Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Continuità e derivabilità

3532

•

29 mag 2022

•

5 pagine

Derivate e Punti di Non Derivabilità: Scopriamo le Formule e la Storia!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Samuele Paparella

@samuelepaparella

The storia della derivatatraces back to Newton and Leibniz,... Mostra di più

DERIVATA
I matematici che hanno contribuito a definire il concetto di derivata sono Newton. e Leibniz..
Newton, più da fisico, l'ha dedotta

Historical Development of Derivatives

The storia della derivata begins with the groundbreaking work of Newton and Leibniz. Their different approaches led to the same powerful mathematical concept.

Newton's approach:

Focused on defining instantaneous velocity in physics
Observed that as the time interval decreases, average velocity stabilizes
Graphically represented this concept using secant lines approaching a tangent line

Leibniz's approach:

More mathematically oriented
Developed through integral calculus and infinitesimal analysis
Aimed to find tangent lines to curves, with applications in optics

Definition: The derivative of a function f $x$ at a point x₀ is the limit of the difference quotient as h approaches zero: f' $x₀$ = lim $h→0$ $f(x₀+h$ - f $x₀$ ) / h

Highlight: The derivative represents the slope of the tangent line to a function at a given point, providing crucial information about the function's behavior.

Example: For a position function s $t$ = 4t², the derivative represents the instantaneous velocity.

Fundamental Concepts and Notations of Derivatives

This section explores the core concepts and various notations used in derivative calculations.

Key concepts:

The significato geometrico della derivata as the slope of the tangent line
Different notations for derivatives, including Leibniz notation $dy/dx$ and Lagrange notation $f'(x$ )
The relationship between derivatives and function behavior $increasing, decreasing, extrema$

Vocabulary: Rapporto incrementale $Difference quotient$ - The expression $f(x+h$ - f $x$ ) / h, which forms the basis of the derivative definition

Highlight: The sign of the derivative indicates whether a function is increasing $positive derivative$ or decreasing $negative derivative$

Example: At a relative maximum or minimum, the derivative equals zero, while at a vertical tangent, the derivative approaches infinity

Derivatives of Elementary Functions

This section covers the derivate fondamentali and techniques for finding derivatives of basic functions.

Key points:

Derivative of a constant function: f $x$ = c → f' $x$ = 0
Derivative of f $x$ = x: f' $x$ = 1
Power rule: If f $x$ = xⁿ, then f' $x$ = nxⁿ⁻¹
Derivatives of trigonometric functions: $sin x$ ' = cos x, $cos x$ ' = -sin x
Derivative of exponential function: $eˣ$ ' = eˣ
Derivative of logarithmic function: $ln x$ ' = 1/x

Definition: The power rule states that for any real number n, the derivative of xⁿ is nxⁿ⁻¹

Example: The derivative of f $x$ = x³ is f' $x$ = 3x²

Highlight: The exponential function eˣ is unique in that it is its own derivative

Algebra of Derivatives and Composite Functions

This section explores rules for combining derivatives and handling composite functions.

Key rules:

Sum rule: $f + g$ ' = f' + g'
Difference rule: $f - g$ ' = f' - g'
Product rule: $fg$ ' = f'g + fg'
Quotient rule: $f/g$ ' = $f'g - fg'$ / g²
Chain rule for composite functions: $f ∘ g$ ' = $f' ∘ g$ · g'

Example: If y = sin $x²$ , applying the chain rule gives y' = cos $x²$ · 2x

Highlight: The chain rule is crucial for differentiating composite functions and is widely used in calculus applications

Vocabulary: Funzione composta $Composite function$ - A function formed by applying one function to the result of another

These rules form the foundation for differentiating complex functions and are essential tools in calculus and its applications across various fields of science and engineering.

Overview of Derivatives

The concept of derivatives, a cornerstone of calculus, was developed independently by Newton and Leibniz in the 17th century. This mathematical tool is essential for analyzing rates of change and finding tangent lines to curves.

Key points:

Newton approached derivatives from a physics perspective, seeking to define instantaneous velocity
Leibniz developed derivatives through integral calculus and infinitesimal analysis
The definizione di derivata formula involves the limit of a difference quotient as the interval approaches zero
Derivatives have crucial applications in physics, engineering, and other sciences

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

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Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Samuele Paparella

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The storia della derivata traces back to Newton and Leibniz, who developed the concept from different perspectives. This fundamental calculus concept is crucial for understanding rates of change and tangent lines to curves. The derivata definizioneinvolves the limit of... Mostra di più

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Historical Development of Derivatives

The storia della derivata begins with the groundbreaking work of Newton and Leibniz. Their different approaches led to the same powerful mathematical concept.

Newton's approach:

Focused on defining instantaneous velocity in physics
Observed that as the time interval decreases, average velocity stabilizes
Graphically represented this concept using secant lines approaching a tangent line

Leibniz's approach:

More mathematically oriented
Developed through integral calculus and infinitesimal analysis
Aimed to find tangent lines to curves, with applications in optics

Definition: The derivative of a function f $x$ at a point x₀ is the limit of the difference quotient as h approaches zero: f' $x₀$ = lim $h→0$ $f(x₀+h$ - f $x₀$ ) / h

Highlight: The derivative represents the slope of the tangent line to a function at a given point, providing crucial information about the function's behavior.

Example: For a position function s $t$ = 4t², the derivative represents the instantaneous velocity.

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Fundamental Concepts and Notations of Derivatives

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The relationship between derivatives and function behavior $increasing, decreasing, extrema$

Vocabulary: Rapporto incrementale $Difference quotient$ - The expression $f(x+h$ - f $x$ ) / h, which forms the basis of the derivative definition

Highlight: The sign of the derivative indicates whether a function is increasing $positive derivative$ or decreasing $negative derivative$

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Derivatives of Elementary Functions

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Derivative of f $x$ = x: f' $x$ = 1
Power rule: If f $x$ = xⁿ, then f' $x$ = nxⁿ⁻¹
Derivatives of trigonometric functions: $sin x$ ' = cos x, $cos x$ ' = -sin x
Derivative of exponential function: $eˣ$ ' = eˣ
Derivative of logarithmic function: $ln x$ ' = 1/x

Definition: The power rule states that for any real number n, the derivative of xⁿ is nxⁿ⁻¹

Example: The derivative of f $x$ = x³ is f' $x$ = 3x²

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Example: If y = sin $x²$ , applying the chain rule gives y' = cos $x²$ · 2x

Highlight: The chain rule is crucial for differentiating composite functions and is widely used in calculus applications

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Anastasia

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