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Guida facile sulle derivate e le formule importanti

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Arianna Battaglia

03/12/2022

Matematica

derivate

Guida facile sulle derivate e le formule importanti

Il calcolo differenziale è uno strumento fondamentale della matematica che ci permette di studiare come variano le funzioni.

La derivata rappresenta il concetto chiave del calcolo differenziale e il suo significato geometrico è quello della pendenza della retta tangente alla curva in un punto. La derivata prima ci fornisce informazioni sulla velocità di variazione di una funzione, mentre la derivata di x è uno dei casi più semplici da calcolare. Per trovare le derivate esistono diverse formule che permettono di calcolare la derivata di funzioni composte, prodotti e quozienti.

Il teorema di Rolle e il teorema di Lagrange sono due risultati fondamentali che ci permettono di studiare l'andamento delle funzioni attraverso le loro derivate. Il teorema di de l'Hopital è invece uno strumento potente per calcolare limiti di forme indeterminate, la cui dimostrazione si basa proprio sullo studio delle derivate. La sua spiegazione semplice consiste nel fatto che, in determinate condizioni, il limite del rapporto di due funzioni può essere calcolato come limite del rapporto delle loro derivate. La formula di Taylor permette di approssimare una funzione attraverso polinomi, ed esistono diverse versioni come quella con resto di Peano o con resto di Lagrange. Lo sviluppo di Taylor è particolarmente utile nello studio di funzioni complesse e trova numerose applicazioni in fisica e ingegneria. La formula di Taylor in due variabili estende questo concetto alle funzioni di più variabili, permettendo di studiare superfici e campi vettoriali.

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03/12/2022

7398


<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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La Derivata: Concetti Fondamentali e Applicazioni

La derivata rappresenta uno dei concetti più importanti del calcolo differenziale, fornendo un potente strumento per comprendere il tasso di variazione di una funzione. Il significato geometrico della derivata si manifesta come la pendenza della retta tangente a una curva in un punto specifico.

Il rapporto incrementale, espresso come f'xx = limh0h→0 f(x0+h)f(x0)f(x₀+h)-f(x₀)/h, costituisce la base per il calcolo della derivata. Questo limite, quando esiste, fornisce il valore della derivata nel punto x₀. Se il limite non esiste, la funzione non è derivabile in quel punto.

Definizione: La derivata di una funzione in un punto rappresenta il limite del rapporto incrementale quando l'incremento h tende a zero.

Per calcolare la derivata di x, consideriamo un esempio pratico con fxx=x². Applicando la formula del rapporto incrementale: f'ee = limh0h→0 (e+h)2e2(e+h)²-e²/h = limh0h→0 e2+2eh+h2e2e²+2eh+h²-e²/h = limh0h→0 2eh+h22eh+h²/h = 2e


<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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Applicazioni Pratiche della Derivata

La determinazione della retta tangente rappresenta una delle applicazioni più significative della derivata. Per una funzione y=3x², possiamo trovare l'equazione della retta tangente seguendo questi passaggi:

  1. Calcolare fx0x₀ nel punto di tangenza
  2. Determinare f'x0x₀ utilizzando il rapporto incrementale
  3. Applicare l'equazione y = fx0x₀ + f'x0x₀xx0x-x₀

Esempio: Per trovare la retta tangente a y=3x² in x₀=1:

  1. f11 = 311² = 3
  2. f'11 = limh0h→0 3(1+h)233(1+h)²-3/h = 6
  3. y = 3 + 6x1x-1 = 6x-3

<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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Teoremi Fondamentali sulle Derivate

La teoria delle derivate si basa su alcuni teoremi fondamentali che ne definiscono le proprietà e le applicazioni. Il teorema di Lagrange e il teorema di Rolle sono particolarmente significativi.

Il teorema di Lagrange afferma che per una funzione continua in a,ba,b e derivabile in a,ba,b, esiste almeno un punto c nell'intervallo tale che f'cc = f(b)f(a)f(b)-f(a)/bab-a.

Evidenziazione: Una funzione derivabile è sempre continua, ma non vale il contrario. Questa è una proprietà fondamentale della derivabilità.

