Ellisse: definizione e equazione base

Immagina di avere due puntine su un foglio e un filo: se tieni il filo teso e disegni una curva, ottieni un'ellisse! Matematicamente, è il luogo dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi (i fuochi F e F') rimane costante.

L'equazione canonica che devi ricordare è: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, dove a e b sono i semiassi (sempre positivi). Quando a > b, l'ellisse è "sdraiata" orizzontalmente; quando b > a, è "allungata" verticalmente.

💡 Trucco: Per ricordare l'ellisse, pensa alla forma di un'orbita planetaria - è sempre una curva chiusa e simmetrica!

Se il centro non fosse nell'origine ma in un punto generico (xc, yc), l'equazione diventa: $\frac{(x-x_c)^2}{a^2} + \frac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$.

Vertici, fuochi ed eccentricità dell'ellisse

I vertici sono semplicemente i punti dove l'ellisse "tocca" gli assi: (±a, 0) sull'asse x e (0, ±b) sull'asse y. Facile da ricordare, no?

I fuochi sono più interessanti: quando a > b, stanno sull'asse x alle coordinate (±c, 0), dove c = √$a²-b²$. Se invece b > a, i fuochi si spostano sull'asse y in (0, ±c) con c = √$b²-a²$.

L'eccentricità e = c/a $o c/b nel secondo caso$ misura quanto l'ellisse è "schiacciata": più è vicina a 0, più l'ellisse somiglia a un cerchio. È sempre compresa tra 0 e 1.

💡 Ricorda: Per i problemi servono sempre due punti distinti (non simmetrici) per determinare l'equazione dell'ellisse!

Problema solving con l'ellisse

Quando risolvi esercizi sull'ellisse, tieni presente questi punti chiave. Servono sempre due punti distinti per determinare l'equazione, ma attenzione: non devono essere simmetrici rispetto al centro (tipo i due vertici opposti).

L'eccentricità e i fuochi sono strumenti potenti per trovare relazioni tra i parametri a e b. Se ti danno l'eccentricità, puoi subito ricavare il rapporto tra c e il semiasse maggiore.

Per la tangenza tra ellisse e retta, come sempre in geometria analitica, la condizione è Δ = 0 nel sistema formato dalle due equazioni.

💡 Strategia: Inizia sempre identificando quale tra a e b è il semiasse maggiore - determina tutto il resto!

Iperbole: definizione e primi concetti

L'iperbole è più "drammatica" dell'ellisse: è il luogo dei punti per cui la differenza (non la somma!) delle distanze da due fuochi è costante. Visivamente, sembra un'ellisse "spezzata" in due rami separati.

La cosa interessante è che per diversi punti P₁, P₂, P₃... la differenza |PF - PG| rimane sempre uguale a una costante k. Questo concetto non è immediato da visualizzare, ma è fondamentale per capire la forma della curva.

La distanza focale (distanza tra F e G) determina quanto i due rami dell'iperbole sono "aperti". Maggiore è questa distanza, più i rami si allargano.

💡 Visualizza: Pensa a due colline separate da una valle - i rami dell'iperbole hanno questa forma caratteristica!

Equazione canonica dell'iperbole

L'equazione canonica dell'iperbole ha due forme: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ oppure $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$. La differenza principale? Nel primo caso i fuochi stanno sull'asse x, nel secondo sull'asse y.

Nota il segno meno che la distingue dall'ellisse! Con a > 0 e b > 0 sempre, abbiamo l'asse trasverso (dove l'iperbole interseca l'asse) e l'asse non trasverso.

Nel primo caso: asse trasverso AA' di lunghezza 2a sull'asse x, asse non trasverso BB' di lunghezza 2b. Nel secondo caso i ruoli si invertono.

💡 Trucco mnemonico: Il segno determina tutto - se è +1, l'iperbole "attraversa" l'asse x; se è -1, attraversa l'asse y!

