Cos'è una Funzione?

Pensa a una funzione come a una macchina matematica: inserisci un numero (x) e ottieni sempre uno e un solo risultato (y). È come un distributore automatico perfetto che non sbaglia mai!

La notazione y = f(x) ti dice semplicemente che y dipende da x secondo una regola matematica precisa. Il dominio è l'insieme di tutti i valori che puoi inserire nella macchina, mentre il codominio contiene tutti i possibili risultati.

Lo studio di funzione è il tuo metodo per capire come si comporta questa macchina matematica. Segui una serie di passaggi ordinati e alla fine riuscirai a disegnare il grafico completo della funzione - come fare un ritratto matematico!

💡 Trucco: Pensa sempre a una funzione come a una relazione causa-effetto: cambi x (causa) e vedi come cambia y (effetto).

La Funzione Lineare

La funzione lineare è la più semplice di tutte: y = mx + q. È rappresentata da una retta dritta, senza curve o complicazioni.

Il coefficiente m ti dice quanto è inclinata la retta: se m > 0 sale verso destra (crescente), se m < 0 scende verso destra (decrescente). Il valore q è il punto dove la retta attraversa l'asse y - super facile da individuare!

Quando m = 0, ottieni y = q, che è semplicemente una retta orizzontale. Il dominio è sempre tutto ℝ, quindi non devi preoccuparti di restrizioni.

Per disegnarla, basta la famosa "tabellina x-y": scegli due valori di x, calcoli i corrispondenti y, segni i punti e li colleghi con una retta. Due punti bastano sempre per una retta!

💡 Ricorda: Una retta ha bisogno solo di due punti per essere disegnata completamente.

La Funzione Quadratica

La funzione quadratica y = ax² + bx + c è il primo salto di complessità, ma è anche una delle più eleganti. Il suo grafico è una parabola, una curva perfettamente simmetrica.

Il coefficiente a decide tutto: se a > 0 la parabola "sorride" (concavità verso l'alto), se a < 0 è "triste" (concavità verso il basso). Più |a| è grande, più la parabola è "stretta".

Il vertice è il punto più importante: V$-b/2a, -Δ/4a$. È il punto minimo se la parabola sorride, massimo se è triste. L'asse di simmetria passa per il vertice ed ha equazione x = -b/2a.

Per disegnarla trova: il vertice, l'intersezione con l'asse y (punto (0,c)) e le eventuali intersezioni con l'asse x. Poi sfrutta la simmetria per completare la curva.

💡 Strategia: Una volta trovato il vertice e un punto della parabola, puoi trovare il punto simmetrico dall'altra parte dell'asse di simmetria.

La Funzione Esponenziale

La funzione esponenziale y = aˣ è quella della crescita esplosiva o del decadimento rapido. Qui la x sta nell'esponente, e questo cambia tutto!

Se a > 1, la funzione è crescente e "esplode" verso l'infinito. Se 0 < a < 1, è decrescente e si avvicina sempre di più a zero. La base speciale e ≈ 2,718 è particolarmente importante in natura e fisica.

Il dominio è tutto ℝ, ma il codominio è solo (0, +∞) - la funzione esponenziale è sempre positiva! L'asse x è un asintoto orizzontale: la curva si avvicina ma non lo tocca mai.

Tutte le funzioni esponenziali passano per il punto (0, 1) - questo è l'unico punto di intersezione con l'asse y. È come se tutte partissero dallo stesso "campo base" matematico!

💡 Curiosità: La funzione esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi funzione polinomiale per x che tende a +∞.

La Funzione Logaritmica: Le Basi

La funzione logaritmica y = log_a x è l'inversa dell'esponenziale. Invece di chiederti "quanto fa a elevato a x?", ti chiede "a cosa devo elevare a per ottenere x?".

La definizione chiave è: log_a x = y se e solo se a^y = x. Esempi: log₂ 16 = 4 perché 2⁴ = 16, log₃ 1 = 0 perché 3⁰ = 1.

Le basi speciali sono: ln x (logaritmo naturale, base e), log x (logaritmo decimale, base 10). Quando non c'è la base scritta, si sottintende base 10.

Il dominio è cruciale: (0, +∞). Il logaritmo di numeri negativi o zero non esiste nei reali! Questo è il primo vincolo serio che incontri nello studio delle funzioni.

💡 Regola d'oro: Prima di calcolare qualsiasi logaritmo, controlla sempre che l'argomento sia positivo.

La Funzione Logaritmica: Il Grafico

Il comportamento del grafico logaritmico dipende completamente dalla base. È come se ogni base desse una "personalità" diversa alla funzione.

