Derivata

Didascalia alternativa:

quei punti. •DEFINIZIONE Derivata di una funzione; data una funzione f(x) definita per un intorno completo di x0, la derivata di f(x) è il limite per h tendente a 0 del rapporto incrementale. a una curva f(xA+h)-f(x) h DERIVATA di f(x) im x=xo i lim f(xa+h)-f(x) => coincide con I'm della retta tangente a f(x). .im quel punto.. ho CRESCENTE: derivata Ⓒ • DECRESCENTE: derivata Ⓒ • MASSIMO/MINIMO RELATIVO: derivata = 0 • VERTICALE: derivata = +00 (verso l'alta) " = -00 (verso il Basse); Con funzioni come seno e coseno tuttavia decade la definizione di retta tangente come quella di una retta che passa per due punti coincidenti in una funzione. Con la derivata invece identifico la tangente solo nel punto scelto. f(x+h)-f(x) = RAPPORTO INCREMENTALE h Per capire come si muove una funzione bisogna studiare il segno della derivata (dell'm della tangente): Aff La derivata 3 se 3 il lim m = lim_ f(x^+h)-f(x) = f'(xo). h ALTRI MODI DI SCRIVERE LA DERIVATA df dx In fisica se faccio tendere il denominatore a 0 ottengo la variazione istantanea. VARIAZIONE MEDIA ZIONE Xo AQ dQ →VARIAZIONE ISTANTANEA At dt ↓ XoXoth x • DERIVATE di FUNZIONI ELEMENTARI -DERIVATA di UNA f(x) COSTANTE: f(x)=c₁ Лу f(x)=c-f'(x)=c -DERIVATA di f(x)=x f'(x) = lim f(x+h)-f(x) h h→0 f(x)=x →→> f'(x) = 1 h->00 →DERIVATA PRIMA di xo f(x) = a* Ma se hoo DERIVATA di f(x) = a* ·f'(x) = lim f(x +h)-f(x) h f(xo) = c f(xo+h)=c f (x₁) = lim f(xo+h)-f(x₂) h hoo del rapporte incrementale (e finito come valore). →>>> Ma C-C=0 mentre h->0 →> GERARCHIA degli INFINITESIM: quello sopra → f'(x₁) = 0 f(x) = sin x DERIVATA di f(x) = logat f'(x) = lim f(x +h)-f(x) h ho →>> - DERIVATA di f(x)=x* com α € R f(x)= xª • f₁(x) = axª-1 In realtà questa formula vale per tutte le f(x) che si possone risolvere come potenze: ex. "√x3x² f(x)=x f(x+h)=x+h lim hoo f(x) = log₁ x → f'(x)=√ x lua -DERIVATA di f(x) = sim x f'(x) = lim f(x+h)-f(x) h→0 h Questo vale anche per l'accelerazione, la corrente,... l'importante è che il numeratore dipenda dal denominatore. } x==* = 1 f'(x) = lim ho h *+h-x_ lim h₂o x a f'(x) = cos x 1 = lim C=C = [8] X+0 h → f'(x) = a* lua f(x)= e* _> f'(x) = e* lue = e* quindi f(x) = f'(x) = UNICO CASO : • lim — · loga (x+4)= limono i laga h h-o ANAL1220 IL LIMITE NOTEVOLE: →lim • loga l = = = logal = => lim sin(x+h)- sinx hoo h h = lim = a lua hoo *(₁ + 1/ ) Ma se f(x) = lux + f(x)= = = = = = = → lega ( 10 ) = + Llaga (14 41) 50 1 lue x lua x lua Sinxcosh sinhcosx -sinx prevale cosx водые - DERIVATA di f(x) = cos x f(x +h)-f(x) f'(x)= lim h hoo f(x) = cosx → f'(x) = - Sinx ALGEBRA DELLE DERIVATE => lime