Impara le Proprietà dei Logaritmi: Semplice e Divertente

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Chiara

03/10/2022

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Formule addizione sottrazione, duplicazione, bisezione

Impara le Proprietà dei Logaritmi: Semplice e Divertente

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

I logaritmi sono una potente funzione matematica con proprietà fondamentali. Questo documento esplora la definizione di logaritmo, le sue tre proprietà principali e le relative dimostrazioni matematiche.

• La definizione di logaritmo stabilisce la relazione tra base, esponente e risultato.
• Le tre proprietà dei logaritmi riguardano il logaritmo di un prodotto, di un quoziente e di una potenza.
• Le dimostrazioni matematiche forniscono una comprensione approfondita di queste proprietà.

...

03/10/2022

3058

TEOREMA
1ª proprietà
I LOGARITMI
dati due numeri reali positivi "a" e
"b", chiamiamo LOGARITMO in BASE a
di b l'esponente x da assegnare all

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Dimostrazione della Prima e Seconda Proprietà dei Logaritmi

Questo capitolo si concentra sulle dimostrazioni matematiche delle prime due proprietà dei logaritmi.

Per la prima proprietà, relativa al logaritmo di un prodotto, la dimostrazione procede come segue:

Si definiscono x = logₐb e y = logₐc
Si applica la definizione di logaritmo: a^x = b e a^y = c
Si moltiplica membro a membro: a^x · a^y = b · c
Si applica la proprietà del prodotto di potenze con ugual base: a^ $x+y$ = b · c
Si applica nuovamente la definizione di logaritmo: x + y = logₐ $b·c$
Si sostituiscono x e y con le loro definizioni originali, ottenendo: logₐb + logₐc = logₐ $b·c$

Highlight: La dimostrazione della prima proprietà si basa sulla definizione di logaritmo e sulle proprietà delle potenze.

Per la seconda proprietà, relativa al logaritmo di un quoziente, la dimostrazione segue un processo simile:

Si definiscono x = logₐb e y = logₐc
Si applica la definizione di logaritmo: a^x = b e a^y = c
Si divide membro a membro: a^x / a^y = b / c
Si applica la proprietà del quoziente di potenze con ugual base: a^ $x-y$ = b / c
Si applica nuovamente la definizione di logaritmo: x - y = logₐ $b/c$
Si sostituiscono x e y con le loro definizioni originali, ottenendo: logₐb - logₐc = logₐ $b/c$

Vocabulary: Il prodotto tra logaritmi con basi uguali si trasforma in una somma, mentre il quoziente si trasforma in una differenza.

Vedi

Dimostrazione della Terza Proprietà dei Logaritmi

Questo capitolo si dedica alla dimostrazione della terza proprietà dei logaritmi, che riguarda il logaritmo di una potenza.

La dimostrazione procede come segue:

Si parte dall'uguaglianza a^x = b, dove x = logₐb
Si elevano entrambi i membri alla potenza n: $a^x$ ^n = b^n
Si applica la proprietà della potenza di una potenza: a^ $nx$ = b^n
Si applica la definizione di logaritmo: nx = logₐ $b^n$
Si sostituisce x con la sua definizione originale: n · logₐb = logₐ $b^n$

Highlight: La terza proprietà dei logaritmi trasforma il logaritmo di una potenza nel prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base.

Questa proprietà è particolarmente utile quando si lavora con equazioni con logaritmi o si devono semplificare espressioni logaritmiche complesse.

Example: Applicando questa proprietà, possiamo scrivere: logₐ $b^5$ = 5 · logₐb

È importante notare che queste proprietà sono fondamentali per la manipolazione e la semplificazione di espressioni logaritmiche, e sono ampiamente utilizzate in calcoli logaritmici e nella risoluzione di disequazioni con logaritmi.

Vocabulary: Le proprietà dei logaritmi naturali seguono le stesse regole, con la base e come costante di Nepero.

La comprensione approfondita di queste proprietà e delle loro dimostrazioni è essenziale per padroneggiare i logaritmi e applicarli efficacemente in vari contesti matematici e scientifici.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

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•

3058

•

3 ott 2022

•

3 pagine

Impara le Proprietà dei Logaritmi: Semplice e Divertente

Chiara

@chiia

• La definizione di logaritmo stabilisce la relazione tra base, esponente e risultato.... Mostra di più

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Dimostrazione della Prima e Seconda Proprietà dei Logaritmi

Questo capitolo si concentra sulle dimostrazioni matematiche delle prime due proprietà dei logaritmi.

