Posizioni reciproche tra retta e parabola

Lo studio delle posizioni reciproche tra una retta e una parabola è fondamentale in analisi matematica. Ci sono tre possibili situazioni:

1. Retta esterna: non ha punti in comune con la parabola
2. Retta tangente: tocca la parabola in un solo punto
3. Retta secante: interseca la parabola in due punti

Per determinare la posizione reciproca, si risolve il sistema tra l'equazione della retta e quella della parabola:

Example: {y = x² - 2x + 1 {y = 2x + 3

Risolvendo il sistema si ottiene un'equazione di secondo grado. Il discriminante Δ determina il numero di soluzioni:

• Δ < 0: retta esterna
• Δ = 0: retta tangente
• Δ > 0: retta secante

Vocabulary: Discriminante: è un'espressione algebrica che determina la natura delle soluzioni di un'equazione di secondo grado.

Per trovare l'equazione della retta tangente a una parabola in un punto dato, si utilizza la formula della derivata:

m = 2ax + b

dove m è il coefficiente angolare della retta tangente.

Highlight: La retta tangente a una parabola in un punto ha sempre coefficiente angolare pari alla derivata della funzione in quel punto.

Elementi caratteristici della parabola

La parabola possiede diversi elementi geometrici che ne definiscono la forma e la posizione:

1. Vertice: è il punto di massimo o minimo della parabola
2. Fuoco: punto fisso equidistante da tutti i punti della parabola
3. Direttrice: retta perpendicolare all'asse della parabola
4. Asse di simmetria: retta che passa per il vertice e divide la parabola in due parti simmetriche

Definition: Il fuoco di una parabola è un punto F(p, q) dove p = -b/2a e q = f(p) + 1/4a.

Example: Per la parabola y = -x² + 2x + 3, il vertice è V(1, 4) e il fuoco F(1, 13/4).

L'equazione generale di una parabola può essere scritta in diverse forme a seconda dei dati noti:

• Forma canonica: y = a(x - h)² + k, dove (h, k) è il vertice
• Forma con fuoco e direttrice: y = (1/4p)(x - x₀)² + y₀, dove (x₀, y₀) è il vertice e p è la distanza focale

Highlight: La distanza tra il vertice e il fuoco è sempre pari a 1/4|a|, dove a è il coefficiente del termine di secondo grado.

Determinare l'equazione di una parabola

Per trovare l'equazione di una parabola, è necessario conoscere alcuni elementi caratteristici o punti appartenenti ad essa. Ci sono diversi metodi:

1. Dati tre punti: Sostituire le coordinate dei tre punti nell'equazione generale y = ax² + bx + c e risolvere il sistema di tre equazioni per trovare a, b e c.

2. Dato il vertice e un punto: Utilizzare la forma canonica y = a(x - h)² + k, dove (h, k) è il vertice, e sostituire le coordinate del punto dato per trovare a.

3. Dati il vertice e l'asse di simmetria: Se l'asse di simmetria è x = p, l'equazione avrà la forma y = a(x - p)² + q, dove (p, q) è il vertice.

Example: Trovare l'equazione della parabola passante per A(-2, -5), B(0, 1) e C(6, -1):

Sostituendo i punti nell'equazione generale: -5 = 4a - 2b + c 1 = c -1 = 36a + 6b + c

Risolvendo il sistema si ottiene: y = -1/2x² + x + 1

Highlight: È fondamentale verificare sempre che l'equazione trovata soddisfi tutte le condizioni date.

Per parabole con asse parallelo all'asse y, l'equazione generale è x = ay² + by + c. I metodi per determinarla sono analoghi a quelli per le parabole con asse verticale.

Vocabulary: Parabola degenere: è una parabola che si riduce a una retta (quando a = 0) o a un punto (quando b² - 4ac = 0).