Matematica

Espressioni Razionali e Radicali

Radicale

Matematica

28 nov 2025

816

8 pagine

Introduzione ai Radicali: Calcoli e Applicazioni

ele @melanzanatriste

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I radicali sono una parte fondamentale della matematica che ti aiuta a esprimere radici e potenze in modo... Mostra di più

$INDICE Solo avaneri maturati se mom si vede vale 2 RADICALE $\sqrt[m]{a} = b$ RAPICANDO $\sqrt[m]{a} = b <=> b^m=a$ Se e solo se $\sqrt[2]{-$

Cos'è un Radicale

Un radicale è semplicemente un modo per scrivere una radice $\sqrt[m]{a} = b$ significa che $b^m = a$ . Pensa al radicale come all'operazione opposta dell'elevamento a potenza.

Con indice pari $come $\sqrt{4}$$ , il radicando deve essere positivo o zero. Con indice dispari $come $\sqrt[3]{-8}$$ , puoi usare anche numeri negativi. Questo perché un numero negativo elevato a una potenza dispari resta negativo.

I radicali ti aiutano a rappresentare numeri che non sono razionali, come $\sqrt{2}$ o $\sqrt{3}$ . Questi sono numeri reali che non possono essere scritti come frazione.

Ricorda $\sqrt[2]{-4}$ non si può fare, ma $\sqrt[3]{-8} = -2$ funziona perfettamente!

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Proprietà Invariantiva e Semplificazione

La proprietà invariantiva è il tuo asso nella manica $\sqrt[m]{a^p} = \sqrt[m·k]{a^{p·k}}$ . Moltiplicando indice ed esponente per lo stesso numero, ottieni un radicale equivalente.

Per ridurre radicali allo stesso indice, trova il mcm degli indici. Ad esempio, per $\sqrt{3}$ , $\sqrt[3]{5}$ e $\sqrt[5]{2}$ , il mcm è 30, quindi trasformi tutto in $\sqrt[30]{3^{15}}$ , $\sqrt[30]{5^{10}}$ e $\sqrt[30]{2^6}$ .

Per semplificare, dividi indice ed esponente per il loro MCD. Se $\sqrt[4]{3^2}$ , dividi entrambi per 2 e ottieni $\sqrt{3}$ .

Trucco Prima di fare calcoli complessi, controlla sempre se puoi semplificare il radicale!

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Operazioni tra Radicali

Moltiplicazione e divisione sono facili con lo stesso indice $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ e $\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}$ .

Il trucco del "portar fuori" ti fa risparmiare tempo. Per $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ , porti fuori il 3 perché $9 = 3^2$ .

Addizione e sottrazione funzionano solo con la stessa parte radicale $2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ . Se i radicali sono diversi, prima prova a semplificarli. Ad esempio, $5\sqrt{45} - 3\sqrt{20}$ diventa $15\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$ .

Attenzione $2\sqrt{3} + \sqrt{5}$ rimane così com'è - non si può semplificare!

$INDICE Solo avaneri maturati se mom si vede vale 2 RADICALE $\sqrt[m]{a} = b$ RAPICANDO $\sqrt[m]{a} = b <=> b^m=a$ Se e solo se $\sqrt[2]{-$

Potenze e Radici di Radicali

La potenza di un radicale segue questa regola $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ . Quindi $(\sqrt{2})^3 = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .

Per la radice di un radicale, moltiplichi gli indici $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ . È come "impilare" le radici una sull'altra.

I prodotti notevoli con i radicali funzionano come sempre $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 2 + 3 - 2\sqrt{6} = 5 - 2\sqrt{6}$ .

Pro tip Quando elevi un radicale a potenza, spesso puoi semplificare "portando fuori" qualcosa!

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La Dimostrazione che √2 è Irrazionale

Questo teorema dimostra che √2 non può essere scritto come frazione. È una dimostrazione per assurdo molto elegante.

Supponiamo che $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ dove $a$ e $b$ sono primi tra loro. Elevando al quadrato $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , quindi $a^2 = 2b^2$ .

Questo significa che $a^2$ è pari, quindi anche $a$ è pari. Ma allora anche $b$ dovrebbe essere pari, contraddicendo l'ipotesi che fossero primi tra loro.

Conclusione √2 è un numero irrazionale, cioè non può essere espresso come frazione di numeri interi!

$INDICE Solo avaneri maturati se mom si vede vale 2 RADICALE $\sqrt[m]{a} = b$ RAPICANDO $\sqrt[m]{a} = b <=> b^m=a$ Se e solo se $\sqrt[2]{-$

Razionalizzazione

Razionalizzare significa eliminare i radicali dal denominatore di una frazione. È una tecnica essenziale per semplificare le espressioni.

Per radicali quadrati, moltiplica per $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$ .

Per indici superiori, devi completare la potenza $\frac{2}{\sqrt[3]{3}} = \frac{2\sqrt[3]{9}}{3}$ $moltiplichi per $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}}$$ .

Con binomi irrazionali, usa il coniugato $\frac{5}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = -5(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ .

Strategia Ricorda sempre di moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso termine!

$INDICE Solo avaneri maturati se mom si vede vale 2 RADICALE $\sqrt[m]{a} = b$ RAPICANDO $\sqrt[m]{a} = b <=> b^m=a$ Se e solo se $\sqrt[2]{-$

Condizioni di Esistenza

Le condizioni di esistenza ti dicono quando un radicale ha senso matematicamente. È fondamentale controllarle prima di risolvere qualsiasi esercizio.

Con indice pari, il radicando deve essere $≥ 0$ . Per $\sqrt{x-2}$ , serve $x-2 ≥ 0$ , quindi $x ≥ 2$ .

Con indice dispari, non ci sono restrizioni $\sqrt[3]{x+3}$ esiste per ogni valore reale di $x$ .

