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Matematica
19 dic 2025
1375
9 pagine
boiren ✨ @boiren
I limiti di funzioni sono uno dei concetti più importanti del calcolo e servono a capire come si... Mostra di più
I punti di accumulazione sono quelli attorno ai quali ci sono sempre altri punti del dominio, non importa quanto vicino guardiamo. Questo concetto è fondamentale perché il limite ha senso solo in questi punti.
Esistono due definizioni equivalenti di limite. La definizione con le successioni dice che il limite esiste se tutte le successioni che tendono al punto danno lo stesso risultato sulla funzione. La definizione epsilon-delta è più tecnica per ogni margine di errore ε, esiste un intorno δ tale che la funzione resta vicina al limite.
I casi principali sono il limite finito al finito (il più comune), il limite finito all'infinito e i limiti infiniti. Ognuno ha la sua formulazione precisa, ma l'idea è sempre la stessa controllare il comportamento della funzione.
Ricorda Il limite può esistere anche se la funzione non è definita nel punto!
Un teorema fondamentale stabilisce che il limite esiste se e solo se i limiti destro e sinistro esistono e sono uguali. Questo ti dà un metodo pratico per verificare l'esistenza dei limiti.
La dimostrazione funziona in entrambe le direzioni. Se il limite esiste, automaticamente esistono anche i limiti laterali. Viceversa, se i limiti laterali coincidono, allora esiste il limite generale.
Il teorema di collegamento dimostra che le due definizioni di limite sono completamente equivalenti. Questo significa che puoi usare quella che preferisci o quella più comoda per il problema specifico.
Strategia Se i limiti destro e sinistro sono diversi, il limite non esiste!
L'algebra dei limiti funziona esattamente come per le successioni puoi sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere i limiti, stando attento alle forme indeterminate.
Il teorema dei Carabinieri è uno strumento potentissimo se una funzione è "schiacciata" tra altre due che hanno lo stesso limite, allora anche lei ha quel limite. Funziona anche per i limiti infiniti.
Le funzioni limitate sono quelle che non superano mai un certo valore in modulo. Questo concetto ti serve per applicare alcuni teoremi e per capire il comportamento delle funzioni.
Trucco Il teorema dei Carabinieri risolve molti limiti che sembrano impossibili!
Ci sono due strategie principali per dimostrare che un limite non esiste. La prima è calcolare i limiti destro e sinistro se sono diversi, il limite non esiste.
La seconda strategia è più raffinata trovi due successioni diverse che tendono allo stesso punto ma danno risultati diversi sulla funzione. Questo dimostra che il limite non può esistere.
Il teorema di composizione ti permette di calcolare limiti di funzioni composte quando il limite esiste ed è finito. È molto utile per semplificare calcoli complessi.
Attenzione Una sola successione che dà un certo risultato non basta per dire che quello è il limite!
Una funzione continua in un punto è semplicemente una funzione il cui limite nel punto coincide con il valore della funzione. In altre parole non ci sono "salti" nel grafico.
L'algebra delle funzioni continue dice che somme, prodotti e quozienti di funzioni continue sono ancora continui (dove sono definiti). Tutte le funzioni elementari come polinomi, esponenziali, logaritmi e trigonometriche sono continue.
Le discontinuità si classificano in tre tipi eliminabili (il limite esiste ma è diverso dal valore), a salto (limiti destro e sinistro diversi), e di seconda specie (limiti che non esistono o sono infiniti).
Fondamentale La continuità significa che il grafico si disegna senza staccare la penna!
L'estensione per continuità ti permette di "riparare" una discontinuità eliminabile definendo il valore della funzione come il limite. L'esempio classico è sin(x)/x che si estende ponendo il valore 1 in x=0.
La dimostrazione che lim = 1 usa una disuguaglianza geometrica elegante sin(x) < x < tan(x), da cui si ottiene il risultato per confronto.
Il teorema di permanenza del segno dice che se una funzione continua è positiva in un punto, resta positiva in un intorno di quel punto. È fondamentale per molte dimostrazioni.
Esempio utile La funzione sin(x)/x estesa è continua ovunque, anche nell'origine!
Il teorema degli zeri è uno dei risultati più importanti se una funzione continua ha segni opposti agli estremi di un intervallo, allora ha almeno uno zero nell'intervallo.
La dimostrazione per bisezione è costruttiva dividi l'intervallo a metà e scegli la parte dove la funzione cambia segno. Ripetendo il processo, costruisci due successioni che convergono allo zero.
Questo teorema ha conseguenze pratiche enormi garantisce l'esistenza di soluzioni di equazioni e permette di costruire algoritmi numerici per trovarle.
Applicazione Questo teorema garantisce che ogni equazione continua ha soluzione!
Il teorema di Weierstrass garantisce che ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo assoluti. Questo è fondamentale per l'ottimizzazione.
La dimostrazione usa il teorema di Bolzano-Weierstrass da ogni successione in un intervallo chiuso e limitato si può estrarre una sottosuccessione convergente. Combinando questo con la continuità si ottiene il risultato.
L'esistenza della radice n-esima è una conseguenza diretta la funzione f(x) = x^n - a è continua e cambia segno, quindi ha uno zero che è proprio la radice cercata.
Importante Questo teorema vale solo su intervalli chiusi e limitati!
Il teorema dei valori intermedi completa il quadro una funzione continua assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e massimo. È la generalizzazione del teorema degli zeri.
