Il Rapporto Incrementale: Il Primo Passo

Il rapporto incrementale è la base di tutto il calcolo differenziale. Per una funzione continua y=f(x), questo rapporto si scrive come $f(x₀+h) - f(x₀)$/h, dove h è un piccolo incremento.

Dal punto di vista geometrico, questo rapporto rappresenta il coefficiente angolare della retta secante che passa per due punti del grafico. È come misurare la pendenza di una rampa tra due punti vicini sulla curva.

La derivata nasce quando facciamo tendere h a zero: lim(h→0) $f(x₀+h) - f(x₀)$/h = f'(x₀). In questo modo la retta secante diventa la retta tangente nel punto.

📌 Ricorda: La derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto!

Dalla Secante alla Tangente

Quando h tende a zero, succede qualcosa di magico: la retta secante si trasforma nella retta tangente. Il punto Q si avvicina sempre di più al punto P, e la pendenza della secante diventa la pendenza della tangente.

La formula lim(h→0) $f(x₀+h) - f(x₀)$/h = m_t ci dà il coefficiente angolare della retta tangente. Questo limite spesso porta alla forma indeterminata $0/0$, che risolviamo con le tecniche dei limiti.

Il significato geometrico è chiaro: man mano che l'incremento h diventa sempre più piccolo, stiamo "zoomando" sul punto P fino a vedere solo la direzione della curva in quel punto preciso.

📌 Trucco: Visualizza sempre il processo: secante → tangente quando Q → P!

Calcolare le Derivate: Un Esempio Pratico

Prendiamo y = x² e calcoliamo f'(1). Applichiamo la definizione: f'(1) = lim(h→0) $(1+h)² - 1²$/h.

Sviluppando il calcolo: $1+h$² - 1 = 1 + 2h + h² - 1 = h² + 2h = h$h + 2$. Quindi otteniamo lim(h→0) h$h+2$/h = lim(h→0) $h+2$ = 2.

La funzione derivata generalizza questo processo: per f(x) = x², abbiamo f'(x) = lim(h→0) $(x+h)² - x²$/h. Sviluppando otteniamo f'(x) = 2x, che ci dà la pendenza della tangente in qualsiasi punto.

📌 Applicazione: Nel punto (2,4), la tangente ha pendenza f'(2) = 4, quindi equazione y - 4 = 4$x - 2$!

Quando la Tangente Diventa Orizzontale

Completando l'esempio precedente: lim(h→0) $x² + h² + 2hx - x²$/h = lim(h→0) h$h + 2x$/h = 2x. Quindi la derivata prima di x² è f'(x) = 2x.

Una domanda importante: quando la tangente è orizzontale? Succede quando m_t = 0, cioè quando f'(x) = 0. Per y = x², questo avviene quando 2x = 0, quindi x = 0.

Nel punto (0,0) la parabola y = x² ha tangente orizzontale. Questo è il punto di minimo della funzione, dove la curva "smette di scendere e inizia a salire".

📌 Insight: I punti dove f'(x) = 0 sono spesso massimi, minimi o punti di flesso!

Derivate Destra e Sinistra negli Estremi

Quando hai una funzione definita su un intervallo $a,b$, devi usare le derivate destra e sinistra negli estremi. La derivata destra in a è f⁺(a) = lim(h→0⁺) $f(a+h) - f(a)$/h.

La derivata sinistra in b è f⁻(b) = lim(h→0⁻) $f(b+h) - f(b)$/h. Nota che h > 0 per la derivata destra e h < 0 per quella sinistra.

Queste derivate ti dicono l'andamento della funzione agli estremi: se f⁺(x) > 0 la funzione è crescente da quel punto in poi, se f⁺(x) < 0 è decrescente.

📌 Utilità pratica: Le derivate destra e sinistra sono fondamentali per studiare l'andamento completo di una funzione!

Il Legame tra Derivabilità e Continuità

Ecco un teorema fondamentale: se una funzione è derivabile in x₀, allora è continua in x₀. È un'implicazione a senso unico: derivabilità ⇒ continuità, ma non viceversa.