Per la prima proprietà, relativa al logaritmo di un prodotto, la dimostrazione procede come segue:

Si definiscono x = logₐb e y = logₐc
Si applica la definizione di logaritmo: a^x = b e a^y = c
Si moltiplica membro a membro: a^x · a^y = b · c
Si applica la proprietà del prodotto di potenze con ugual base: a^ $x+y$ = b · c
Si applica nuovamente la definizione di logaritmo: x + y = logₐ $b·c$
Si sostituiscono x e y con le loro definizioni originali, ottenendo: logₐb + logₐc = logₐ $b·c$

Highlight: La dimostrazione della prima proprietà si basa sulla definizione di logaritmo e sulle proprietà delle potenze.

Per la seconda proprietà, relativa al logaritmo di un quoziente, la dimostrazione segue un processo simile:

Si definiscono x = logₐb e y = logₐc
Si applica la definizione di logaritmo: a^x = b e a^y = c
Si divide membro a membro: a^x / a^y = b / c
Si applica la proprietà del quoziente di potenze con ugual base: a^ $x-y$ = b / c
Si applica nuovamente la definizione di logaritmo: x - y = logₐ $b/c$
Si sostituiscono x e y con le loro definizioni originali, ottenendo: logₐb - logₐc = logₐ $b/c$

Vocabulary: Il prodotto tra logaritmi con basi uguali si trasforma in una somma, mentre il quoziente si trasforma in una differenza.

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Dimostrazione della Terza Proprietà dei Logaritmi

Questo capitolo si dedica alla dimostrazione della terza proprietà dei logaritmi, che riguarda il logaritmo di una potenza.

La dimostrazione procede come segue:

Si parte dall'uguaglianza a^x = b, dove x = logₐb
Si elevano entrambi i membri alla potenza n: $a^x$ ^n = b^n
Si applica la proprietà della potenza di una potenza: a^ $nx$ = b^n
Si applica la definizione di logaritmo: nx = logₐ $b^n$
Si sostituisce x con la sua definizione originale: n · logₐb = logₐ $b^n$

Highlight: La terza proprietà dei logaritmi trasforma il logaritmo di una potenza nel prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base.

Questa proprietà è particolarmente utile quando si lavora con equazioni con logaritmi o si devono semplificare espressioni logaritmiche complesse.

Example: Applicando questa proprietà, possiamo scrivere: logₐ $b^5$ = 5 · logₐb

Vocabulary: Le proprietà dei logaritmi naturali seguono le stesse regole, con la base e come costante di Nepero.

La comprensione approfondita di queste proprietà e delle loro dimostrazioni è essenziale per padroneggiare i logaritmi e applicarli efficacemente in vari contesti matematici e scientifici.

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Definizione e Prima Proprietà dei Logaritmi

Questo capitolo introduce il concetto fondamentale di logaritmo e la sua prima proprietà. Il logaritmo in base a di b è definito come l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b.

Definizione: Il logaritmo permette di scrivere in modo diverso la relazione che esiste tra base, esponente e risultato.

La prima proprietà stabilisce che all'aumentare dell'argomento b $positivo$ , il logaritmo logₐb aumenta se a>1 e diminuisce se 0<a<1.

Highlight: Le proprietà dei logaritmi sono valide per qualsiasi base positiva diversa da 1 e si deducono dalle proprietà delle potenze.

Il capitolo prosegue illustrando le tre proprietà fondamentali dei logaritmi:

Logaritmo di un prodotto: logₐ $b·c$ = logₐb + logₐc
Logaritmo di un quoziente: logₐ $b/c$ = logₐb - logₐc
Logaritmo di una potenza: logₐ $b^n$ = n · logₐb

Esempio: Supponendo che a>0 e a≠1, otteniamo:

logₐ1 = 0 $perché a⁰ = 1$

logₐa = 1 $perché a¹ = a$

a^ $logₐb$ = b $per definizione di logaritmo$

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

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Samantha Klich

utente Android

Anna

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Anastasia

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Francesca

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Marianna

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Martina

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