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Formule Trigonometriche: Seno, Coseno e Tangente per Tutti!

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Sara Giordano

14/09/2022

Matematica

Trigonometria

Formule Trigonometriche: Seno, Coseno e Tangente per Tutti!

La trigonometria è lo studio dei rapporti tra i lati e gli angoli dei triangoli, fondamentale per comprendere le relazioni matematiche nello spazio.

Le funzioni trigonometriche fondamentali sono il seno, il coseno e la tangente, rappresentate in una tabella trigonometrica completa che mostra i loro valori per gli angoli più comuni. Il seno è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, il coseno è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa, mentre la tangente è il rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente. Questi concetti sono essenziali per risolvere problemi geometrici e vengono spesso presentati in una tabella seno e coseno angoli noti per facilitarne la consultazione.

Le formule trigonometriche più importanti includono le formule di duplicazione, che permettono di calcolare le funzioni trigonometriche di un angolo doppio, e le formule di bisezione, utili per trovare le funzioni trigonometriche della metà di un angolo. Le formule di prostaferesi sono utilizzate per trasformare il prodotto di funzioni trigonometriche in somma o differenza. Tutte queste formule sono raccolte in una tabella trigonometrica completa PDF che gli studenti possono consultare durante lo studio. Per comprendere meglio questi concetti, è fondamentale partire dalla definizione di seno e coseno e dalla loro applicazione pratica nel triangolo trigonometrico. Gli angoli notevoli (30°, 45°, 60°) sono particolarmente importanti perché i loro valori trigonometrici sono facilmente calcolabili e memorizzabili.

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14/09/2022

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17 setembre 2024
& circonferenza go=
niometrica
1 grado 360 esima
parte di un angolo giro
2rad = AnBn
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360°: 2TL=2°: drad
& angoli notevol

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Introduzione alla Trigonometria e Circonferenza Goniometrica

La trigonometria è una branca fondamentale della matematica che studia le relazioni tra gli angoli e i lati dei triangoli. La circonferenza goniometrica rappresenta lo strumento base per comprendere le funzioni trigonometriche.

Definizione: La circonferenza goniometrica è una circonferenza con centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio unitario r=1r=1.

Le misure degli angoli possono essere espresse in gradi o radianti. Un grado rappresenta 1/360 di un angolo giro, mentre il radiante è definito come il rapporto tra la lunghezza dell'arco e il raggio della circonferenza.

Gli angoli notevoli sono particolarmente importanti nella tabella trigonometrica completa. I principali sono:

  • 30°, 60°, 90° multiplidi30°multipli di 30°
  • 45°, 135°, 225°, 315° multiplidi45°multipli di 45°

Esempio: La conversione tra gradi e radianti segue la relazione: 360° = 2π radianti 180° = π radianti 90° = π/2 radianti

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Funzioni Trigonometriche Fondamentali

Le formule trigonometriche fondamentali definiscono il seno, coseno e la tangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica:

Definizione di seno e coseno:

  • Seno: ordinata del punto P sulla circonferenza goniometrica
  • Coseno: ascissa del punto P sulla circonferenza goniometrica

La definizione di tangente è data dal rapporto tra seno e coseno: tan α = sin α / cos α

Highlight: Le relazioni fondamentali della trigonometria includono:

  • sin²α + cos²α = 1
  • tan α = sin α / cos α
  • cot α = cos α / sin α
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Valori delle Funzioni Trigonometriche per Angoli Notevoli

La tabella seno e coseno angoli noti è uno strumento essenziale per la trigonometria. Ecco i valori principali:

Tabella: Valori per angoli notevoli

  • 0°: sin = 0, cos = 1
  • 30°: sin = 1/2, cos = √3/2
  • 45°: sin = cos = √2/2
  • 60°: sin = √3/2, cos = 1/2
  • 90°: sin = 1, cos = 0

Le formule trigonometriche tabella includono anche i valori della tangente e cotangente per questi angoli.

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Grafici delle Funzioni Trigonometriche

I grafici delle funzioni trigonometriche mostrano l'andamento periodico di seno e coseno.

Highlight: Caratteristiche principali:

  • Periodo: 2π
  • Ampiezza: 1,1-1, 1
  • Simmetrie: il coseno è pari, il seno è dispari

Le formule di prostaferesi e le formule di bisezione sono utili per studiare le relazioni tra queste funzioni. Il grafico del coseno può essere ottenuto traslando il grafico del seno di π/2 unità verso sinistra.

