Proprietà delle Funzioni e Intervalli

Le funzioni crescenti sono quelle che salgono sempre: se prendi due punti qualsiasi e vai da sinistra a destra, il secondo punto sarà sempre più alto del primo. Pensa all'esponenziale con base maggiore di 1, come 2^x.

Le funzioni decrescenti fanno l'opposto: scendono sempre. Un esempio classico è 1/x per x positivi.

Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y (come x²), mentre quelle dispari sono simmetriche rispetto all'origine (come x³). Per riconoscerle: se f$-x$ = f(x) è pari, se f$-x$ = -f(x) è dispari.

Gli intervalli sono semplicemente "pezzetti" della retta reale. Puoi averli chiusi $a,b$ (includi gli estremi) o aperti ]a,b[ (escludi gli estremi). È come dire "da qui a lì, compresi i punti di partenza e arrivo" oppure "da qui a lì, ma senza toccare gli estremi".

💡 Ricorda: Le parentesi quadre $$ includono il punto, quelle tonde ( ) lo escludono!

Intorni e Punti di Accumulazione

Un intorno di un punto è semplicemente un "quartiere" attorno a quel punto. Immagina di stare in piazza e considerare tutte le strade nel raggio di 100 metri: quello è il tuo intorno!

L'intorno circolare è più specifico: prendi un punto x₀ e vai a distanza δ sia a destra che a sinistra. Matematicamente è l'intervallo ]x₀-δ, x₀+δ[.

Puoi anche avere intorni destri (solo a destra del punto) o sinistri (solo a sinistra). È utile quando studi funzioni che si comportano diversamente dai due lati.

I punti di accumulazione sono quelli "circondati" da infiniti punti dell'insieme. Se hai l'intervallo $2,9$, ogni punto interno è di accumulazione perché in qualsiasi suo intorno trovi sempre infiniti altri punti dell'intervallo. Anche gli estremi 2 e 9 lo sono!

💡 Trucco: Un punto isolato (come il 10 nell'esempio) non può essere di accumulazione perché puoi sempre trovare un intorno che non contiene altri punti dell'insieme.

Limiti e il Primo Limite Notevole

Quando una funzione ha limite per eccesso, si avvicina al valore limite sempre "da sopra", mentre per difetto sempre "da sotto". È come avvicinarsi a un numero rimanendo sempre più grandi o più piccoli di esso.

Il primo limite notevole è fondamentale: lim(x→0) (sin x)/x = 1. Questo limite è cruciale per tantissimi calcoli in trigonometria!

La dimostrazione usa un trucco geometrico geniale. In un cerchio unitario, il seno è più piccolo dell'arco, che a sua volta è più piccolo della tangente: sin x < x < tan x. Dividendo tutto per sin x e manipolando le disequazioni, ottieni cos x < (sin x)/x < 1.

Quando x tende a 0, cos x tende a 1, quindi per il teorema del confronto (o "dei due carabinieri"), anche (sin x)/x deve tendere a 1. È come essere schiacciati tra due persone che vanno nella stessa direzione: devi seguirle!

💡 Importante: Questo limite funziona solo con gli angoli in radianti, non in gradi!

Altri Limiti Notevoli e Infinitesimi

Il secondo limite notevole è lim(x→∞) $1+1/x$^x = e ≈ 2.718. Questo numero speciale spunta ovunque in natura: crescita demografica, interesse composto, decadimento radioattivo.

Da questo limite derivano altre formule utili: lim(x→0) ln$1+x$/x = 1 e lim(x→0) $e^x-1$/x = 1. Sono strumenti potentissimi per risolvere forme indeterminate 0/0.

Un infinitesimo è una funzione che tende a zero. Sembra banale, ma è fondamentale! Quando studi f(x) = x-2 per x che tende a 2, stai guardando un infinitesimo.

Il limite lim(x→0) $(1+x)^k - 1$/x = k è generalissimo e vale per qualsiasi k reale. È la "formula madre" che racchiude molti altri limiti come casi particolari.

💡 Pro tip: Memorizza questi limiti notevoli! Ti faranno risparmiare ore di calcoli durante verifiche ed esami.

Infiniti e Confronti

Un infinito è l'opposto dell'infinitesimo: una funzione che tende a ±∞. La funzione 1/x per x→0 è un classico esempio.

Quando hai due infinitesimi (o due infiniti), puoi confrontarli calcolando il limite del loro rapporto. Se ottieni un numero l ≠ 0, hanno lo stesso ordine. Se ottieni 0, il numeratore è di ordine superiore (va a zero più velocemente). Se ottieni ∞, il denominatore è di ordine superiore.

Esiste una gerarchia degli infiniti quando x→∞: i logaritmi crescono più lentamente delle potenze, che a loro volta crescono più lentamente degli esponenziali. È come una gara di velocità: (log x)^h << x^h << a^x.

Questa gerarchia è fondamentale per determinare il comportamento delle funzioni per valori molto grandi. Ti dice quale termine "domina" negli sviluppi asintotici.

