Concetti di Base della Fisica Generale

La Fisica Generale rappresenta lo studio sistematico dei fenomeni naturali attraverso l'osservazione, la misura e l'analisi matematica. Questa materia costituisce la base per comprendere come funziona il mondo intorno a noi.

Da ricordare: La fisica ti aiuta a comprendere meglio fenomeni quotidiani che potresti dare per scontati, come la caduta di un oggetto o il movimento di un'auto.

I principi studiati in questa disciplina sono universali e hanno applicazioni pratiche in innumerevoli campi, dalla tecnologia alla medicina, dall'ingegneria all'astronomia.

Attraverso il metodo scientifico, la fisica sviluppa modelli matematici che permettono non solo di descrivere ma anche di prevedere i fenomeni fisici.

Vettore Spostamento e Velocità

Lo spostamento è un vettore che rappresenta il cambio di posizione di un punto, definito come $\Delta \vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)$. Attenzione: lo spostamento non corrisponde necessariamente allo spazio percorso!

La velocità media può essere espressa in due modi:

• Come grandezza scalare: $V_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$ $m/s$
• Come vettore: $\vec{V_m} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)}{t_2 - t_1}$

Per conversione: 1 m/s = 3,6 km/h $per passare da m/s a km/h, moltiplica per 3,6$

La velocità istantanea è definita come: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}}$, tangente alla traiettoria.

Consiglio utile: Quando risolvi problemi di fisica, ricorda che la velocità vettoriale punta sempre nella direzione del movimento istantaneo, mentre la velocità scalare ti dice solo quanto velocemente ti stai muovendo.

Le componenti della velocità sono: $\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k}$ dove $v_x = \frac{dx}{dt} = \dot{x}$, ecc.

L'accelerazione è la derivata della velocità: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ $m/s²$

Tipi di Moto

Il moto rettilineo uniforme si verifica quando un corpo percorre spazi uguali in tempi uguali:

• Velocità: $v = \text{costante}$
• Posizione: $x(t) = x_0 + v_0(t-t_0)$
• Accelerazione: $a(t) = 0$

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato:

• Posizione: $x(t) = x_0 + v_0(t-t_0) + \frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
• Velocità: $v(t) = v_0 + a_0(t-t_0)$
• Accelerazione: $a(t) = \text{costante}$

La caduta dei gravi è un caso particolare con:

• Accelerazione: $a(t) = -g = -9,8 \text{ m/s}^2$
• Velocità: $v(t) = v_0 - gt$
• Posizione: $y(t) = y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2$

Nota importante: Per calcolare l'altezza massima, imposta $v(t) = 0$ e risolvi per $t$, poi sostituisci questo valore nella legge oraria.

Il moto balistico combina un moto orizzontale uniforme con un moto verticale uniformemente accelerato:

• Componente x: $a_x = 0$, $v_x = v_0\cos\alpha$, $x = v_0t\cos\alpha$
• Componente y: $a_y = -g$, $v_y = v_0\sin\alpha - gt$, $y = v_0t\sin\alpha - \frac{1}{2}gt^2$

La traiettoria è parabolica, con equazione: $y = x\tan\alpha - \frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2\cos^2\alpha}$

Gittata e Moto Armonico

La gittata di un proiettile (distanza orizzontale massima) è data da: $L = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$

La gittata massima si ottiene con un angolo di lancio di 45°.

Moto armonico semplice:

• Legge oraria: $x(t) = A\sin(ωt)$, dove:

  • $A$ è l'ampiezza (massima elongazione)
  • $ω$ è la pulsazione $rad/s$
  • $t$ è il tempo

• Periodo: $T = \frac{2\pi}{ω}$

• Frequenza: $f = \frac{1}{T}$ (Hz)

Approfondimento: Il moto armonico è alla base di numerosi fenomeni fisici, dalle oscillazioni di una molla ai circuiti elettrici, dalle onde sonore alla meccanica quantistica!

Nel moto armonico:

• Velocità: $v(t) = Aω\cos(ωt)$
• Accelerazione: $a(t) = -Aω^2\sin(ωt) = -ω^2x(t)$

L'accelerazione è sempre proporzionale e opposta allo spostamento, caratteristica fondamentale del moto armonico.

