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Parabola: Definizione, Formule e Esercizi Svolti

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Melissa Gjoni

11/09/2022

Matematica

parabola definizione e esercizi tipici

Parabola: Definizione, Formule e Esercizi Svolti

The mathematical guide about parabolas and their properties, focusing on equations, intersections, and geometric relationships. The content covers fundamental concepts, formulas, and practical applications in analytical geometry.

Key points:

  • Detailed explanation of parabola: definizione matematica including focus, directrix, and axis of symmetry
  • Comprehensive coverage of Parabola formule for different orientations and cases
  • In-depth analysis of Retta e parabola intersections and tangent lines
  • Practical Esercizi parabola semplici svolti with step-by-step solutions
  • Advanced topics including area calculations and parametric equations
...

11/09/2022

4886

bola
Si chiama parabola il logo geometrico
del piano dei punti equidistanti da
un punto fisso detto Fuoco e da una
retta fissa detta DIRETTR

Vedi

Formule e proprietà della parabola

Le formule della parabola permettono di calcolare le coordinate dei suoi elementi caratteristici e di determinare la sua equazione. Alcune formule fondamentali sono:

  1. Coordinate del vertice: Vb/(2a-b/(2a, -Δ/4a4a)
  2. Coordinate del fuoco: F0,1/(4a0, 1/(4a)
  3. Equazione della direttrice: y = -1/4a4a

La parabola gode di importanti proprietà, tra cui:

  • Simmetria rispetto all'asse
  • Continuità e derivabilità in ogni punto
  • Intersezione con l'asse y nel punto 0,c0, c

Per trasformare una parabola con equazione y = ax² in una con vertice Vxv,yvxv, yv, si applica la traslazione: y - yv = axxvx - xv²

Vocabulary: Δ deltadelta è il discriminante dell'equazione ax² + bx + c = 0, calcolato come b² - 4ac.

Example: Per la parabola y = 2x² - 4x + 1, il vertice ha coordinate V1,11, -1.

Highlight: La conoscenza delle formule della parabola è essenziale per risolvere problemi e esercizi.

bola
Si chiama parabola il logo geometrico
del piano dei punti equidistanti da
un punto fisso detto Fuoco e da una
retta fissa detta DIRETTR

Vedi

Posizioni reciproche tra retta e parabola

Lo studio delle posizioni reciproche tra retta e parabola è fondamentale per comprendere le intersezioni tra queste due curve. Le possibili situazioni sono:

  1. Retta secante: interseca la parabola in due punti distinti
  2. Retta tangente: tocca la parabola in un solo punto
  3. Retta esterna: non ha punti in comune con la parabola

Per determinare la posizione reciproca, si risolve il sistema formato dalle equazioni della retta e della parabola:

{y = mx + q {y = ax² + bx + c

Questo porta a un'equazione di secondo grado, il cui discriminante Δ determina il tipo di intersezione:

  • Δ > 0: due intersezioni rettasecanteretta secante
  • Δ = 0: un'intersezione rettatangenteretta tangente
  • Δ < 0: nessuna intersezione rettaesternaretta esterna

Example: Per trovare la retta tangente alla parabola y = x² passante per il punto P2,12, 1, si impone la condizione di tangenza Δ = 0.

Highlight: Il calcolo del discriminante è cruciale per determinare la posizione reciproca tra retta e parabola.

bola
Si chiama parabola il logo geometrico
del piano dei punti equidistanti da
un punto fisso detto Fuoco e da una
retta fissa detta DIRETTR

Vedi

Area del segmento parabolico e parabole con asse parallelo all'asse x

L'area del segmento parabolico, ovvero la regione compresa tra la parabola e una corda, può essere calcolata utilizzando la formula:

Area segmento parabolico = 2/32/3 * Area rettangolo circoscritto

Questa formula è particolarmente utile in problemi di geometria e fisica.

Le parabole con asse parallelo all'asse x hanno un'equazione generale della forma:

x = ay² + by + c

Queste parabole si ottengono applicando una simmetria assiale rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante a una parabola con asse parallelo all'asse y.

Formula: Area segmento parabolico = 2/32/3 * base * altezza del rettangolo circoscritto

Highlight: Le parabole con asse parallelo all'asse x non sono funzioni nel senso stretto, ma possono essere considerate tali in intervalli limitati.

bola
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un punto fisso detto Fuoco e da una
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Determinazione dell'equazione della parabola

Per determinare l'equazione di una parabola, si possono utilizzare diverse condizioni, tra cui:

  1. Passaggio per tre punti noti
  2. Conoscenza del vertice e di un punto
  3. Conoscenza dell'asse e di due punti
  4. Conoscenza del vertice e del fuoco
  5. Conoscenza del vertice e della direttrice
  6. Condizione di tangenza con una retta

Ogni metodo richiede l'applicazione di formule specifiche e la risoluzione di sistemi di equazioni.