Se a > 1: la funzione è crescente, passa per (1, 0), è positiva per x > 1 e negativa per 0 < x < 1. Quando x si avvicina a 0 da destra, y tende a -∞.

Se 0 < a < 1: la funzione è decrescente, passa sempre per (1, 0), ma ora è positiva per 0 < x < 1 e negativa per x > 1. Quando x si avvicina a 0 da destra, y tende a +∞.

In entrambi i casi, l'asse y $x = 0$ è un asintoto verticale. La funzione si avvicina ma non può mai raggiungere l'asse y perché il dominio esclude x = 0.

💡 Punto fisso: Qualunque sia la base (purché positiva e ≠ 1), tutte le funzioni logaritmiche passano per il punto (1, 0).

La Funzione Valore Assoluto

La funzione valore assoluto y = |x| è geometricamente semplice ma concettualmente importante. È definita "a tratti": y = x se x ≥ 0, y = -x se x < 0.

Il grafico è quella caratteristica forma a "V" con vertice nell'origine. È sempre positiva (o al massimo zero), quindi il codominio è [0, +∞).

Per funzioni più complesse, y = |f(x)| si ottiene dal grafico di y = f(x) "ribaltando" verso l'alto tutte le parti negative. È come se avessi uno specchio sull'asse x che riflette tutto ciò che sta sotto.

Questo "ribaltamento" è una tecnica fondamentale: mantieni inalterate le parti dove f(x) ≥ 0 e rifletti rispetto all'asse x le parti dove f(x) < 0.

💡 Visualizza: Il valore assoluto "raddrizza" tutto ciò che è negativo, come se stirassi verso l'alto le parti del grafico sotto l'asse x.

Funzioni Definite a Tratti

Le funzioni definite a tratti sono come un mosaico matematico: ogni pezzo ha la sua regola, ma insieme formano un'unica funzione. Ogni "tratto" può essere una funzione elementare diversa.

Per disegnare il grafico, rappresenti ogni singola funzione elementare ma consideri solo la parte nell'intervallo indicato. È come se ritagliassi pezzi di grafici diversi e li "incollassi" insieme.

I punti più critici sono quelli di "incollaggio" tra i vari tratti. Qui devi controllare se la funzione è continua o presenta delle discontinuità - sono i punti dove la funzione potrebbe "saltare".

L'analisi delle discontinuità è fondamentale: alcuni punti potrebbero essere "buchi" nel grafico, altri "salti" improvvisi. Ogni punto di confine tra i tratti va esaminato con attenzione.

💡 Metodo: Disegna prima tutti i grafici delle funzioni elementari, poi "ritaglia" solo le parti che ti servono per ogni intervallo.

Discontinuità delle Funzioni

Le discontinuità sono i punti dove una funzione "si comporta male". Ci sono tre tipi principali, ognuno con caratteristiche specifiche.

Discontinuità di I specie (salto): esistono sia il limite destro che sinistro, ma sono diversi. È come un gradino nel grafico. Il "salto" è la differenza |l₂ - l₁| tra i due limiti.

Discontinuità di II specie: almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste proprio. È la discontinuità più "violenta" - il grafico "esplode" o oscilla senza controllo.

Discontinuità di III specie (eliminabile): esiste il limite ma è diverso dal valore della funzione (o la funzione non è definita nel punto). È come un "buco" che potresti "tappare" ridefinendo la funzione.

Una funzione è continua in x₀ se lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Devono coincidere limite e valore della funzione.

💡 Ricorda: La continuità richiede tre cose: il limite deve esistere, la funzione deve essere definita nel punto, e i due valori devono coincidere.

Risoluzione Grafica di Equazioni

Risolvere equazioni graficamente significa trovare dove due grafici si intersecano. Le ascisse dei punti di intersezione sono le soluzioni dell'equazione f(x) = g(x).

Il metodo è visivo e intuitivo: disegni y = f(x) e y = g(x) sullo stesso piano cartesiano, poi cerchi tutti i punti dove le curve si incrociano.

Nell'esempio eˣ = x, devi rappresentare y = eˣ (esponenziale crescente) e y = x (retta con pendenza 1). I due grafici non si intersecano mai, quindi l'equazione è impossibile.

Questo metodo ti dà una comprensione immediata del numero e della posizione approssimativa delle soluzioni, anche quando i calcoli algebraici sono complessi.

💡 Vantaggio: Il metodo grafico ti mostra subito se un'equazione ha soluzioni, quante ne ha e dove si trovano approssimativamente.