Equazioni di Secondo Grado: Spiegazione Completa

Sofi

03/12/2025

Matematica

equazioni di secondo grado

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Relazioni e funzioni

Funzioni lineari, quadrate e periodiche

Equazioni di secondo grado

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3 dic 2025

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Equazioni di Secondo Grado: Spiegazione Completa

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Le equazioni di secondo grado sono fondamentali in matematica e... Mostra di più

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# EQ, DI SECONDO

Un equazione é di secondo grado solo se c'é almeno un' incognita
di secondo grado.

# FORMA NORMALE
In un equazione di sec

Equazioni di Secondo Grado - Le Basi

Hai davanti un'equazione di secondo grado quando almeno un'incognita è elevata al quadrato. La forma normale è sempre $ax² + bx + c = 0$ , dove $a ≠ 0$ .

Le equazioni di secondo grado hanno sempre due soluzioni (anche se a volte coincidono). Quando tutti e tre i coefficienti $a$ , $b$ e $c$ sono diversi da zero, l'equazione si dice completa.

Per risolverle usi la formula risolutiva: $x = \frac{-b ± \sqrt{Δ}}{2a}$ , dove il discriminante $Δ = b² - 4ac$ ti dice tutto sulle soluzioni. Se $Δ > 0$ hai due soluzioni diverse, se $Δ = 0$ due soluzioni uguali, se $Δ < 0$ nessuna soluzione reale.

💡 Trucco: Controlla sempre il discriminante prima di calcolare - ti fa risparmiare tempo!

Quando mancano alcuni coefficienti, l'equazione è incompleta e puoi risolverla con metodi più veloci della formula generale.

Equazioni Incomplete - I Tre Tipi

Le equazioni spurie hanno la forma $ax² + bx = 0$ (manca il termine $c$). Qui una soluzione è sempre zero! Il trucco è raccogliere a fattore comune e usare l'annullamento del prodotto.

Le equazioni monomie sono del tipo $ax² = 0$ e hanno una sola soluzione: sempre $x = 0$ . Facile no?

Le equazioni pure hanno forma $ax² + c = 0$ (manca il termine $b$). Se $a$ e $c$ hanno lo stesso segno, non ci sono soluzioni reali. Se hanno segni opposti, trovi due soluzioni opposte isolando $x²$ ed estraendo la radice.

💡 Consiglio: Riconosci subito il tipo di equazione incompleta - ti fa scegliere il metodo più rapido!

Quando $b$ è pari, puoi usare la formula ridotta per velocizzare i calcoli: $x = \frac{-b/2 ± \sqrt{(b/2)² - ac}}{a}$ .

Equazioni Fratte e Letterali

Nelle equazioni numeriche fratte l'incognita compare in almeno un denominatore. Prima di tutto scrivi le condizioni di esistenza (C.E.), poi risolvi normalmente e controlla che le soluzioni rispettino le C.E.

Il procedimento è sempre: scrivi le C.E., fai l'mcm, elimina i denominatori, risolvi l'equazione, confronta con le C.E. Se una soluzione non rispetta le C.E., la scarti!

Le equazioni letterali contengono parametri oltre all'incognita. Qui devi fare la discussione per parametri: prima vedi cosa succede quando il parametro vale zero, poi quando è diverso da zero.

💡 Attenzione: Non dimenticare mai di confrontare le soluzioni con le condizioni di esistenza!

Usa le relazioni tra soluzioni e coefficienti: se $x₁$ e $x₂$ sono le soluzioni di $ax² + bx + c = 0$ , allora $x₁ + x₂ = -\frac{b}{a}$ e $x₁ · x₂ = \frac{c}{a}$ .

Scomposizione e Equazioni Parametriche

Per scomporre un trinomio di secondo grado, usa l'equazione associata. Se $Δ > 0$ , scomponi come $a(x - x₁)(x - x₂)$ . Se $Δ = 0$ , diventa $a(x - x₁)²$ . Se $Δ < 0$ , il trinomio è irriducibile.

Nelle equazioni parametriche non cerchi le soluzioni, ma i valori del parametro che soddisfano certe condizioni. Per soluzioni reali, poni $Δ ≥ 0$ . Per soluzioni uguali, $Δ = 0$ .

Se una soluzione è un valore noto, sostituiscilo nell'equazione. Per somma o prodotto delle soluzioni noti, usa le relazioni: $S = -\frac{b}{a}$ e $P = \frac{c}{a}$ .

💡 Strategia: Nelle equazioni parametriche, identifica subito cosa ti chiede il problema - ti guida verso il metodo giusto!

Per soluzioni antireciproche poni $x₁ · x₂ = -1$ , per soluzioni opposte poni $x₁ + x₂ = 0$ .

Condizioni Speciali sui Parametri

Per trovare quando le soluzioni sono uguali, imposta sempre $Δ = 0$ . Per soluzioni opposte, usa la condizione $x₁ + x₂ = 0$ , quindi $S = 0$ .

Quando ti chiedono la somma dei quadrati delle soluzioni, ricorda che $(x₁ + x₂)² = S² - 2P$ , dove $S$ è la somma e $P$ il prodotto delle soluzioni.

Per la somma dei reciproci, usa la formula $\frac{1}{x₁} + \frac{1}{x₂} = \frac{x₁ + x₂}{x₁ · x₂} = \frac{S}{P} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$ .

💡 Memo: Tieni sempre a mente le relazioni $S = -\frac{b}{a}$ e $P = \frac{c}{a}$ - sono la chiave per risolvere velocemente!

Ricorda di controllare sempre le condizioni di esistenza quando il parametro compare al denominatore, e confronta sempre i risultati ottenuti con queste condizioni.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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