Example: Per trovare l'equazione della parabola passante per A1,11,1, B2,32,3 e C1,9-1,-9, si imposta un sistema di tre equazioni.

Highlight: La scelta del metodo dipende dai dati forniti nel problema.

bola
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Esercizi sulla parabola: risoluzione grafica e analitica

Gli esercizi sulla parabola possono richiedere sia approcci grafici che analitici. Un esempio di esercizio che combina entrambi gli approcci è la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni contenenti radici quadrate e parabole.

Procedimento:

  1. Identificare le funzioni coinvolte es.y=(x+1es. y = √(x+1 - 1 e y = x - 2)
  2. Tracciare i grafici delle funzioni
  3. Determinare le intersezioni e le regioni che soddisfano la disequazione

Example: Risolvere graficamente √x+1x+1 - 1 > x - 2

Highlight: La rappresentazione grafica aiuta a visualizzare la soluzione e a comprendere meglio il comportamento delle funzioni coinvolte.

bola
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Problemi di ottimizzazione con la parabola

La parabola trova applicazione in numerosi problemi di ottimizzazione, come l'inscrizione di figure geometriche all'interno dell'area delimitata dalla parabola e da altre curve o rette.

Un esempio tipico è l'inscrizione di un quadrilatero nell'area compresa tra una parabola e una retta. Questi problemi richiedono l'uso di tecniche di calcolo differenziale e l'applicazione delle proprietà della parabola.

Example: Inscrivere un quadrilatero di area massima nella regione compresa tra la parabola y = -x² + 4x e la retta y = 0.

Highlight: I problemi di ottimizzazione con la parabola combinano concetti di geometria analitica e calcolo differenziale.

bola
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Vedi

Applicazioni pratiche della parabola

La parabola ha numerose applicazioni pratiche in vari campi:

  1. Fisica: traiettoria di proiettili in assenza di resistenza dell'aria
  2. Ingegneria: design di antenne paraboliche e fari per automobili
  3. Architettura: archi parabolici in ponti e edifici
  4. Ottica: specchi e lenti paraboliche

Queste applicazioni sfruttano le proprietà geometriche e fisiche uniche della parabola, come la capacità di focalizzare raggi paralleli in un singolo punto ilfuocoil fuoco.

Example: Le antenne paraboliche utilizzano la proprietà della parabola di riflettere tutti i raggi paralleli al suo asse verso il fuoco, dove viene posizionato il ricevitore.

Highlight: La comprensione delle proprietà della parabola è fondamentale in molti campi scientifici e tecnologici.

bola
Si chiama parabola il logo geometrico
del piano dei punti equidistanti da
un punto fisso detto Fuoco e da una
retta fissa detta DIRETTR

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Final Page Summary

The concluding page would typically contain review materials and additional practice problems, though specific content was not provided in the transcript.

Highlight: Review of key concepts and formulas would reinforce learning objectives and practical applications.

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

4886

11 set 2022

9 pagine

Parabola: Definizione, Formule e Esercizi Svolti

The mathematical guide about parabolas and their properties, focusing on equations, intersections, and geometric relationships. The content covers fundamental concepts, formulas, and practical applications in analytical geometry.

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  • Detailed explanation of parabola: definizione matematicaincluding focus, directrix, and axis... Mostra di più

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Formule e proprietà della parabola

Le formule della parabola permettono di calcolare le coordinate dei suoi elementi caratteristici e di determinare la sua equazione. Alcune formule fondamentali sono:

  1. Coordinate del vertice: Vb/(2a-b/(2a, -Δ/4a4a)
  2. Coordinate del fuoco: F0,1/(4a0, 1/(4a)
  3. Equazione della direttrice: y = -1/4a4a

La parabola gode di importanti proprietà, tra cui:

  • Simmetria rispetto all'asse
  • Continuità e derivabilità in ogni punto
  • Intersezione con l'asse y nel punto 0,c0, c

Per trasformare una parabola con equazione y = ax² in una con vertice Vxv,yvxv, yv, si applica la traslazione: y - yv = axxvx - xv²

Vocabulary: Δ deltadelta è il discriminante dell'equazione ax² + bx + c = 0, calcolato come b² - 4ac.

Example: Per la parabola y = 2x² - 4x + 1, il vertice ha coordinate V1,11, -1.