Il teorema di Rolle rappresenta un caso particolare del teorema di Lagrange quando faa=fbb, garantendo l'esistenza di almeno un punto c dove f'cc=0.


<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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La Formula di Taylor e le Sue Applicazioni

La formula di Taylor permette di approssimare una funzione mediante polinomi di grado crescente. Per una funzione fxx, lo sviluppo di Taylor intorno al punto x₀ è:

fxx = fx0x₀ + f'x0x₀xx0x-x₀ + f"x0x₀xx0x-x₀²/2! + f'''x0x₀xx0x-x₀³/3! + ...

Esempio: Per fxx=√x intorno a x₀=4:

  1. f44 = 2
  2. f'xx = 1/2x2√x
  3. f"xx = -1/4xx4x√x
  4. Sviluppo: 2 + 1/41/4x4x-4 - 1/641/64x4x-4² + ...

La formula di Taylor trova numerose applicazioni nel calcolo approssimato e nell'analisi numerica.


<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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La Formula di Taylor e il Calcolo dei Limiti

La formula di Taylor rappresenta uno strumento matematico fondamentale per l'approssimazione di funzioni attraverso polinomi. Questa formula è particolarmente utile nel calcolo dei limiti quando ci troviamo di fronte a forme indeterminate.

Per comprendere l'applicazione della formula di taylor spiegazione, consideriamo un esempio pratico con la funzione esponenziale. Quando calcoliamo il limite di ex1eˣ-1/x per x che tende a 0, possiamo utilizzare lo sviluppo di Taylor centrato in x₀=0:

Definizione: La formula di Taylor esprime una funzione come somma di infiniti termini polinomiali, dove ogni termine successivo fornisce un'approssimazione sempre più precisa della funzione originale.

Nel caso dell'esponenziale, lo sviluppo di Taylor ci dà: eˣ = 1 + x + x2/2!x²/2! + x3/3!x³/3! + ...

Questo sviluppo ci permette di semplificare notevolmente il calcolo del limite, poiché possiamo sostituire l'esponenziale con i primi termini del suo sviluppo. La potenza di questa formula risiede nella sua capacità di trasformare espressioni complesse in forme più maneggevoli.

Esempio: Applicando la formula al nostro limite: ex1eˣ-1/x = 1+x+x2/2+...11 + x + x²/2 + ... - 1/x = 1 + x/2 + ...


<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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Il Teorema di De L'Hôpital e le Forme Indeterminate

Il teorema di de l'hopital spiegazione semplice fornisce un metodo potente per calcolare limiti che si presentano in forma indeterminata. Per applicare questo teorema, devono essere soddisfatte tre condizioni fondamentali:

  1. Le funzioni devono essere derivabili
  2. Il limite deve presentarsi come rapporto tra funzioni
  3. La forma deve essere indeterminata 0/0oppure/0/0 oppure ∞/∞

Highlight: Il teorema afferma che il limite del rapporto delle funzioni è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, quando sono soddisfatte le condizioni necessarie.

L'applicazione del teorema di de l'hopital quando si applica richiede particolare attenzione alla verifica delle ipotesi. Se il limite non si presenta come frazione, è necessario manipolare l'espressione per ottenere la forma corretta.

Esempio: Nel caso del limite di xlnxx ln x/xx per x→0⁺, applichiamo il teorema: limx0+x→0⁺ lnx+1ln x + 1/11 = limx0+x→0⁺ 1/x1/x


<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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Il Teorema di Fermat e i Punti Stazionari

Il teorema di rolle e il teorema di Fermat sono strumenti essenziali per l'analisi dei punti di massimo e minimo di una funzione. Il teorema di Fermat stabilisce che se una funzione ha un estremo relativo in un punto interno al suo dominio, allora la derivata in quel punto deve essere nulla seesistese esiste.

Per applicare correttamente il teorema, è fondamentale verificare che:

  • La funzione sia derivabile nel punto considerato
  • Il punto sia interno all'intervallo di definizione

Definizione: Un punto stazionario è un punto in cui la derivata prima si annulla, ma questo non garantisce che sia un estremo relativo.