cos(x+h)- cos(x) PRODOTTO di DUE FUNZIONI Presupposti: vedi somma y = f(x) · g(x) → y'=? y'= lim. hoo SOMMA di DUE FUNZIONI Some date f(x) e g(x), derivabil in un punto x apportemente al D di entrambe: D[ f(x) + g(x)] = _lim_ fix+h)+ g(x+h)-(f(x)+ g(x)) = lim f(x+h)-f(x) + 8(x+h) = g(x) = f'(x) + g'(x) D[f(x)+g(x)] = f'(x) +g'(x) hoo DIFFERENZA di DUE FUNZIONI Presupposti: vedi som ma D[ f(x) = g(x)] = f'(x) - g'(x) per dimostrazione analoga PRODOTTO di UNA FUNZIQUE COM UNA COSTANTE. с E data una f(x) derivabile in un punto x cf(x+h)-cf(x) - h y = c f (x) → y'= ? y'= lim D[cfw] = c(f'(x) y' = lim y'= limo hoo Siux N.B.: y = toux - Cox = lim f(x) - fly D [ f(x) · g(x)] = f'(x)g (x)+ g'(x) f(x) y'= ho FUNZIONE COMPOSTA y = fogoh=f(g(h(x))) => lim hoo ↓ = = lim cosx cosh - sinh sinx - cosx h f(x+h) g(x+h)-f(x) g(x) h c. f'(x) · y'= f'(x) g(x+0) + g'(x) f (x+ o) - RAPPORTO Date & funzioni f(x) e g(x) derivabili Vx GD di entrambe 1 g (x) +0. D[+(11) ] = -= lim = ( f(x+h) g(x) = g(x+h)-f() h g(x+h) g(x) h30 f(x+h)g(x+h)-g(x+h)f(x) h 8(x+h) [f(x+h)-f(x)] + f(x) [g(x+h) = g(x)] apportenente al suo D → aggiunge e sottragge al nume ratore g(x+h) f(x) + g(x+h)f(x)-f(x) g(x). = lim — (f(x+h) g(x) = f(x)g(x) + f(x) 8 (x) = f(x) g(x* h) ho h [ f(x+h)-f(x)] g(x) h.. gxvk) g(x) f'(x) g(x) = f(x) g'(x) J(Gk) ૧(૯) sinx | = → aggiungere sottragge al numeratore f(x) g(x) [g(x+h)- g(x)] f(x) = h· g(x+h) g(x) = lim g² (x) cos x (COBX)-(-sinx) sinx = cos²x y' = f'(g (h(x)). g' (h(x)) - h` (x) cos²x cos³ \₁ + tou ²x cos²x+ Sin²x RICORDA CHE h=0 PUNTI DI NON. DERIVABILITA Un punto é derivabile so: lim f(x) = l → limiti Dx e sx sono uguali X→ Xo f (x₂+h)-f(x) =l h lim h+o Se per hoo PUNTI ANGOLOSI 1. f(x) + f (x) & Sono valori finiti ma ‡ fra loro: EX: y = 1x1 hoo* l e uguale e finito, il punto é derivabile. [x sex>0 -Xse xao Y 2. f = (xo) >0; f + (xo) = 00 3. PUNTO di CUSPIDE •L'INVERSA A PUNTO DI FLESSO g(x)=f f(x). f+ (x₁) = lim f (xo) = lim h→0* f (x) > 0 f+ (x₁) = +∞0 f = (A) = +00 h₂o f+ (A) = +00 (xo+h)-xo h - (Xo+h)+ Xo = − 1 f. (A)=-00 ft (A) = +00 :}₁ -FINITO →INFINITO = + 1 f. (B) = +00 f+ (8)=-00 ・0 mon derivabile }; I LIMITI TENDONO A 000 L'inversa è simmetrica rispetto a y=x C'è una relazione tra f(xo) e g'(x)? SONO SIMMETRICHE RISPETTO a y=x 1 g'(x) = f'(x) I LIMITI TENDONO A 00 D orcsim = DIFFERENZIALE f(x) → f'(x) D [t(x)] df(x) dx 1 √1-x² -f'(x) = _df(x) dx ·f'(x) = dy dx •VT-x² D orccos= modi di scrivere la derivata →VARIAZIONE INFINITESIMA = dy dx D arctom= (= m) 1 1+x² dyz f'(x) dx → Differenziale della f(x) rispetto al punto x e all'incremento dx dx= f'(x).dy. →Differenziale della variabile x