Vertice, Punto e Equazione della Parabola

Questa pagina si concentra su come determinare l'equazione di una parabola dato il suo vertice e un punto, e come analizzare le intersezioni tra rette e parabole.

Come trovare la formula della parabola dato il vertice e un punto:

1. Si utilizza l'equazione generale y - yv = a(x - xv)², dove (xv, yv) sono le coordinate del vertice.
2. Si sostituiscono le coordinate del punto noto e si risolve per 'a'.
3. Una volta trovato 'a', si espande l'equazione per ottenere la forma standard y = ax² + bx + c.

Example: Per una parabola con vertice V(1,3) e punto P(2,-3), si ottiene: -3 - 3 = a(2 - 1)² -6 = a Quindi, l'equazione è y - 3 = -6(x - 1)², che si espande in y = -6x² + 12x - 3.

Intersezione retta parabola esercizi: Per trovare l'intersezione tra una retta e una parabola, si mettono a sistema le loro equazioni e si risolve per x. Il discriminante Δ determina il numero di punti di intersezione:

• Δ < 0: nessuna intersezione (retta esterna)
• Δ = 0: un punto di intersezione (retta tangente)
• Δ > 0: due punti di intersezione (retta secante)

Highlight: La posizione reciproca tra retta e parabola può essere determinata analizzando il discriminante dell'equazione risultante dal sistema.

Fuoco e direttrice parabola: Il fuoco e la direttrice sono elementi fondamentali di una parabola. Per trovare l'equazione della parabola dato il fuoco e la direttrice:

1. Si usa la definizione di parabola come luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice.
2. Si mette a sistema questa definizione con le formule per il fuoco e la direttrice in termini di a, b, e c.
3. Si risolve il sistema per trovare i coefficienti a, b, e c dell'equazione y = ax² + bx + c.

Vocabulary: Il fuoco della parabola è un punto fisso dal quale ogni punto sulla parabola è equidistante rispetto alla direttrice.