Come per l'ellisse, se il centro è in (xc, yc): $\frac{(x-x_c)^2}{a^2} - \frac{(y-y_c)^2}{b^2} = ±1$.

Le due configurazioni dell'iperbole

Quando hai $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, l'iperbole ha i rami che si "aprono" orizzontalmente (verso sinistra e destra). L'asse trasverso è AA' sull'asse x con lunghezza 2a.

Con $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$, i rami si aprono verticalmente (verso l'alto e il basso). Ora l'asse trasverso è BB' sull'asse y con lunghezza 2b.

La distinzione è fondamentale per identificare correttamente vertici, fuochi e asintoti. Nel primo caso interseca l'asse x, nel secondo l'asse y.

💡 Regola pratica: Guarda il segno dell'equazione - ti dice immediatamente in che direzione si aprono i rami!

Ricorda sempre che stiamo considerando iperboli centrate nell'origine con assi paralleli agli assi coordinati.

Caso 1: fuochi, eccentricità e asintoti

Per $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, l'eccentricità è e = c/a dove c è la semidistanza focale. Fondamentale: e > 1 sempre (diversamente dall'ellisse!).

I fuochi F(±c, 0) stanno sull'asse trasverso, esterni ai vertici, con la relazione c² = a² + b². Nota il segno più (non meno come nell'ellisse).

Gli asintoti sono le rette y = ±$b/a$x - linee che l'iperbole "insegue" all'infinito senza mai raggiungerle. Sono fondamentali per disegnare correttamente la curva.

💡 Visualizza: Gli asintoti sono come "guide" che mostrano la direzione dei rami all'infinito!

L'iperbole ha un comportamento asintotico: più ci si allontana dal centro, più si avvicina alle rette y = ±$b/a$x.

Caso 2 e comportamento asintotico

Per $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$, l'eccentricità diventa e = c/b (sempre > 1), e i fuochi si trovano in F(0, ±c) sull'asse y.

La relazione focale rimane c² = a² + b², ma ora il semiasse trasverso è b. Gli asintoti hanno sempre la stessa equazione: y = ±$b/a$x.

Il comportamento asintotico significa che allontanandosi dal centro, l'iperbole si avvicina sempre di più agli asintoti con un "margine di errore infinitesimo". È come se gli asintoti fossero delle linee guida per i rami.

💡 Importante: Gli asintoti sono sempre y = ±$b/a$x indipendentemente dall'orientamento dell'iperbole!

Questo comportamento è unico dell'iperbole - né l'ellisse né la parabola hanno asintoti.

Iperbole equilatera e casi speciali

L'iperbole equilatera si ha quando a = b, dando l'equazione x² - y² = ±a². È un caso speciale molto elegante!

Gli asintoti diventano y = ±x - due rette perpendicolari che si intersecano a 45°. La semidistanza focale è c = a√2, quindi l'eccentricità è e = √2.

L'iperbole riferita agli asintoti ha equazione xy = k. Si ottiene ruotando di 45° un'iperbole equilatera, così gli asintoti coincidono con gli assi cartesiani.

💡 Riconoscimento: Se vedi xy = k, è sempre un'iperbole equilatera riferita agli asintoti!

Esempi pratici: y = 2/x è un'iperbole equilatera con k = 2.

Funzione omografica

La funzione omografica y = $ax + b$/$cx + d$ rappresenta un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi coordinati. Il centro di simmetria è nel punto O'$-d/c, a/c$.

Questa forma è molto utile perché collega le iperboli con le funzioni razionali che studi in analisi. Ogni funzione omografica ha due asintoti: uno verticale e uno orizzontale.

L'esempio y = $2x + 1$/$x - 3$ mostra come una frazione algebrica rappresenti geometricamente un'iperbole traslata rispetto all'origine.

💡 Collegamento: Le funzioni omografiche uniscono algebra e geometria - ogni frazione è un'iperbole!

Riconoscere queste forme ti aiuterà sia nei problemi di geometria analitica che nell'analisi delle funzioni.