Esempio: La funzione seno è periodica con periodo 2π: y = sinxx Dominio: R Codominio: 1,1-1, 1

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Formule Trigonometriche e Grafici Fondamentali

La tangentoide e la cotangentoide sono funzioni fondamentali della trigonometria che presentano caratteristiche distintive. La tangentoide ha asintoti verticali nei punti x = π/2 + kπ conknumerointerocon k numero intero e attraversa l'origine degli assi. Il suo dominio è costituito da tutti i numeri reali eccetto i punti di discontinuità in corrispondenza degli asintoti.

La cotangentoide presenta invece asintoti verticali nei punti x = kπ e, come la tangentoide, ha periodo π. Il suo grafico è ottenibile da quello della tangentoide mediante una traslazione di π/2. Entrambe le funzioni sono dispari e quindi presentano simmetria rispetto all'origine.

Definizione: La tangentoide è definita come il rapporto tra seno e coseno di un angolo, mentre la cotangentoide è il reciproco della tangente.

Le proprietà di queste funzioni sono fondamentali per lo studio della trigonometria e trovano numerose applicazioni pratiche in fisica, ingegneria e scienze applicate. La periodicità e la presenza di asintoti rendono questi grafici particolarmente interessanti per lo studio delle funzioni discontinue.

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Trasformazioni delle Funzioni Goniometriche

Le trasformazioni geometriche delle funzioni goniometriche permettono di modificare i grafici di base per ottenere nuove funzioni. Le principali trasformazioni includono:

La traslazione verticale y=f(xy = f(x + b) sposta il grafico verso l'alto o verso il basso di b unità. La traslazione orizzontale y=f(xay = f(x-a) sposta il grafico a destra o sinistra di a unità. Le simmetrie rispetto agli assi modificano l'orientamento della funzione.

Esempio: La funzione y = sinx1x-1 rappresenta una traslazione orizzontale di una unità verso destra della funzione seno.

Le dilatazioni verticali y=kf(xy = kf(x) e orizzontali y=f(kxy = f(kx) modificano rispettivamente l'ampiezza e il periodo della funzione. Queste trasformazioni sono fondamentali per comprendere come le formule trigonometriche si modificano graficamente.

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Formule Trigonometriche Fondamentali

Le formule trigonometriche costituiscono un insieme essenziale di relazioni tra le funzioni goniometriche. Le formule di addizione e sottrazione per seno e coseno sono particolarmente importanti:

sinα±βα±β = sinα cosβ ± cosα sinβ cosα±βα±β = cosα cosβ ∓ sinα sinβ

Highlight: Le formule parametriche permettono di esprimere seno, coseno e tangente in funzione di un parametro t = tanα/2α/2.

Le formule di duplicazione e le formule di bisezione derivano da quelle di addizione e sono fondamentali per la risoluzione di problemi trigonometrici complessi. La tabella trigonometrica completa include tutti questi valori per gli angoli notevoli.

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Equazioni Goniometriche Elementari

Le equazioni goniometriche elementari sono la base per la risoluzione di problemi trigonometrici più complessi. Si distinguono diversi tipi:

Equazioni del tipo sinxx = a, cosxx = b, tanxx = c, dove |a|≤1, |b|≤1 per seno e coseno, mentre per la tangente non ci sono restrizioni sul valore di c.

Vocabolario: Le soluzioni delle equazioni goniometriche sono sempre espresse in termini di angoli e devono considerare la periodicità delle funzioni.

La risoluzione richiede particolare attenzione alla scrittura delle soluzioni, considerando sempre il periodo della funzione e i multipli dell'angolo giro. Le equazioni di secondo grado in una sola funzione goniometrica si risolvono con le tecniche delle equazioni algebriche dopo opportune sostituzioni.

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Equazioni Goniometriche Lineari Non Omogenee

Le equazioni goniometriche lineari non omogenee del tipo asinx + bcosx = c rappresentano un importante capitolo della trigonometria. Queste equazioni richiedono una comprensione approfondita delle formule trigonometriche e dei metodi risolutivi specifici.

Il primo metodo di risoluzione è quello dell'angolo aggiunto, applicabile quando i coefficienti a e b, divisi per √a2+b2a²+b², assumono valori notevoli nella tabella trigonometrica. Questo procedimento prevede la divisione di tutti i termini per √a2+b2a²+b², trasformando l'equazione in una forma più semplice: a/(a2+b2a/√(a²+b²)sinx + b/(a2+b2b/√(a²+b²)cosx = c/√a2+b2a²+b².

