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Geometria Analitica e Euclidea nello Spazio: Formule, Esercizi e PDF Zanichelli

201

2

geometria analitica nello spazio

Materie

Matematica

Geometria

Spazio cartesiano, punti, rette e piani

6102

•

30 giu 2025

•

7 pagine

Geometria Analitica e Euclidea nello Spazio: Formule, Esercizi e PDF Zanichelli

user profile picture

marika

@marika_fucf

A comprehensive guide to geometria analitica nello spazio, focusing... Mostra di più

<h2 id="geometry">Geometry</h2> <p>The space is represented with a Cartesian reference system, using the coordinated axes x, y, z, which ar

Page 2: General Equation of a Plane

This page covers the fundamental concepts of planes in three-dimensional space.

Definition: The general equation of a plane through point Px0,y0,z0x₀, y₀, z₀ with normal vector a,b,ca,b,c is: ax−x0x-x₀ + by−y0y-y₀ + cz−z0z-z₀ = 0

Example: Special cases of planes:

  • When c=0: plane parallel to z-axis
  • When b=0: plane parallel to y-axis
  • When a=0: plane parallel to x-axis

Highlight: Two planes are parallel if and only if their normal vectors are parallel: a/a' = b/b' = c/c'

Quote: "The distance from a point Axa,ya,zaxa, ya, za to a plane ax + by + cz + d = 0 is given by: |axa + bya + cza + d| / √a2+b2+c2a² + b² + c²"

<h2 id="geometry">Geometry</h2> <p>The space is represented with a Cartesian reference system, using the coordinated axes x, y, z, which ar

Page 3: Line Equations

This page details various representations of lines in three-dimensional space.

Definition: A line in space can be defined by:

  • A point P₀x0,y0,z0x₀, y₀, z₀
  • A direction vector vl,m,nl,m,n

Example: Parametric equations of a line: x = x₀ + lt y = y₀ + mt z = z₀ + nt

Highlight: The line passing through two points Ax1,y1,z1x₁, y₁, z₁ and Bx2,y2,z2x₂, y₂, z₂ has direction vector: v = x2−x1,y2−y1,z2−z1x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁

Vocabulary: Cartesian equations of a line are obtained by eliminating the parameter t from parametric equations when l,m,n ≠ 0: x−x0x-x₀/l = y−y0y-y₀/m = z−z0z-z₀/n

<h2 id="geometry">Geometry</h2> <p>The space is represented with a Cartesian reference system, using the coordinated axes x, y, z, which ar

Page 4: Relative Positions of Lines and Planes

This page explores the relationships between lines and planes in three-dimensional space.

Definition: Two lines with direction vectors vl,m,nl,m,n and v'l′,m′,n′l',m',n' can be:

  • Parallel
  • Coincident
  • Skew
  • Intersecting
  • Perpendicular

Example: Lines are perpendicular when: ll' + mm' + nn' = 0

Highlight: A line and plane are:

  • Parallel when n·v = 0
  • Intersecting when n·v ≠ 0
  • Perpendicular when n = kv

Quote: "Two perpendicular lines can be either intersecting or skew."

<h2 id="geometry">Geometry</h2> <p>The space is represented with a Cartesian reference system, using the coordinated axes x, y, z, which ar

Relative Positions of Lines and Planes

This section discusses the relationships between lines and planes in space, including rette parallele and rette perpendicolari.

Definition: Two lines with direction vectors vl,m,nl,m,n and v'l′,m′,n′l',m',n' are:

  • Parallel if v = kv' for some k≠0
  • Perpendicular if ll' + mm' + nn' = 0

Highlight: Lines in space can be:

  • Parallel
  • Intersecting
  • Skew neitherparallelnorintersectingneither parallel nor intersecting
<h2 id="geometry">Geometry</h2> <p>The space is represented with a Cartesian reference system, using the coordinated axes x, y, z, which ar

Vector Operations in Space

This section covers vector operations and their geometric interpretations in three-dimensional space.

Definition: A vector in space can be represented as v = x,y,zx,y,z with magnitude |v| = √x2+y2+z2x² + y² + z²

Example: Vector operations include:

  • Addition: x1,y1,z1x₁,y₁,z₁ + x2,y2,z2x₂,y₂,z₂ = x1+x2,y1+y2,z1+z2x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂
  • Scalar multiplication: kx,y,zx,y,z = kx,ky,kzkx,ky,kz
<h2 id="geometry">Geometry</h2> <p>The space is represented with a Cartesian reference system, using the coordinated axes x, y, z, which ar

Line Representations in Space

This section examines different ways to represent lines in three-dimensional space.

Definition: A line can be represented in:

  • Explicit form: y = mx + q
  • Implicit form: ax + by + c = 0
  • Parametric form: P₀ + tv

Highlight: Each representation has its advantages:

  • Explicit form gives clear geometric meaning
  • Implicit form includes vertical lines
  • Parametric form provides direction information
<h2 id="geometry">Geometry</h2> <p>The space is represented with a Cartesian reference system, using the coordinated axes x, y, z, which ar

Page 1: Coordinates and Vectors in Space

This page introduces fundamental concepts of three-dimensional coordinate systems and vector operations.