💡 Visualizza: Immagina una gara tra una bicicletta (logaritmo), un'auto (potenza) e un razzo (esponenziale). All'inizio sono vicini, ma alla lunga il razzo stacca tutti!

Funzioni Continue e Teoremi Fondamentali

Una funzione è continua in un punto se non fa "salti": il limite coincide con il valore della funzione. Graficamente, puoi disegnarla senza staccare la penna dal foglio.

Per essere continua in x₀, una funzione deve soddisfare tre condizioni: deve esistere f(x₀), deve esistere il limite per x→x₀, e questi due valori devono essere uguali.

Il teorema di Weierstrass garantisce che ogni funzione continua su un intervallo chiuso $a,b$ ha massimo e minimo assoluti. È rassicurante: non devi preoccuparti che la funzione "scappi" all'infinito!

Il teorema degli zeri è utilissimo: se una funzione continua cambia segno agli estremi di un intervallo, da qualche parte deve attraversare l'asse x. È il principio dietro molti metodi numerici per trovare le radici.

💡 Applicazione pratica: Il teorema degli zeri spiega perché esiste sempre una temperatura a cui celsius e fahrenheit coincidono (-40°)!

Punti di Discontinuità

Non tutte le funzioni sono continue! I punti di discontinuità sono i "difetti" dove la funzione fa dei salti o diventa infinita.

La discontinuità di prima specie (o "salto") succede quando esistono entrambi i limiti destro e sinistro, ma sono diversi. La funzione "salta" da un valore all'altro, come nelle funzioni definite a tratti.

La discontinuità di seconda specie è più drammatica: almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste proprio. È il caso di 1/x in x=0.

La discontinuità di terza specie (o "eliminabile") è la più gentile: esiste il limite, ma la funzione non è definita nel punto o ha un valore diverso dal limite. Si "ripara" facilmente ridefinendo la funzione in quel punto.

💡 Esempio quotidiano: Il prezzo dei biglietti del treno ha discontinuità di prima specie: sotto i 12 anni paghi tariffa bambini, sopra paghi quella adulti. C'è un "salto" netto a 12 anni!

Asintoti: Le Guide Invisibili

Gli asintoti sono rette che la funzione "insegue" senza mai raggiungerle. Sono come guide invisibili che descrivono il comportamento della funzione.

L'asintoto verticale x = x₀ compare quando la funzione va all'infinito avvicinandosi a x₀. Pensa a f(x) = 1/$x-2$: vicino a x=2 la funzione "esplode" verso ±∞.

L'asintoto orizzontale y = l appare quando la funzione tende a un valore costante per x→±∞. È il comportamento "a lungo termine" della funzione.

L'asintoto obliquo y = mx + q è più sofisticato: per trovarlo calcoli m = lim(x→∞) f(x)/x e poi q = lim(x→∞) $f(x) - mx$. La funzione si avvicina a questa retta inclinata.

Una funzione non può avere contemporaneamente asintoti orizzontali e obliqui dalla stessa parte!

💡 Ricorda: Gli asintoti orizzontali e obliqui si escludono a vicenda. Se c'è uno, non può esserci l'altro dalla stessa parte!

Il Concetto di Derivata

La derivata nasce da un problema geometrico: come trovare la retta tangente a una curva in un punto? La soluzione è geniale: prendi secanti che si avvicinano sempre di più al punto e vedi dove "punta" il loro limite.

Il rapporto incrementale $f(c+h) - f(c)$/h rappresenta la pendenza della retta secante tra due punti. Quando h→0, questa secante diventa la tangente.

La derivata prima f'(c) è proprio il limite di questo rapporto incrementale. Geometricamente è la pendenza della tangente, fisicamente rappresenta la velocità istantanea di variazione.

Una funzione è derivabile in un punto se esistono e coincidono le derivate destra e sinistra. È più restrittivo della continuità: ogni funzione derivabile è continua, ma non viceversa!

💡 Intuizione fisica: Se stai guidando e la tua posizione è s(t), la derivata s'(t) è la tua velocità istantanea. La derivata seconda s''(t) è l'accelerazione!

Calcolo delle Derivate Fondamentali

Calcolare le derivate con la definizione è teoricamente corretto ma praticamente lungo. Per fortuna esistono regole di derivazione che rendono tutto più veloce!

La derivata di una costante è sempre zero: D(k) = 0. Ha senso: una retta orizzontale non ha pendenza!

La derivata della funzione identità f(x) = x è 1: D(x) = 1. Anche questo è intuitivo: la retta y = x ha pendenza costante 1.

La regola delle potenze è fondamentale: D$x^a$ = a·x^$a-1$. Dalla dimostrazione vedi come si usa il limite notevole $(1+t)^a - 1$/t → a per t→0.

Queste regole di base si combinano per derivare funzioni più complesse usando regole del prodotto, quoziente e composizione.

💡 Trucco: La regola delle potenze funziona anche per esponenti negativi e frazionari. D$1/x$ = D$x^(-1)$ = -1·x^(-2) = -1/x²!