Definizione: L'equazione asinx + bcosx = c è detta lineare non omogenea perché contiene sia il seno che il coseno con coefficienti non nulli e un termine noto c diverso da zero.

Il secondo metodo utilizza le formule parametriche, dove si pone t = tanx/2. Questo approccio è particolarmente utile quando il metodo dell'angolo aggiunto non è applicabile. Le formule parametriche fondamentali sono: sinx = 2t/1+t21+t² e cosx = 1t21-t²/1+t21+t².

Attenzione: Quando si utilizzano le formule parametriche, è fondamentale verificare sempre le soluzioni trovate e considerare il campo di esistenza dell'equazione.

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

21.846

14 set 2022

16 pagine

Formule Trigonometriche: Seno, Coseno e Tangente per Tutti!

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Sara Giordano

@saraa_giordi

La trigonometria è lo studio dei rapporti tra i lati e gli angoli dei triangoli, fondamentale per comprendere le relazioni matematiche nello spazio.

Le funzioni trigonometriche fondamentali sono il seno, il coseno e la tangente, rappresentate in una ... Mostra di più

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Introduzione alla Trigonometria e Circonferenza Goniometrica

La trigonometria è una branca fondamentale della matematica che studia le relazioni tra gli angoli e i lati dei triangoli. La circonferenza goniometrica rappresenta lo strumento base per comprendere le funzioni trigonometriche.

Definizione: La circonferenza goniometrica è una circonferenza con centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio unitario r=1r=1.

Le misure degli angoli possono essere espresse in gradi o radianti. Un grado rappresenta 1/360 di un angolo giro, mentre il radiante è definito come il rapporto tra la lunghezza dell'arco e il raggio della circonferenza.

Gli angoli notevoli sono particolarmente importanti nella tabella trigonometrica completa. I principali sono:

  • 30°, 60°, 90° multiplidi30°multipli di 30°
  • 45°, 135°, 225°, 315° multiplidi45°multipli di 45°

Esempio: La conversione tra gradi e radianti segue la relazione: 360° = 2π radianti 180° = π radianti 90° = π/2 radianti

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Funzioni Trigonometriche Fondamentali

Le formule trigonometriche fondamentali definiscono il seno, coseno e la tangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica:

Definizione di seno e coseno:

  • Seno: ordinata del punto P sulla circonferenza goniometrica
  • Coseno: ascissa del punto P sulla circonferenza goniometrica

La definizione di tangente è data dal rapporto tra seno e coseno: tan α = sin α / cos α

Highlight: Le relazioni fondamentali della trigonometria includono:

  • sin²α + cos²α = 1
  • tan α = sin α / cos α
  • cot α = cos α / sin α

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Valori delle Funzioni Trigonometriche per Angoli Notevoli

La tabella seno e coseno angoli noti è uno strumento essenziale per la trigonometria. Ecco i valori principali:

Tabella: Valori per angoli notevoli

  • 0°: sin = 0, cos = 1
  • 30°: sin = 1/2, cos = √3/2
  • 45°: sin = cos = √2/2
  • 60°: sin = √3/2, cos = 1/2
  • 90°: sin = 1, cos = 0

Le formule trigonometriche tabella includono anche i valori della tangente e cotangente per questi angoli.

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Grafici delle Funzioni Trigonometriche

I grafici delle funzioni trigonometriche mostrano l'andamento periodico di seno e coseno.

Highlight: Caratteristiche principali:

  • Periodo: 2π
  • Ampiezza: 1,1-1, 1
  • Simmetrie: il coseno è pari, il seno è dispari

Le formule di prostaferesi e le formule di bisezione sono utili per studiare le relazioni tra queste funzioni. Il grafico del coseno può essere ottenuto traslando il grafico del seno di π/2 unità verso sinistra.

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La tangentoide e la cotangentoide sono funzioni fondamentali della trigonometria che presentano caratteristiche distintive. La tangentoide ha asintoti verticali nei punti x = π/2 + kπ conknumerointerocon k numero intero e attraversa l'origine degli assi. Il suo dominio è costituito da tutti i numeri reali eccetto i punti di discontinuità in corrispondenza degli asintoti.