Definition: A three-dimensional coordinate system consists of three perpendicular axes x,y,zx, y, z intersecting at the origin O.

Vocabulary: A point P in space is represented by an ordered triple xp,yp,zpxp, yp, zp, where:

  • xp is the abscissa
  • yp is the ordinate
  • zp is the height/elevation

Example: The distance between two points Axa,ya,zaxa, ya, za and Bxb,yb,zbxb, yb, zb is calculated using: d = √(xb−xa)2+(yb−ya)2+(zb−za)2(xb-xa)² + (yb-ya)² + (zb-za)²

Highlight: Vector operations in space include:

  • Addition: a + b = ax+bx,ay+by,az+bzax+bx, ay+by, az+bz
  • Scalar multiplication: ka = kax,kay,kazkax, kay, kaz
  • Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz
  • Cross product: axb = aybz−azbyaybz-azbyi + azbx−axbzazbx-axbzj + axby−aybxaxby-aybxk


Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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Geometria

Spazio cartesiano, punti, rette e piani

 

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marika

@marika_fucf

A comprehensive guide to geometria analitica nello spazio, focusing on coordinate systems, vectors, planes, and lines in three-dimensional space.

• The guide covers fundamental concepts of 3D analytical geometry including coordinate systems, distance formulas, and vector operations

• Detailed... Mostra di più

<h2 id="geometry">Geometry</h2> <p>The space is represented with a Cartesian reference system, using the coordinated axes x, y, z, which ar

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Page 2: General Equation of a Plane

This page covers the fundamental concepts of planes in three-dimensional space.

Definition: The general equation of a plane through point Px0,y0,z0x₀, y₀, z₀ with normal vector a,b,ca,b,c is: ax−x0x-x₀ + by−y0y-y₀ + cz−z0z-z₀ = 0

Example: Special cases of planes:

  • When c=0: plane parallel to z-axis
  • When b=0: plane parallel to y-axis
  • When a=0: plane parallel to x-axis

Highlight: Two planes are parallel if and only if their normal vectors are parallel: a/a' = b/b' = c/c'

Quote: "The distance from a point Axa,ya,zaxa, ya, za to a plane ax + by + cz + d = 0 is given by: |axa + bya + cza + d| / √a2+b2+c2a² + b² + c²"

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Definition: A line in space can be defined by:

  • A point P₀x0,y0,z0x₀, y₀, z₀
  • A direction vector vl,m,nl,m,n

Example: Parametric equations of a line: x = x₀ + lt y = y₀ + mt z = z₀ + nt

Highlight: The line passing through two points Ax1,y1,z1x₁, y₁, z₁ and Bx2,y2,z2x₂, y₂, z₂ has direction vector: v = x2−x1,y2−y1,z2−z1x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁

Vocabulary: Cartesian equations of a line are obtained by eliminating the parameter t from parametric equations when l,m,n ≠ 0: x−x0x-x₀/l = y−y0y-y₀/m = z−z0z-z₀/n

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  • Parallel
  • Coincident
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  • Perpendicular

Example: Lines are perpendicular when: ll' + mm' + nn' = 0

Highlight: A line and plane are:

  • Parallel when n·v = 0
  • Intersecting when n·v ≠ 0
  • Perpendicular when n = kv

Quote: "Two perpendicular lines can be either intersecting or skew."

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  • Parallel if v = kv' for some k≠0
  • Perpendicular if ll' + mm' + nn' = 0

Highlight: Lines in space can be:

  • Parallel
  • Intersecting
  • Skew neitherparallelnorintersectingneither parallel nor intersecting
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Vector Operations in Space

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Example: Vector operations include:

  • Addition: x1,y1,z1x₁,y₁,z₁ + x2,y2,z2x₂,y₂,z₂ = x1+x2,y1+y2,z1+z2x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂
  • Scalar multiplication: kx,y,zx,y,z = kx,ky,kzkx,ky,kz
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Line Representations in Space

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Definition: A line can be represented in:

  • Explicit form: y = mx + q
  • Implicit form: ax + by + c = 0
  • Parametric form: P₀ + tv

Highlight: Each representation has its advantages:

  • Explicit form gives clear geometric meaning
  • Implicit form includes vertical lines
  • Parametric form provides direction information
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Definition: A three-dimensional coordinate system consists of three perpendicular axes x,y,zx, y, z intersecting at the origin O.

Vocabulary: A point P in space is represented by an ordered triple xp,yp,zpxp, yp, zp, where:

  • xp is the abscissa
  • yp is the ordinate
  • zp is the height/elevation

Example: The distance between two points Axa,ya,zaxa, ya, za and Bxb,yb,zbxb, yb, zb is calculated using: d = √(xb−xa)2+(yb−ya)2+(zb−za)2(xb-xa)² + (yb-ya)² + (zb-za)²

Highlight: Vector operations in space include:

  • Addition: a + b = ax+bx,ay+by,az+bzax+bx, ay+by, az+bz
  • Scalar multiplication: ka = kax,kay,kazkax, kay, kaz
  • Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz
  • Cross product: axb = aybz−azbyaybz-azbyi + azbx−axbzazbx-axbzj + axby−aybxaxby-aybxk

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4.9/5

App Store

4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

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Chiara

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