La dimostrazione è elegante si considera la funzione g(x) = f(x) - λ e si applica il teorema degli zeri. Il valore intermedio λ corrisponde proprio allo zero di questa nuova funzione.
Questo teorema ha implicazioni profonde dice che le funzioni continue non possono "saltare" valori, rendendo concrete le idee intuitive sulla continuità.
Conseguenza Il grafico di una funzione continua è davvero una curva senza interruzioni!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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schemi derivate
MatematicaCalcolo differenziale, incremento differenziale, derivate, algebra delle derivate, teoremi sulle derivate, applicazione geometrica delle derivate e inoltre studi di funzioni con applicazione di derivata prima e seconda - Matematica, Analisi
Matematicastudio di una funzione fratta Dominio Segno intersezione assi limiti asintoti derivata prima e seconda
MatematicaAnalisi 1
MatematicaAppunti di matematica: le funzioni, gli intervalli, i limiti, gli asintoti, le derivate, i teoremi (tutto il programma di matematica del quinto anno della scuola di scienze umane). Li ho utilizzati per prepararmi all’esame di maturità. Efficacissimi.
MatematicaDerivata: evoluzione storica (Newton e Libeniz), il concetto di derivata, derivate elementari, operazioni con le derivate, derivabilità, punti di non derivabilità, introduzione al differenziale
MatematicaApp Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Anastasia
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Andrea
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boiren ✨
@boiren
I limiti di funzioni sono uno dei concetti più importanti del calcolo e servono a capire come si comporta una funzione quando la variabile si avvicina a un certo valore. Insieme alle funzioni continue, formano la base per comprendere derivate... Mostra di più
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I punti di accumulazione sono quelli attorno ai quali ci sono sempre altri punti del dominio, non importa quanto vicino guardiamo. Questo concetto è fondamentale perché il limite ha senso solo in questi punti.
Esistono due definizioni equivalenti di limite. La definizione con le successioni dice che il limite esiste se tutte le successioni che tendono al punto danno lo stesso risultato sulla funzione. La definizione epsilon-delta è più tecnica: per ogni margine di errore ε, esiste un intorno δ tale che la funzione resta vicina al limite.
I casi principali sono il limite finito al finito (il più comune), il limite finito all'infinito e i limiti infiniti. Ognuno ha la sua formulazione precisa, ma l'idea è sempre la stessa: controllare il comportamento della funzione.
Ricorda: Il limite può esistere anche se la funzione non è definita nel punto!
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Un teorema fondamentale stabilisce che il limite esiste se e solo se i limiti destro e sinistro esistono e sono uguali. Questo ti dà un metodo pratico per verificare l'esistenza dei limiti.
La dimostrazione funziona in entrambe le direzioni. Se il limite esiste, automaticamente esistono anche i limiti laterali. Viceversa, se i limiti laterali coincidono, allora esiste il limite generale.
Il teorema di collegamento dimostra che le due definizioni di limite sono completamente equivalenti. Questo significa che puoi usare quella che preferisci o quella più comoda per il problema specifico.
Strategia: Se i limiti destro e sinistro sono diversi, il limite non esiste!
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Le funzioni limitate sono quelle che non superano mai un certo valore in modulo. Questo concetto ti serve per applicare alcuni teoremi e per capire il comportamento delle funzioni.
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La seconda strategia è più raffinata: trovi due successioni diverse che tendono allo stesso punto ma danno risultati diversi sulla funzione. Questo dimostra che il limite non può esistere.
Il teorema di composizione ti permette di calcolare limiti di funzioni composte quando il limite esiste ed è finito. È molto utile per semplificare calcoli complessi.
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Le discontinuità si classificano in tre tipi: eliminabili (il limite esiste ma è diverso dal valore), a salto (limiti destro e sinistro diversi), e di seconda specie (limiti che non esistono o sono infiniti).
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Il teorema di permanenza del segno dice che se una funzione continua è positiva in un punto, resta positiva in un intorno di quel punto. È fondamentale per molte dimostrazioni.
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La dimostrazione per bisezione è costruttiva: dividi l'intervallo a metà e scegli la parte dove la funzione cambia segno. Ripetendo il processo, costruisci due successioni che convergono allo zero.
Questo teorema ha conseguenze pratiche enormi: garantisce l'esistenza di soluzioni di equazioni e permette di costruire algoritmi numerici per trovarle.
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L'esistenza della radice n-esima è una conseguenza diretta: la funzione f(x) = x^n - a è continua e cambia segno, quindi ha uno zero che è proprio la radice cercata.
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Il teorema dei valori intermedi completa il quadro: una funzione continua assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e massimo. È la generalizzazione del teorema degli zeri.
La dimostrazione è elegante: si considera la funzione g(x) = f(x) - λ e si applica il teorema degli zeri. Il valore intermedio λ corrisponde proprio allo zero di questa nuova funzione.
Questo teorema ha implicazioni profonde: dice che le funzioni continue non possono "saltare" valori, rendendo concrete le idee intuitive sulla continuità.
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Matematicastudio di una funzione fratta Dominio Segno intersezione assi limiti asintoti derivata prima e seconda
MatematicaAnalisi 1
MatematicaAppunti di matematica: le funzioni, gli intervalli, i limiti, gli asintoti, le derivate, i teoremi (tutto il programma di matematica del quinto anno della scuola di scienze umane). Li ho utilizzati per prepararmi all’esame di maturità. Efficacissimi.
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Stefano S
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Samantha Klich
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