Le Basi del Valore Assoluto
Il valore assoluto |x| rappresenta sempre la distanza di un numero da zero, quindi è sempre positivo o nullo. Per definizione, |x| = x quando x ≥ 0, mentre |x| = -x quando x < 0.
Quando risolvi disequazioni con un solo valore assoluto come |A| > B, devi considerare due casi separati. Nel primo caso supponi che A ≥ 0 e risolvi A > B, nel secondo caso supponi che A < 0 e risolvi -A > B.
I casi particolari semplificano molto il lavoro. Se hai |A| > n (con n positivo), la soluzione diventa semplicemente A < -n oppure A > n. Se invece hai |A| < n, allora devi risolvere il sistema -n < A < n.
Trucco importante: Quando il secondo membro è negativo, |A| > -n ha sempre soluzione (tutti i numeri reali), mentre |A| < -n non ha mai soluzione!
Disequazioni con Più Valori Assoluti
Le disequazioni con due o più valori assoluti come |A| + |B| ≥ C richiedono un approccio più sistematico. Prima devi studiare il segno delle espressioni A e B risolvendo A ≥ 0 e B ≥ 0.
Rappresenta graficamente gli intervalli dove A e B cambiano segno. Questo ti permette di dividere la retta reale in zone dove conosci il segno di entrambe le espressioni.
Per ogni zona, togli i valori assoluti sostituendo con l'espressione corretta (positiva o con il segno cambiato) e risolvi la disequazione risultante. Le soluzioni finali saranno l'unione delle soluzioni di ogni zona.
Consiglio pratico: Fai sempre un disegno per visualizzare gli intervalli - ti aiuterà a non perdere pezzi della soluzione!