Per determinare la natura dei punti stazionari, possiamo utilizzare due metodi principali:

  1. Studio del segno della derivata prima
  2. Analisi delle derivate successive

<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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Concavità e Convessità delle Funzioni

L'analisi della concavità di una funzione si basa sullo studio della derivata seconda. Quando la derivata seconda è positiva in un intervallo, la funzione è convessa graficoaformadiUgrafico a forma di U, mentre quando è negativa, la funzione è concava graficoaformadigrafico a forma di ∩.

Esempio: Per la funzione fxx = 3x³ - 6x² + 2x, la derivata seconda f"xx = 18x - 12 ci permette di determinare gli intervalli di concavità e convessità.

La comprensione della concavità è fondamentale per:

  • Identificare i punti di flesso
  • Analizzare il comportamento globale della funzione
  • Determinare la forma del grafico

Highlight: Il cambio di segno della derivata seconda individua i punti di flesso, dove la funzione cambia la sua concavità.


<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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Studio Completo delle Funzioni Razionali: Analisi e Proprietà

Lo studio di una funzione razionale richiede un'analisi metodica e approfondita di diverse caratteristiche fondamentali. Iniziamo esaminando la funzione fxx = x/x3+1x³+1, un esempio classico che ci permette di esplorare vari aspetti dell'analisi matematica.

Il primo passo fondamentale è determinare il dominio della funzione. Per la funzione in esame, il dominio è costituito da tutti i numeri reali eccetto -1, ovvero IR \ {-1}. Questo perché il denominatore non può mai essere zero, e x³+1 = 0 ha come unica soluzione reale x = -1.

Per comprendere la simmetria della funzione, verifichiamo se è pari o dispari. Una funzione è pari quando fx-x = fxx, mentre è dispari quando fx-x = -fxx. Nel nostro caso, sostituendo -x nella funzione originale, otteniamo che non soddisfa nessuna delle due condizioni, quindi non presenta simmetrie particolari.

Definizione: Una funzione si dice pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y, mentre si dice dispari se è simmetrico rispetto all'origine.

L'intersezione con gli assi cartesiani rappresenta un altro aspetto cruciale dello studio. Per trovare l'intersezione con l'asse x, poniamo y = 0 e risolviamo l'equazione risultante. Nel nostro caso, troviamo che l'origine 0,00,0 è l'unico punto di intersezione con gli assi. Questo punto è particolarmente significativo perché rappresenta l'unico punto in cui la funzione "tocca" il sistema di riferimento.

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

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L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

7398

3 dic 2022

14 pagine

Guida facile sulle derivate e le formule importanti

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Arianna Battaglia

@ariannabattaglia_27

Il calcolo differenziale è uno strumento fondamentale della matematica che ci permette di studiare come variano le funzioni.

La derivata rappresenta il concetto chiave del calcolo differenziale e il suo significato geometricoè quello della pendenza della retta tangente alla... Mostra di più


<p>Derivatives provide the tangent line to a given point. The incremental ratio f'(x) = lim h40 L₂ Lo f (xo+h)-f(xo) h provides the slope (

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La Derivata: Concetti Fondamentali e Applicazioni

La derivata rappresenta uno dei concetti più importanti del calcolo differenziale, fornendo un potente strumento per comprendere il tasso di variazione di una funzione. Il significato geometrico della derivata si manifesta come la pendenza della retta tangente a una curva in un punto specifico.

Il rapporto incrementale, espresso come f'xx = limh0h→0 f(x0+h)f(x0)f(x₀+h)-f(x₀)/h, costituisce la base per il calcolo della derivata. Questo limite, quando esiste, fornisce il valore della derivata nel punto x₀. Se il limite non esiste, la funzione non è derivabile in quel punto.

Definizione: La derivata di una funzione in un punto rappresenta il limite del rapporto incrementale quando l'incremento h tende a zero.

