. Ricorda che hai sempre un angolo di 90°, due cateti e un'ipotenusa. I tre teoremi fondamentali collegano questi elementi attraverso seno, coseno e tangente.
💡 Regola pratica Seno per l'angolo opposto, coseno per quello adiacente, tangente per il rapporto tra cateti!
Per gli angoli positivi vai in senso antiorario, per quelli negativi in senso orario. La circonferenza goniometrica ti permette di visualizzare tutti i valori di seno e coseno per qualsiasi angolo.
I tre teoremi sui triangoli rettangoli sono strumenti potentissimi cateto = ipotenusa × cos(angolo adiacente), cateto = ipotenusa × sen(angolo opposto), cateto = altro cateto × tg(angolo opposto). Memorizza queste formule e saprai risolvere qualsiasi triangolo!
Una funzione associa a ogni elemento dell'insieme di partenza (dominio) un unico elemento dell'insieme di arrivo. La x è la variabile indipendente, la y quella dipendente. È come una macchina che trasforma numeri!
Il dominio è l'insieme dei valori che puoi dare alla x. Per funzioni polinomiali è tutto R, per quelle fratte devi escludere i valori che annullano il denominatore. Con le radici pari, l'argomento deve essere ≥ 0.
💡 Trucco del dominio Inizia sempre controllando denominatori e radici pari - sono i punti critici!
Immagine e controimmagine sono concetti speculari se f(8) = 3, allora 3 è l'immagine di 8 e 8 è la controimmagine di 3. È come tracciare il percorso andata e ritorno di una funzione.
Per determinare il dominio segui queste regole funzioni polinomiali hanno dominio R, quelle fratte escludono i valori che annullano il denominatore, quelle con radici dispari mantengono il dominio della funzione interna, mentre con radici pari devi richiedere argomento ≥ 0.
Il codominio è l'insieme dei valori che la funzione può effettivamente assumere. Non confonderlo con l'insieme di arrivo! Una funzione può essere pari (simmetrica rispetto all'asse y), dispari (simmetrica rispetto all'origine) o nessuna delle due.
I limiti sono concetti locali - devi sempre specificare verso quale valore tende x. Il limite descrive il comportamento della funzione quando ci avviciniamo a un punto, anche se la funzione non è definita in quel punto.
💡 Concetto chiave Il limite non è una proprietà della funzione ma il risultato di un calcolo specifico!
La notazione lim(x→x₀) f(x) = L significa che quando x si avvicina a x₀, i valori della funzione si avvicinano a L. Questo concetto è fondamentale per capire continuità e discontinuità.
Una funzione continua ha un grafico che puoi disegnare senza staccare la penna dal foglio. Matematicamente, f è continua in x₀ se lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Sembra complicato ma è solo il modo formale di dire "niente salti o buchi".
Esistono tre tipi di discontinuità di 1° specie (salto improvviso), di 2° specie (la funzione tende a infinito con asintoto verticale), di 3° specie (la funzione non è definita in quel punto). Riconoscerle ti aiuta a capire il comportamento della funzione.
Le discontinuità di 1° specie sono i "salti" più comuni - immagina di saltare da un gradino all'altro. Quelle di 2° specie hanno limiti infiniti e creano asintoti verticali. Le discontinuità di 3° specie sono semplicemente "buchi" nel grafico.
💡 Test di continuità Una funzione è continua se limite sinistro = limite destro = valore della funzione nel punto!
Per verificare la continuità in tutto il dominio, devi controllare che la condizione sia soddisfatta in ogni punto possibile. Le funzioni polinomiali sono sempre continue nel loro dominio, mentre quelle fratte possono avere problemi nei punti dove il denominatore si annulla.
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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limiti matematica definizioni esempi, spiegazione algebrica e topologica
Matematicadefiniozi di: funzione, dominio, zeri di una funzione, funzione pari, funzione dispari, proprietà delle funzioni, gli asintoti, intorno completo e circolare intorno di +-infinito...
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MatematicaCos'è e quali sono i 10 punti per calcolare e trovare una funzione
MatematicaApp Store
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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vanessa
@vanessa_qdib
Benvenuto nel mondo della matematica avanzata! Questo riassunto copre tutti i concetti fondamentali che devi padroneggiare: dalle equazioni ai logaritmi, dalla trigonometria alle funzioni continue. Sono argomenti che sembrano complicati ma che, una volta capiti, ti apriranno le porte a... Mostra di più
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Le equazioni lineari sono il tuo punto di partenza - contengono l'incognita solo al primo grado e sono relativamente semplici da risolvere. Quando passi alle equazioni di secondo grado, le cose si complicano un po' ma niente paura!
Per le equazioni di secondo grado hai quattro tipi diversi: monomie (due soluzioni uguali), pure (nessuna soluzione), spurie (senza termine noto, due soluzioni diverse) e complete (usi la formula del delta). Il trucco è riconoscere subito che tipo hai davanti.
Le equazioni fratte ti mettono l'incognita al denominatore - qui devi fare attenzione alle condizioni di esistenza! Prima calcoli il mcm, poi elimini il denominatore e risolvi normalmente. Ricorda sempre: il denominatore non può mai essere zero.
💡 Trucco: Quando risolvi disequazioni e devi moltiplicare per un numero negativo, cambia sempre il verso della disuguaglianza!
Per le scomposizioni hai diversi strumenti: prodotti notevoli (differenza di quadrati, cubo di binomio), raccoglimento totale o parziale, e il trinomio particolare. La chiave è riconoscere quale metodo usare guardando la forma dell'espressione.