Moto di un Punto su Traiettoria Piana

Per un punto che si muove su una traiettoria piana, possiamo scomporre la velocità come: $\vec{v} = v \vec{e}$, dove $\vec{e}$ è il versore tangente alla traiettoria.

L'accelerazione può essere scomposta in componenti tangenziale e normale: $\vec{a} = \frac{dv}{dt}\vec{e} + \frac{v^2}{\rho}\hat{n}$

Dove:

• $\frac{dv}{dt}$ è l'accelerazione tangenziale (responsabile della variazione del modulo della velocità)
• $\frac{v^2}{\rho}$ è l'accelerazione normale o centripeta (responsabile della variazione della direzione)
• $\rho$ è il raggio di curvatura della traiettoria

Consiglio pratico: Più la curva è "stretta" (raggio di curvatura piccolo), maggiore sarà l'accelerazione centripeta necessaria per seguirla.

Nel caso del moto parabolico (es. lancio di un proiettile):

• Accelerazione tangenziale: $a_t = -\frac{v_y}{v}g$
• Accelerazione normale: $a_n = \frac{v_x}{v}g$
• Raggio di curvatura: $\rho(t) = \frac{v^3(t)}{gv_x}$

All'apice della traiettoria $v_y = 0$, si ha il raggio di curvatura minimo: $\rho_{min} = \frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}$

Moto Circolare

Nel moto circolare è utile introdurre grandezze angolari:

• Relazione arco-angolo: $s(t) = \theta(t) \cdot R$
• Velocità angolare: $\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}$ $rad/s$
• Relazione tra velocità lineare e angolare: $v = \omega R$
• Accelerazione angolare: $\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt}$ $rad/s²$

L'accelerazione può essere scomposta in:

• Accelerazione tangenziale: $a_t = \alpha R$
• Accelerazione normale (centripeta): $a_n = \omega^2 R$

Applicazione pratica: La velocità angolare è particolarmente utile quando si studiano corpi rotanti, perché non dipende dalla distanza dall'asse di rotazione.

Nel moto circolare uniforme (modulo della velocità costante):

• Periodo: $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$
• Velocità lineare: $v = \omega_0 R = \frac{2\pi R}{T}$
• Accelerazione tangenziale: $a_t = 0$
• Accelerazione normale: $a_n = \omega_0^2 R$

Il moto circolare uniforme può essere visto come due moti armonici semplici perpendicolari tra loro:

• $x(t) = R\cos(\omega_0 t + \phi_0)$
• $y(t) = R\sin(\omega_0 t + \phi_0)$

L'accelerazione è sempre diretta verso il centro della circonferenza (centripeta).

Moti Relativi

Quando un corpo si muove rispetto a un sistema di riferimento che è a sua volta in movimento, parliamo di moto relativo.

Moto di trascinamento per traslazione: Quando il sistema mobile si muove di moto traslatorio rispetto a quello fisso, le relazioni sono:

• Posizione: $\vec{r}_a = \vec{r}_0 + \vec{r}_r$
• Velocità: $\vec{v}_a = \vec{v}_t + \vec{v}_r$
• Accelerazione: $\vec{a}_a = \vec{a}_t + \vec{a}_r$

Moto di trascinamento per rotazione: Quando il sistema mobile ruota rispetto a quello fisso:

• Velocità: $\vec{v}_a = \vec{v}_r + \vec{\omega} \times \vec{r}$
• Accelerazione: $\vec{a}_a = \vec{a}_r + \vec{\alpha} \times \vec{r} + 2\vec{\omega} \times \vec{v}_r + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$

Nota importante: Il termine $2\vec{\omega} \times \vec{v}_r$ è l'accelerazione di Coriolis, fondamentale per spiegare fenomeni come le correnti oceaniche e atmosferiche sulla Terra.

I termini dell'accelerazione sono:

• $\vec{a}_r$: accelerazione relativa
• $\vec{\alpha} \times \vec{r}$: accelerazione di trascinamento tangenziale
• $\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$: accelerazione di trascinamento centripeta
• $2\vec{\omega} \times \vec{v}_r$: accelerazione complementare di Coriolis

Un sistema di riferimento in rotazione non è inerziale a causa di queste accelerazioni aggiuntive.