Per calcolare la derivata di x, consideriamo un esempio pratico con fxx=x². Applicando la formula del rapporto incrementale: f'ee = limh0h→0 (e+h)2e2(e+h)²-e²/h = limh0h→0 e2+2eh+h2e2e²+2eh+h²-e²/h = limh0h→0 2eh+h22eh+h²/h = 2e


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Applicazioni Pratiche della Derivata

La determinazione della retta tangente rappresenta una delle applicazioni più significative della derivata. Per una funzione y=3x², possiamo trovare l'equazione della retta tangente seguendo questi passaggi:

  1. Calcolare fx0x₀ nel punto di tangenza
  2. Determinare f'x0x₀ utilizzando il rapporto incrementale
  3. Applicare l'equazione y = fx0x₀ + f'x0x₀xx0x-x₀

Esempio: Per trovare la retta tangente a y=3x² in x₀=1:

  1. f11 = 311² = 3
  2. f'11 = limh0h→0 3(1+h)233(1+h)²-3/h = 6
  3. y = 3 + 6x1x-1 = 6x-3

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Teoremi Fondamentali sulle Derivate

La teoria delle derivate si basa su alcuni teoremi fondamentali che ne definiscono le proprietà e le applicazioni. Il teorema di Lagrange e il teorema di Rolle sono particolarmente significativi.

Il teorema di Lagrange afferma che per una funzione continua in a,ba,b e derivabile in a,ba,b, esiste almeno un punto c nell'intervallo tale che f'cc = f(b)f(a)f(b)-f(a)/bab-a.

Evidenziazione: Una funzione derivabile è sempre continua, ma non vale il contrario. Questa è una proprietà fondamentale della derivabilità.

Il teorema di Rolle rappresenta un caso particolare del teorema di Lagrange quando faa=fbb, garantendo l'esistenza di almeno un punto c dove f'cc=0.


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La Formula di Taylor e le Sue Applicazioni

La formula di Taylor permette di approssimare una funzione mediante polinomi di grado crescente. Per una funzione fxx, lo sviluppo di Taylor intorno al punto x₀ è:

fxx = fx0x₀ + f'x0x₀xx0x-x₀ + f"x0x₀xx0x-x₀²/2! + f'''x0x₀xx0x-x₀³/3! + ...

Esempio: Per fxx=√x intorno a x₀=4:

  1. f44 = 2
  2. f'xx = 1/2x2√x
  3. f"xx = -1/4xx4x√x
  4. Sviluppo: 2 + 1/41/4x4x-4 - 1/641/64x4x-4² + ...

La formula di Taylor trova numerose applicazioni nel calcolo approssimato e nell'analisi numerica.


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La Formula di Taylor e il Calcolo dei Limiti

La formula di Taylor rappresenta uno strumento matematico fondamentale per l'approssimazione di funzioni attraverso polinomi. Questa formula è particolarmente utile nel calcolo dei limiti quando ci troviamo di fronte a forme indeterminate.

Per comprendere l'applicazione della formula di taylor spiegazione, consideriamo un esempio pratico con la funzione esponenziale. Quando calcoliamo il limite di ex1eˣ-1/x per x che tende a 0, possiamo utilizzare lo sviluppo di Taylor centrato in x₀=0:

Definizione: La formula di Taylor esprime una funzione come somma di infiniti termini polinomiali, dove ogni termine successivo fornisce un'approssimazione sempre più precisa della funzione originale.

Nel caso dell'esponenziale, lo sviluppo di Taylor ci dà: eˣ = 1 + x + x2/2!x²/2! + x3/3!x³/3! + ...

Questo sviluppo ci permette di semplificare notevolmente il calcolo del limite, poiché possiamo sostituire l'esponenziale con i primi termini del suo sviluppo. La potenza di questa formula risiede nella sua capacità di trasformare espressioni complesse in forme più maneggevoli.

Esempio: Applicando la formula al nostro limite: ex1eˣ-1/x = 1+x+x2/2+...11 + x + x²/2 + ... - 1/x = 1 + x/2 + ...


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Il teorema di de l'hopital spiegazione semplice fornisce un metodo potente per calcolare limiti che si presentano in forma indeterminata. Per applicare questo teorema, devono essere soddisfatte tre condizioni fondamentali:

  1. Le funzioni devono essere derivabili
  2. Il limite deve presentarsi come rapporto tra funzioni
  3. La forma deve essere indeterminata 0/0oppure/0/0 oppure ∞/∞

Highlight: Il teorema afferma che il limite del rapporto delle funzioni è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, quando sono soddisfatte le condizioni necessarie.

L'applicazione del teorema di de l'hopital quando si applica richiede particolare attenzione alla verifica delle ipotesi. Se il limite non si presenta come frazione, è necessario manipolare l'espressione per ottenere la forma corretta.