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Con le disequazioni di secondo grado tutto dipende dal delta! Se delta > 0 hai due soluzioni distinte e devi considerare la parabola. Se il coefficiente di x² è positivo, la parabola va verso l'alto; se negativo, verso il basso.
Quando delta = 0 hai soluzioni coincidenti, mentre con delta < 0 o hai soluzione per tutti i numeri reali o non esiste soluzione. Le disequazioni fratte richiedono di analizzare separatamente numeratore e denominatore.
Gli esponenziali contengono almeno un'incognita all'esponente. Il segreto è ridurre tutto a potenze con la stessa base usando le proprietà: a^m × a^n = a^, a^m : a^n = a^, ^n = a^(m×n).
💡 Ricorda: La funzione esponenziale ha sempre dominio R e passa per il punto (0;1), indipendentemente dalla base!
La funzione esponenziale con base A > 1 è crescente e sempre positiva, con A = 1 è costante, mentre con 0 < A < 1 è decrescente ma sempre positiva. Tutte hanno l'asse x come asintoto orizzontale.
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La funzione logaritmica è l'inversa di quella esponenziale, quindi i loro grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Passa sempre per il punto (1;0) e ha l'asse y come asintoto verticale.
Se la base è maggiore di 1, la funzione logaritmica è crescente; se è compresa tra 0 e 1, è decrescente. Il dominio è sempre R+ (solo numeri positivi) mentre il codominio è tutto R.
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Il seno di un angolo α è l'ordinata del punto P (coordinata y), mentre il coseno è l'ascissa (coordinata x). Da qui deriva la relazione fondamentale: cos²α + sen²α = 1. Questa formula ti salverà in mille situazioni!
Nella trigonometria risolvi triangoli rettangoli trovando lati e angoli. Ricorda che hai sempre un angolo di 90°, due cateti e un'ipotenusa. I tre teoremi fondamentali collegano questi elementi attraverso seno, coseno e tangente.
💡 Regola pratica: Seno per l'angolo opposto, coseno per quello adiacente, tangente per il rapporto tra cateti!
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I tre teoremi sui triangoli rettangoli sono strumenti potentissimi: cateto = ipotenusa × cos(angolo adiacente), cateto = ipotenusa × sen(angolo opposto), cateto = altro cateto × tg(angolo opposto). Memorizza queste formule e saprai risolvere qualsiasi triangolo!
Una funzione associa a ogni elemento dell'insieme di partenza (dominio) un unico elemento dell'insieme di arrivo. La x è la variabile indipendente, la y quella dipendente. È come una macchina che trasforma numeri!
Il dominio è l'insieme dei valori che puoi dare alla x. Per funzioni polinomiali è tutto R, per quelle fratte devi escludere i valori che annullano il denominatore. Con le radici pari, l'argomento deve essere ≥ 0.
💡 Trucco del dominio: Inizia sempre controllando denominatori e radici pari - sono i punti critici!
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Per determinare il dominio segui queste regole: funzioni polinomiali hanno dominio R, quelle fratte escludono i valori che annullano il denominatore, quelle con radici dispari mantengono il dominio della funzione interna, mentre con radici pari devi richiedere argomento ≥ 0.
Il codominio è l'insieme dei valori che la funzione può effettivamente assumere. Non confonderlo con l'insieme di arrivo! Una funzione può essere pari (simmetrica rispetto all'asse y), dispari (simmetrica rispetto all'origine) o nessuna delle due.
I limiti sono concetti locali - devi sempre specificare verso quale valore tende x. Il limite descrive il comportamento della funzione quando ci avviciniamo a un punto, anche se la funzione non è definita in quel punto.
💡 Concetto chiave: Il limite non è una proprietà della funzione ma il risultato di un calcolo specifico!
La notazione lim(x→x₀) f(x) = L significa che quando x si avvicina a x₀, i valori della funzione si avvicinano a L. Questo concetto è fondamentale per capire continuità e discontinuità.
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Una funzione continua ha un grafico che puoi disegnare senza staccare la penna dal foglio. Matematicamente, f è continua in x₀ se lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Sembra complicato ma è solo il modo formale di dire "niente salti o buchi".
Esistono tre tipi di discontinuità: di 1° specie (salto improvviso), di 2° specie (la funzione tende a infinito con asintoto verticale), di 3° specie (la funzione non è definita in quel punto). Riconoscerle ti aiuta a capire il comportamento della funzione.
Le discontinuità di 1° specie sono i "salti" più comuni - immagina di saltare da un gradino all'altro. Quelle di 2° specie hanno limiti infiniti e creano asintoti verticali. Le discontinuità di 3° specie sono semplicemente "buchi" nel grafico.
💡 Test di continuità: Una funzione è continua se limite sinistro = limite destro = valore della funzione nel punto!
Per verificare la continuità in tutto il dominio, devi controllare che la condizione sia soddisfatta in ogni punto possibile. Le funzioni polinomiali sono sempre continue nel loro dominio, mentre quelle fratte possono avere problemi nei punti dove il denominatore si annulla.
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È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
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Matematicadefiniozi di: funzione, dominio, zeri di una funzione, funzione pari, funzione dispari, proprietà delle funzioni, gli asintoti, intorno completo e circolare intorno di +-infinito...
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MatematicaDefinizione, dominio, zero e segni, rappresentazione, biunivoca, iniettiva e suriettiva
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Anna
utente iOS
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Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
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Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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Sudenaz Ocak
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Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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