Dinamica: Principi Fondamentali

La dinamica studia le cause (forze) del movimento di un punto materiale. Le forze hanno natura vettoriale e si misurano con la bilancia o il dinamometro.

Secondo Principio della Dinamica (Newton): $\vec{F} = m \cdot \vec{a}$

L'unità di misura della forza è il newton $N = kg·m/s²$ o la dina $dyn = g·cm/s²$: 1 N = 10⁵ dyn

In forma vettoriale: $\vec{a} = \frac{\sum \vec{F}}{m}$, che si può scomporre in: $\begin{cases} \sum F_x = ma_x \ \sum F_y = ma_y \ \sum F_z = ma_z \end{cases}$

Ricorda: L'accelerazione è direttamente proporzionale alla risultante delle forze applicate e inversamente proporzionale alla massa inerziale.

Primo Principio della Dinamica (Galilei): In un sistema di riferimento inerziale, ogni corpo in assenza di forze esterne prosegue nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

Terzo Principio della Dinamica (principio di azione e reazione): A ogni azione che esercita un corpo A su un corpo B, corrisponde una reazione che esercita B su A, uguale e opposta, diretta lungo la congiungente dei corpi. $\vec{F}{A,B} = -\vec{F}{B,A}$

Impulso, Quantità di Moto e Tipi di Forze

Il teorema dell'impulso e della quantità di moto stabilisce: $\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

Dove $\vec{p} = m\vec{v}$ è la quantità di moto $kg·m/s$.

L'impulso di una forza è: $\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}dt = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \Delta\vec{p}$

Se $\vec{F} = 0$, allora $\Delta\vec{p} = 0$ e $\vec{p} = \text{costante}$ (teorema di conservazione della quantità di moto).

Tipi di forze:

• Forze fondamentali: gravitazionale, elettromagnetica, nucleare debole, nucleare forte
• Forze di contatto: forze vincolari, tensione, forze elastiche
• Forze apparenti: si manifestano in sistemi non inerziali

Applicazione pratica: Il teorema dell'impulso è fondamentale per analizzare gli urti e le collisioni, come negli impatti automobilistici o negli sport.

Legge di attrazione gravitazionale (Newton): $F_G = G\frac{M_1M_2}{r^2}$, dove $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2}$

Forza peso: $\vec{P} = m\vec{g}$, dove $g \approx 9,8 \text{ m/s}^2$ sulla superficie terrestre.

L'accelerazione di gravità varia con l'altitudine e la latitudine, ma per molti problemi pratici si può considerare costante.

Forze di Reazione Vincolare e Piano Inclinato

Le forze di reazione vincolare sono esercitate dai vincoli cui è soggetto un corpo.

Per un corpo appoggiato su una superficie orizzontale: $\vec{P} + \vec{R}_n = 0$, quindi $R_n = mg$

Per un corpo che appoggia su un altro: $R_a = m_1g$ (reazione sul primo corpo) $R_b = (m_1 + m_2)g$ (reazione sul secondo corpo)

Ricorda: La reazione vincolare è sempre perpendicolare alla superficie di contatto in assenza di attrito.

Nel piano inclinato con angolo α, per un corpo senza attrito:

• Componente normale: $R_n = mg\cos\alpha$
• Componente parallela: $P\sin\alpha = ma_t$
• Accelerazione lungo il piano: $a = g\sin\alpha$

Il tempo di discesa è: $t = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}}$

La velocità finale è: $v_f = g\sin\alpha \cdot t = \sqrt{2gh}$

Nota che la velocità finale dipende solo dall'altezza verticale h e non dall'angolo del piano inclinato, una conseguenza della conservazione dell'energia.

Forze di attrito: Sono parallele alle superfici di contatto e si oppongono al movimento relativo tra le superfici.

• Attrito statico: $A_s \leq A_{max} = \mu_s R_n$
• Attrito dinamico: $A_d = \mu_d R_n$

Dove $\mu_s$ e $\mu_d$ sono i coefficienti di attrito statico e dinamico rispettivamente.