La dimostrazione è elegante: partiamo da lim(x→x₀) f(x) e usiamo la sostituzione h = x - x₀. Riscriviamo f$x₀ + h$ = f(x₀) + $f(x₀ + h) - f(x₀)$/h · h.

Applicando l'algebra dei limiti: lim(h→0) f(x₀) + lim(h→0) $f(x₀ + h) - f(x₀)$/h · lim(h→0) h = f(x₀) + f'(x₀) · 0 = f(x₀). Questo dimostra la continuità.

📌 Attenzione: Una funzione può essere continua ma non derivabile $come |x| in x = 0$!

Quando la Derivabilità Viene Meno

Considera la funzione y = {x se x ≥ 0; -x² se x < 0}. È continua ovunque, ma in x = 0 non è derivabile.

Calcoliamo le derivate destra e sinistra in x = 0. La derivata destra: f⁺(0) = lim(h→0⁺) $(0+h) - 0$/h = 1. La derivata sinistra: f⁻(0) = lim(h→0⁻) $-(0+h)² - 0$/h = lim(h→0⁻) $-h$ = 0.

Poiché f⁺(0) ≠ f⁻(0), la funzione non è derivabile in x = 0. Graficamente vedi due tangenti diverse che si incontrano in quel punto.

Per le funzioni elementari, ricorda le derivate base: y = k ⇒ y' = 0 (le costanti hanno derivata nulla).

📌 Visualizza: I punti angolosi o con tangenti diverse indicano non derivabilità!

Le Derivate delle Funzioni di Base

Le derivate delle funzioni elementari sono fondamentali da memorizzare. Iniziamo dalle più semplici: y = x ⇒ y' = 1 e y = mx + q ⇒ y' = m (la derivata di una retta è la sua pendenza).

Per le potenze: y = x² ⇒ y' = 2x, y = x³ ⇒ y' = 3x². La regola generale è y = xⁿ ⇒ y' = nxⁿ⁻¹ per qualsiasi n razionale.

Esempi utili: y = √x = x^(1/2) ⇒ y' = 1/(2√x) e y = 1/x = x⁻¹ ⇒ y' = -1/x². Queste formule ti risparmiano lunghi calcoli con i limiti.

📌 Memorizza: La regola y = xⁿ ⇒ y' = nxⁿ⁻¹ è la tua migliore amica nel calcolo delle derivate!

Le Funzioni Trascendenti e le Loro Derivate

Le funzioni trascendenti hanno derivate particolari che devi conoscere a memoria. La funzione esponenziale y = eˣ ha una proprietà unica: y' = eˣ (è uguale alla sua derivata).

Il logaritmo naturale: y = ln x ⇒ y' = 1/x. Questa derivata è definita solo per x > 0, coerentemente con il dominio del logaritmo.

Per le funzioni trigonometriche: y = sin x ⇒ y' = cos x e y = cos x ⇒ y' = -sin x. Nota il segno meno nella derivata del coseno.

La dimostrazione usa le formule di prostaferesi e il limite fondamentale lim(h→0) (sin h)/h = 1.

📌 Pattern: Le funzioni trigonometriche si "trasformano" ciclicamente attraverso la derivazione!

Proprietà Algebriche: La Linearità delle Derivate

La proprietà di linearità è fondamentale: D$af(x) + bg(x)$ = aD$f(x)$ + bD$g(x)$. Significa che puoi derivare termine per termine e moltiplicare per le costanti.

Esempio pratico: y = 3x² - 6x + 5 ⇒ y' = 3(2x) - 6(1) + 0 = 6x - 6. Per trovare dove la tangente è orizzontale: y' = 0 ⇒ x = 1.

Un esempio più complesso: y = 3ln x + $3x-1$/x² ⇒ y' = 3/x + derivata di $3x-1$/x². La derivata si annulla in x = 1/3, che corrisponde a un punto di minimo.

Ricorda il riepilogo completo: costanti → 0, x → 1, xⁿ → nxⁿ⁻¹, eˣ → eˣ, ln x → 1/x, sin x → cos x, cos x → -sin x.

📌 Strategia: Scomponi sempre funzioni complicate in parti più semplici usando la linearità!