Esempio: Nel caso del limite di xlnxx ln x/xx per x→0⁺, applichiamo il teorema: limx0+x→0⁺ lnx+1ln x + 1/11 = limx0+x→0⁺ 1/x1/x


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Per applicare correttamente il teorema, è fondamentale verificare che:

  • La funzione sia derivabile nel punto considerato
  • Il punto sia interno all'intervallo di definizione

Definizione: Un punto stazionario è un punto in cui la derivata prima si annulla, ma questo non garantisce che sia un estremo relativo.

Per determinare la natura dei punti stazionari, possiamo utilizzare due metodi principali:

  1. Studio del segno della derivata prima
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Concavità e Convessità delle Funzioni

L'analisi della concavità di una funzione si basa sullo studio della derivata seconda. Quando la derivata seconda è positiva in un intervallo, la funzione è convessa graficoaformadiUgrafico a forma di U, mentre quando è negativa, la funzione è concava graficoaformadigrafico a forma di ∩.

Esempio: Per la funzione fxx = 3x³ - 6x² + 2x, la derivata seconda f"xx = 18x - 12 ci permette di determinare gli intervalli di concavità e convessità.

La comprensione della concavità è fondamentale per:

  • Identificare i punti di flesso
  • Analizzare il comportamento globale della funzione
  • Determinare la forma del grafico

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Studio Completo delle Funzioni Razionali: Analisi e Proprietà

Lo studio di una funzione razionale richiede un'analisi metodica e approfondita di diverse caratteristiche fondamentali. Iniziamo esaminando la funzione fxx = x/x3+1x³+1, un esempio classico che ci permette di esplorare vari aspetti dell'analisi matematica.

Il primo passo fondamentale è determinare il dominio della funzione. Per la funzione in esame, il dominio è costituito da tutti i numeri reali eccetto -1, ovvero IR \ {-1}. Questo perché il denominatore non può mai essere zero, e x³+1 = 0 ha come unica soluzione reale x = -1.

Per comprendere la simmetria della funzione, verifichiamo se è pari o dispari. Una funzione è pari quando fx-x = fxx, mentre è dispari quando fx-x = -fxx. Nel nostro caso, sostituendo -x nella funzione originale, otteniamo che non soddisfa nessuna delle due condizioni, quindi non presenta simmetrie particolari.

Definizione: Una funzione si dice pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y, mentre si dice dispari se è simmetrico rispetto all'origine.

L'intersezione con gli assi cartesiani rappresenta un altro aspetto cruciale dello studio. Per trovare l'intersezione con l'asse x, poniamo y = 0 e risolviamo l'equazione risultante. Nel nostro caso, troviamo che l'origine 0,00,0 è l'unico punto di intersezione con gli assi. Questo punto è particolarmente significativo perché rappresenta l'unico punto in cui la funzione "tocca" il sistema di riferimento.


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Analisi Avanzata delle Proprietà delle Funzioni

La comprensione approfondita del comportamento di una funzione richiede l'analisi di ulteriori proprietà matematiche che ne caratterizzano l'andamento. Nel caso della nostra funzione razionale, è fondamentale esaminare il comportamento agli estremi del dominio e le eventuali discontinuità.

Il concetto di derivata diventa essenziale per comprendere la variazione della funzione. La derivata prima ci permette di studiare la crescenza e la decrescenza, mentre il significato geometrico della derivata ci aiuta a visualizzare la pendenza della curva in ogni punto.

Esempio: Per calcolare la derivata della nostra funzione, utilizziamo la regola del quoziente: f'xx = x3+1x3x2x³+1 - x·3x²/x3+1x³+1²

Lo studio dei limiti agli estremi del dominio ci permette di comprendere il comportamento asintotico della funzione. Questo aspetto è particolarmente rilevante per le funzioni razionali, dove il teorema di de l'Hopital può essere applicato per risolvere forme indeterminate.

Evidenziazione: Il teorema di Lagrange e il teorema di Rolle sono strumenti fondamentali per l'analisi completa della funzione, fornendo informazioni cruciali sulla presenza di punti stazionari e sull'andamento della curva.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS