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Matematica
20 dic 2025
2614
9 pagine
Denise @denise11
Lo studio di funzione è uno degli strumenti matematici più potenti per capire come si comporta una curva.... Mostra di più
Hai mai visto una funzione come una macchina che trasforma numeri? È esattamente così! Una funzione collega ogni elemento di un insieme A (dominio) a uno e uno solo elemento dell'insieme B (codominio).
Quando lavori con le funzioni reali di variabili reali, stai semplicemente associando numeri reali ad altri numeri reali. È la base di tutto quello che farai in analisi!
Le funzioni si dividono in due grandi famiglie algebriche (come polinomi, frazioni e radici) e trascendenti (come esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche). Questa classificazione ti aiuterà tantissimo quando dovrai studiare il dominio.
💡 Ricorda Gli intervalli aperti usano le parentesi tonde ( ), mentre quelli chiusi usano le parentesi quadre . Con infinito usi sempre le tonde!
Il dominio è l'insieme di tutti i valori per cui la funzione esiste - praticamente il tuo punto di partenza! Ogni tipo di funzione ha le sue regole specifiche.
Per le funzioni fratte, devi sempre porre il denominatore diverso da zero. Per quelle irrazionali, se hai una radice quadrata, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero. Le radici cubiche invece non danno problemi!
Quando studi il segno della funzione, stai cercando dove è positiva e dove è negativa. Gli zeri della funzione sono i punti dove passa per l'asse x.
💡 Trucco Per le funzioni irrazionali fratte devi soddisfare due condizioni contemporaneamente radicando ≥ 0 E denominatore ≠ 0.
Le simmetrie sono super utili! Se una funzione è pari , è simmetrica rispetto all'asse y. Se è dispari , è simmetrica rispetto all'origine.
I limiti ti dicono come si comporta la funzione nei punti dove non è definita. È uno strumento fondamentale per capire gli asintoti e il comportamento agli estremi.
La derivata è il tuo migliore amico per studiare crescenza, decrescenza e trovare massimi e minimi. Le regole base sono semplici la derivata di una costante è zero, la derivata di x^n è n·x^.
💡 Attenzione Le forme indeterminate (0/0, ∞/∞) richiedono tecniche speciali per essere risolte!
Una funzione è crescente in un intervallo se, presi due punti qualsiasi, al crescere di x cresce anche f(x). È decrescente quando succede il contrario.
L'algebra dell'infinito ha regole precise n/∞ = 0, ∞/n = ∞, ma attento alle forme indeterminate! Queste situazioni richiedono metodi speciali.
Le proprietà dei logaritmi sono fondamentali log_a(1) = 0, log_a(a) = 1, e le regole per somma, differenza e potenze ti semplificheranno moltissimo i calcoli.
💡 Ricorda La derivata ti dice tutto su crescenza e decrescenza - se f'(x) > 0 la funzione cresce, se f'(x) < 0 decresce!
Ogni studio di funzione completo segue sempre gli stessi 10 passaggi dominio, simmetria, positività, intersezioni con gli assi, limiti, asintoti, crescenza/decrescenza, massimi/minimi, concavità e infine il grafico.
La funzione costante f(x) = k è la più semplice dominio tutto R, grafico una retta orizzontale, asintoto orizzontale y = k. Non è né crescente né decrescente.
La funzione identità f(x) = x è dispari, passa per l'origine, è monotona crescente e rappresenta la bisettrice del primo e terzo quadrante.
💡 Strategia Segui sempre l'ordine dei 10 punti - ogni step ti fornisce informazioni utili per quelli successivi!
La funzione quadratica f(x) = x² ha il grafico a "U" (parabola), è sempre positiva, pari, con minimo nell'origine e concavità verso l'alto. È decrescente per x < 0 e crescente per x > 0.
La funzione cubica f(x) = x³ è dispari, monotona crescente, passa per l'origine e ha un punto di flesso in (0,0) dove cambia concavità.
Entrambe hanno dominio tutto R e non hanno asintoti, ma comportamenti completamente diversi agli estremi!
💡 Visualizza La quadratica "sorride" (concavità verso l'alto), la cubica ha una "S" stirata che attraversa l'origine.
La funzione di proporzionalità inversa f(x) = 1/x è il prototipo delle funzioni con asintoti. Ha dominio R{0}, è dispari, sempre decrescente, con asintoti verticale (asse y) e orizzontale (asse x).
Le funzioni omografiche f(x) = / generalizzano questo concetto. Hanno sempre due asintoti uno verticale e uno orizzontale.
La funzione radice quadrata f(x) = √x ha dominio [0,+∞), è sempre positiva, monotona crescente ma con derivata che si avvicina a zero per x grandi, dando concavità verso il basso.
💡 Pattern Tutte le funzioni fratte non costanti hanno asintoti - imparali a riconoscere subito!
La funzione logaritmica f(x) = ln x è definita solo per x > 0. È positiva quando x > 1, negativa quando 0 < x < 1, e si annulla in x = 1.
Ha un asintoto verticale in x = 0 (asse y) e cresce sempre, ma sempre più lentamente. La sua derivata f'(x) = 1/x conferma che è monotona crescente.
La concavità è verso il basso, il che significa che cresce rapidamente per piccoli valori di x, poi rallenta progressivamente.
💡 Collegamento Il logaritmo è l'inversa dell'esponenziale - i loro grafici sono speculari rispetto alla retta y = x!
La funzione esponenziale f(x) = e^x è sempre positiva e ha dominio tutto R. Non interseca mai l'asse x, ma passa per (0,1) sull'asse y.
È monotona crescente con derivata f'(x) = e^x sempre positiva. Ha concavità verso l'alto e un asintoto orizzontale (asse x) per x → -∞.
Il suo comportamento è opposto al logaritmo cresce lentamente per x negativi, poi esplode verso +∞ per x positivi.
💡 Caratteristica unica È l'unica funzione che coincide con la sua derivata - questo la rende speciale in tutta l'analisi!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi
spiegazione semplice e con i fondamentali dei logaritmi
MatematicaTeoria prima parte di matematica dalla funzione agli asintoti
Matematicaè una sintesi di matematica che potrebbe servire per la maturità
Matematicafunzioni, dominio, condominio, funzioni notevoli, rapporto incrementale e di derivata, studio completo, definizione primitiva, integrale indefinito e definito, teorema della media, calcolo aree, grafico della funzione +collegamenti storici matematici
Matematicateoremi, significato di limite, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi, punti di discontinuità, asintoti, punti per fare il grafico di una funzione
Matematicalimiti matematica definizioni esempi, spiegazione algebrica e topologica
MatematicaApp Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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Anastasia
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Greenlight Bonnie
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Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
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Denise
@denise11
Lo studio di funzione è uno degli strumenti matematici più potenti per capire come si comporta una curva. In pratica, partendo dalla sua equazione, puoi "disegnare" la curva e scoprire tutte le sue caratteristiche più importanti.
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Hai mai visto una funzione come una macchina che trasforma numeri? È esattamente così! Una funzione collega ogni elemento di un insieme A (dominio) a uno e uno solo elemento dell'insieme B (codominio).
Quando lavori con le funzioni reali di variabili reali, stai semplicemente associando numeri reali ad altri numeri reali. È la base di tutto quello che farai in analisi!
Le funzioni si dividono in due grandi famiglie: algebriche (come polinomi, frazioni e radici) e trascendenti (come esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche). Questa classificazione ti aiuterà tantissimo quando dovrai studiare il dominio.
💡 Ricorda: Gli intervalli aperti usano le parentesi tonde ( ), mentre quelli chiusi usano le parentesi quadre . Con infinito usi sempre le tonde!
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Per le funzioni fratte, devi sempre porre il denominatore diverso da zero. Per quelle irrazionali, se hai una radice quadrata, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero. Le radici cubiche invece non danno problemi!
Quando studi il segno della funzione, stai cercando dove è positiva e dove è negativa. Gli zeri della funzione sono i punti dove passa per l'asse x.
💡 Trucco: Per le funzioni irrazionali fratte devi soddisfare due condizioni contemporaneamente: radicando ≥ 0 E denominatore ≠ 0.
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La derivata è il tuo migliore amico per studiare crescenza, decrescenza e trovare massimi e minimi. Le regole base sono semplici: la derivata di una costante è zero, la derivata di x^n è n·x^.
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La funzione radice quadrata f(x) = √x ha dominio [0,+∞), è sempre positiva, monotona crescente ma con derivata che si avvicina a zero per x grandi, dando concavità verso il basso.
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Ha un asintoto verticale in x = 0 (asse y) e cresce sempre, ma sempre più lentamente. La sua derivata f'(x) = 1/x conferma che è monotona crescente.
La concavità è verso il basso, il che significa che cresce rapidamente per piccoli valori di x, poi rallenta progressivamente.
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La funzione esponenziale f(x) = e^x è sempre positiva e ha dominio tutto R. Non interseca mai l'asse x, ma passa per (0,1) sull'asse y.
È monotona crescente con derivata f'(x) = e^x sempre positiva. Ha concavità verso l'alto e un asintoto orizzontale (asse x) per x → -∞.
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Sudenaz Ocak
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