Per frazioni sotto radice con indice pari, fai lo studio del segno. Il numeratore e denominatore devono avere lo stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi).

Regola d'oro Indice pari = radicando positivo, indice dispari = qualsiasi numero reale!

$INDICE Solo avaneri maturati se mom si vede vale 2 RADICALE $\sqrt[m]{a} = b$ RAPICANDO $\sqrt[m]{a} = b <=> b^m=a$ Se e solo se $\sqrt[2]{-$

Radicali con Esponente Razionale

I radicali possono essere scritti come potenze con esponenti frazionari $\sqrt[n]{a^p} = a^{\frac{p}{n}}$ .

Questa notazione rende più facili i calcoli $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ e $\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$ .

È particolarmente utile quando devi semplificare espressioni complesse o usare le proprietà delle potenze. La frazione nell'esponente ti dice subito cosa sta succedendo.

Vantaggio Con gli esponenti frazionari puoi usare tutte le regole delle potenze che già conosci!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

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Martina

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Espressioni Razionali e Radicali

Radicale

Matematica

•

816

•

28 nov 2025

•

8 pagine

Introduzione ai Radicali: Calcoli e Applicazioni

ele

@melanzanatriste

I radicali sono una parte fondamentale della matematica che ti aiuta a esprimere radici e potenze in modo più preciso. Padroneggiare queste regole ti permetterà di semplificare espressioni complesse e risolvere equazioni con sicurezza.

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Cos'è un Radicale

Un radicale è semplicemente un modo per scrivere una radice: $\sqrt[m]{a} = b$ significa che $b^m = a$ . Pensa al radicale come all'operazione opposta dell'elevamento a potenza.

I radicali ti aiutano a rappresentare numeri che non sono razionali, come $\sqrt{2}$ o $\sqrt{3}$ . Questi sono numeri reali che non possono essere scritti come frazione.

Ricorda: $\sqrt[2]{-4}$ non si può fare, ma $\sqrt[3]{-8} = -2$ funziona perfettamente!

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La proprietà invariantiva è il tuo asso nella manica: $\sqrt[m]{a^p} = \sqrt[m·k]{a^{p·k}}$ . Moltiplicando indice ed esponente per lo stesso numero, ottieni un radicale equivalente.

Per semplificare, dividi indice ed esponente per il loro MCD. Se $\sqrt[4]{3^2}$ , dividi entrambi per 2 e ottieni $\sqrt{3}$ .

Trucco: Prima di fare calcoli complessi, controlla sempre se puoi semplificare il radicale!

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Operazioni tra Radicali

Moltiplicazione e divisione sono facili con lo stesso indice: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ e $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b}$ .

Il trucco del "portar fuori" ti fa risparmiare tempo. Per $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ , porti fuori il 3 perché $9 = 3^2$ .

Addizione e sottrazione funzionano solo con la stessa parte radicale: $2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ . Se i radicali sono diversi, prima prova a semplificarli. Ad esempio, $5\sqrt{45} - 3\sqrt{20}$ diventa $15\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$ .

Attenzione: $2\sqrt{3} + \sqrt{5}$ rimane così com'è - non si può semplificare!

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La potenza di un radicale segue questa regola: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ . Quindi $(\sqrt{2})^3 = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .

Per la radice di un radicale, moltiplichi gli indici: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ . È come "impilare" le radici una sull'altra.

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La Dimostrazione che √2 è Irrazionale

Questo teorema dimostra che √2 non può essere scritto come frazione. È una dimostrazione per assurdo molto elegante.

Supponiamo che $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ dove $a$ e $b$ sono primi tra loro. Elevando al quadrato: $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , quindi $a^2 = 2b^2$ .

Questo significa che $a^2$ è pari, quindi anche $a$ è pari. Ma allora anche $b$ dovrebbe essere pari, contraddicendo l'ipotesi che fossero primi tra loro.

Conclusione: √2 è un numero irrazionale, cioè non può essere espresso come frazione di numeri interi!

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Razionalizzare significa eliminare i radicali dal denominatore di una frazione. È una tecnica essenziale per semplificare le espressioni.

Per radicali quadrati, moltiplica per $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ : $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$ .

Per indici superiori, devi completare la potenza: $\frac{2}{\sqrt[3]{3}} = \frac{2\sqrt[3]{9}}{3}$ $moltiplichi per $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}}$$ .

Con binomi irrazionali, usa il coniugato: $\frac{5}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = -5(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ .

Strategia: Ricorda sempre di moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso termine!

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Le condizioni di esistenza ti dicono quando un radicale ha senso matematicamente. È fondamentale controllarle prima di risolvere qualsiasi esercizio.

Con indice pari, il radicando deve essere $≥ 0$ . Per $\sqrt{x-2}$ , serve $x-2 ≥ 0$ , quindi $x ≥ 2$ .

Con indice dispari, non ci sono restrizioni: $\sqrt[3]{x+3}$ esiste per ogni valore reale di $x$ .

Per frazioni sotto radice con indice pari, fai lo studio del segno. Il numeratore e denominatore devono avere lo stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi).

Regola d'oro: Indice pari = radicando positivo, indice dispari = qualsiasi numero reale!

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Radicali con Esponente Razionale

I radicali possono essere scritti come potenze con esponenti frazionari: $\sqrt[n]{a^p} = a^{\frac{p}{n}}$ .

Questa notazione rende più facili i calcoli: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ e $\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$ .

È particolarmente utile quando devi semplificare espressioni complesse o usare le proprietà delle potenze. La frazione nell'esponente ti dice subito cosa sta succedendo.

Vantaggio: Con gli esponenti frazionari puoi usare tutte le regole delle potenze che già conosci!

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Samantha Klich

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Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Francesca

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