La cotangentoide presenta invece asintoti verticali nei punti x = kπ e, come la tangentoide, ha periodo π. Il suo grafico è ottenibile da quello della tangentoide mediante una traslazione di π/2. Entrambe le funzioni sono dispari e quindi presentano simmetria rispetto all'origine.

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Trasformazioni delle Funzioni Goniometriche

Le trasformazioni geometriche delle funzioni goniometriche permettono di modificare i grafici di base per ottenere nuove funzioni. Le principali trasformazioni includono:

La traslazione verticale y=f(xy = f(x + b) sposta il grafico verso l'alto o verso il basso di b unità. La traslazione orizzontale y=f(xay = f(x-a) sposta il grafico a destra o sinistra di a unità. Le simmetrie rispetto agli assi modificano l'orientamento della funzione.

Esempio: La funzione y = sinx1x-1 rappresenta una traslazione orizzontale di una unità verso destra della funzione seno.

Le dilatazioni verticali y=kf(xy = kf(x) e orizzontali y=f(kxy = f(kx) modificano rispettivamente l'ampiezza e il periodo della funzione. Queste trasformazioni sono fondamentali per comprendere come le formule trigonometriche si modificano graficamente.

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sinα±βα±β = sinα cosβ ± cosα sinβ cosα±βα±β = cosα cosβ ∓ sinα sinβ

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Equazioni Goniometriche Elementari

Le equazioni goniometriche elementari sono la base per la risoluzione di problemi trigonometrici più complessi. Si distinguono diversi tipi:

Equazioni del tipo sinxx = a, cosxx = b, tanxx = c, dove |a|≤1, |b|≤1 per seno e coseno, mentre per la tangente non ci sono restrizioni sul valore di c.

Vocabolario: Le soluzioni delle equazioni goniometriche sono sempre espresse in termini di angoli e devono considerare la periodicità delle funzioni.

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Equazioni Goniometriche Lineari Non Omogenee

Le equazioni goniometriche lineari non omogenee del tipo asinx + bcosx = c rappresentano un importante capitolo della trigonometria. Queste equazioni richiedono una comprensione approfondita delle formule trigonometriche e dei metodi risolutivi specifici.

Il primo metodo di risoluzione è quello dell'angolo aggiunto, applicabile quando i coefficienti a e b, divisi per √a2+b2a²+b², assumono valori notevoli nella tabella trigonometrica. Questo procedimento prevede la divisione di tutti i termini per √a2+b2a²+b², trasformando l'equazione in una forma più semplice: a/(a2+b2a/√(a²+b²)sinx + b/(a2+b2b/√(a²+b²)cosx = c/√a2+b2a²+b².

Definizione: L'equazione asinx + bcosx = c è detta lineare non omogenea perché contiene sia il seno che il coseno con coefficienti non nulli e un termine noto c diverso da zero.

Il secondo metodo utilizza le formule parametriche, dove si pone t = tanx/2. Questo approccio è particolarmente utile quando il metodo dell'angolo aggiunto non è applicabile. Le formule parametriche fondamentali sono: sinx = 2t/1+t21+t² e cosx = 1t21-t²/1+t21+t².

Attenzione: Quando si utilizzano le formule parametriche, è fondamentale verificare sempre le soluzioni trovate e considerare il campo di esistenza dell'equazione.

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Risoluzione Pratica delle Equazioni Goniometriche

La risoluzione pratica di queste equazioni richiede una solida conoscenza della tabella seno e coseno angoli noti e delle formule di prostaferesi. Il processo di risoluzione deve essere sistematico e accurato.

Quando si utilizza il metodo delle formule parametriche, l'equazione viene trasformata in un'equazione di secondo grado in t. La soluzione finale x = arctantt + 2kπ deve essere sempre verificata nell'equazione originale per evitare soluzioni spurie.

Esempio: Consideriamo l'equazione 2sinx + cosx = 1. Utilizzando le formule parametriche, otteniamo un'equazione quadratica in t che, una volta risolta, fornisce le soluzioni dell'equazione originale.

È importante notare che la scelta del metodo dipende dalla natura dei coefficienti e dal termine noto. La padronanza di entrambi i metodi permette di affrontare efficacemente qualsiasi equazione goniometrica lineare non omogenea.

Highlight: Per una corretta risoluzione, è essenziale conoscere la tabella trigonometrica completa e saper manipolare le formule trigonometriche fondamentali.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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