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Posizioni reciproche tra retta e parabola

Lo studio delle posizioni reciproche tra retta e parabola è fondamentale per comprendere le intersezioni tra queste due curve. Le possibili situazioni sono:

  1. Retta secante: interseca la parabola in due punti distinti
  2. Retta tangente: tocca la parabola in un solo punto
  3. Retta esterna: non ha punti in comune con la parabola

Per determinare la posizione reciproca, si risolve il sistema formato dalle equazioni della retta e della parabola:

{y = mx + q {y = ax² + bx + c

Questo porta a un'equazione di secondo grado, il cui discriminante Δ determina il tipo di intersezione:

  • Δ > 0: due intersezioni rettasecanteretta secante
  • Δ = 0: un'intersezione rettatangenteretta tangente
  • Δ < 0: nessuna intersezione rettaesternaretta esterna

Example: Per trovare la retta tangente alla parabola y = x² passante per il punto P2,12, 1, si impone la condizione di tangenza Δ = 0.

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Area del segmento parabolico e parabole con asse parallelo all'asse x

L'area del segmento parabolico, ovvero la regione compresa tra la parabola e una corda, può essere calcolata utilizzando la formula:

Area segmento parabolico = 2/32/3 * Area rettangolo circoscritto

Questa formula è particolarmente utile in problemi di geometria e fisica.

Le parabole con asse parallelo all'asse x hanno un'equazione generale della forma:

x = ay² + by + c

Queste parabole si ottengono applicando una simmetria assiale rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante a una parabola con asse parallelo all'asse y.

Formula: Area segmento parabolico = 2/32/3 * base * altezza del rettangolo circoscritto

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Determinazione dell'equazione della parabola

Per determinare l'equazione di una parabola, si possono utilizzare diverse condizioni, tra cui:

  1. Passaggio per tre punti noti
  2. Conoscenza del vertice e di un punto
  3. Conoscenza dell'asse e di due punti
  4. Conoscenza del vertice e del fuoco
  5. Conoscenza del vertice e della direttrice
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Esercizi sulla parabola: risoluzione grafica e analitica

Gli esercizi sulla parabola possono richiedere sia approcci grafici che analitici. Un esempio di esercizio che combina entrambi gli approcci è la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni contenenti radici quadrate e parabole.

Procedimento:

  1. Identificare le funzioni coinvolte es.y=(x+1es. y = √(x+1 - 1 e y = x - 2)
  2. Tracciare i grafici delle funzioni
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Example: Risolvere graficamente √x+1x+1 - 1 > x - 2

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Problemi di ottimizzazione con la parabola

La parabola trova applicazione in numerosi problemi di ottimizzazione, come l'inscrizione di figure geometriche all'interno dell'area delimitata dalla parabola e da altre curve o rette.

Un esempio tipico è l'inscrizione di un quadrilatero nell'area compresa tra una parabola e una retta. Questi problemi richiedono l'uso di tecniche di calcolo differenziale e l'applicazione delle proprietà della parabola.

Example: Inscrivere un quadrilatero di area massima nella regione compresa tra la parabola y = -x² + 4x e la retta y = 0.

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La parabola ha numerose applicazioni pratiche in vari campi:

  1. Fisica: traiettoria di proiettili in assenza di resistenza dell'aria
  2. Ingegneria: design di antenne paraboliche e fari per automobili
  3. Architettura: archi parabolici in ponti e edifici
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Queste applicazioni sfruttano le proprietà geometriche e fisiche uniche della parabola, come la capacità di focalizzare raggi paralleli in un singolo punto ilfuocoil fuoco.

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Definizione e elementi fondamentali della parabola

La parabola è definita matematicamente come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso chiamato fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Questa definizione è alla base di tutte le proprietà e caratteristiche di questa importante curva.

Gli elementi fondamentali che caratterizzano una parabola sono:

  1. Fuoco: il punto fisso da cui tutti i punti della parabola sono equidistanti
  2. Direttrice: la retta fissa da cui tutti i punti della parabola sono equidistanti
  3. Asse di simmetria: la retta perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco
  4. Vertice: il punto di intersezione tra l'asse di simmetria e la parabola

L'equazione generale di una parabola con asse verticale è y = ax² + bx + c, dove:

  • a ≠ 0 determina la concavità versolaltosea>0,versoilbassosea<0verso l'alto se a > 0, verso il basso se a < 0
  • b influenza la posizione del vertice
  • c determina l'intercetta sull'asse y

Definizione: La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso fuocofuoco e da una retta fissa direttricedirettrice.

Highlight: Gli elementi fondamentali della parabola sono fuoco, direttrice, asse di simmetria e vertice.

Esempio: L'equazione y = x² rappresenta una parabola con vertice nell'origine, asse coincidente con l'asse y e concavità verso l'alto.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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