Il calcolo differenziale è uno strumento fondamentale della matematica che ci permette di studiare come variano le funzioni.
La derivata rappresenta il concetto chiave del calcolo differenziale e il suo significato geometrico è quello della pendenza della retta tangente alla curva in un punto. La derivata prima ci fornisce informazioni sulla velocità di variazione di una funzione, mentre la derivata di x è uno dei casi più semplici da calcolare. Per trovare le derivate esistono diverse formule che permettono di calcolare la derivata di funzioni composte, prodotti e quozienti.
Il teorema di Rolle e il teorema di Lagrange sono due risultati fondamentali che ci permettono di studiare l'andamento delle funzioni attraverso le loro derivate. Il teorema di de l'Hopital è invece uno strumento potente per calcolare limiti di forme indeterminate, la cui dimostrazione si basa proprio sullo studio delle derivate. La sua spiegazione semplice consiste nel fatto che, in determinate condizioni, il limite del rapporto di due funzioni può essere calcolato come limite del rapporto delle loro derivate. La formula di Taylor permette di approssimare una funzione attraverso polinomi, ed esistono diverse versioni come quella con resto di Peano o con resto di Lagrange. Lo sviluppo di Taylor è particolarmente utile nello studio di funzioni complesse e trova numerose applicazioni in fisica e ingegneria. La formula di Taylor in due variabili estende questo concetto alle funzioni di più variabili, permettendo di studiare superfici e campi vettoriali.
