Scopri le Coniche: Ellisse, Parabola e Iperbole - Guida Semplice

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nicole🤍

11/09/2022

Matematica

l’ellisse

Materie

Matematica

Geometria

Coniche e trasformazioni

Coniche: parabola, circonferenza, ellisse, iperbole e loro traslazioni

Scopri le Coniche: Ellisse, Parabola e Iperbole - Guida Semplice

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

L'ellisse è una delle tre coniche, insieme a parabola e iperbole, derivate dall'intersezione di una superficie conica con un piano. È definita come il luogo geometrico dei punti la cui somma delle distanze da due punti fissi (fuochi) è costante. Le sue proprietà geometriche e analitiche la rendono fondamentale in matematica e fisica.

...

11/09/2022

5241

introduzione alle coniche:
esistono tre tipi di coniche: parabola, circonferenza, ellisse e iperbole
tipo particolare di ellisse (i due F co

Vedi

Proprietà geometriche dell'ellisse

L'ellisse possiede importanti proprietà di simmetria:

È simmetrica rispetto agli assi x e y
È simmetrica rispetto all'origine

Highlight: La simmetria dell'ellisse permette di dedurre facilmente le coordinate di punti corrispondenti.

L'ellisse è inscritta in un rettangolo di lati 2a e 2a, dove a e b sono i semiassi. I vertici dell'ellisse sono i punti di intersezione con questo rettangolo.

Le coordinate dei fuochi dipendono dalla posizione dell'asse focale:

Se l'asse focale è x: F₁ $-c,0$ e F₂ $c,0$
Se l'asse focale è y: F₁ $0,-c$ e F₂ $0,c$

dove c = √ $a² - b²$

Formula: Centro ellisse: c² = a² - b²

Altre relazioni importanti:

Asse focale = 2a
Asse minore = 2b
a² = b² + c²

Vedi

Eccentricità e casi particolari

L'eccentricità dell'ellisse è definita come:

e = c/a = √ $1 - b²/a²$

Definizione: L'eccentricità è il rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse focale.

Proprietà dell'eccentricità:

0 ≤ e < 1
e = 0 → circonferenza $fuochi coincidenti$
e → 1 → ellisse molto schiacciata

Highlight: L'eccentricità indica quanto l'ellisse si discosta da una circonferenza.

Casi particolari:

Se a = b → circonferenza di raggio a
Se e = 1 → l'ellisse degenera nel segmento che unisce i fuochi
Se e > 1 → si ottiene un'iperbole

L'equazione dell'ellisse in forma non canonica può essere espressa esplicitando y:

y = ± $b/a$ √ $a² - x²$ con -a ≤ x ≤ a

Vedi

Fasci di ellissi e problemi

Un fascio di ellissi è una famiglia di ellissi che dipendono da un parametro k.

Esempio: $k-2$ x² + $k+2$ y² = k²-4

Per stabilire per quali valori di k si ottiene un'ellisse, occorre analizzare:

La condizione di esistenza dell'ellisse
La posizione dei fuochi $asse x o y$
Eventuali condizioni aggiuntive $es. eccentricità$

Highlight: L'analisi dei fasci di ellissi richiede l'applicazione delle condizioni di esistenza e delle proprietà dell'ellisse.

Problemi tipici:

Determinare quando l'ellisse degenera in una circonferenza
Trovare le ellissi con una data eccentricità
Stabilire la posizione dei fuochi

Vedi

Esercizi e applicazioni

Esempi di esercizi sull'ellisse:

Data l'equazione x²/ $2k+3$ + y²/ $3-k$ = 1, stabilire per quali valori di k: a) L'ellisse ha asse focale y b) L'ellisse degenera in una circonferenza c) L'ellisse ha eccentricità e = 3/5

Esempio: Per il punto b), si impone la condizione a = b, ottenendo 2k+3 = 3-k, da cui k = 0.

Analizzare un fascio di ellissi e determinare le condizioni per cui si ottengono ellissi con specifiche proprietà.

Highlight: La risoluzione di questi problemi richiede l'applicazione delle formule dell'ellisse e l'analisi delle condizioni di esistenza.

Applicazioni pratiche:

Calcolo delle orbite dei pianeti
Progettazione di superfici riflettenti
Analisi di fenomeni fisici con simmetria ellittica

L'ellisse trova numerose applicazioni in fisica, astronomia e ingegneria grazie alle sue proprietà geometriche uniche.

Vedi

Conclusioni e riassunto

L'ellisse è una conica fondamentale con proprietà uniche e importanti applicazioni. Le sue caratteristiche principali includono:

Due fuochi che determinano la sua forma
Eccentricità compresa tra 0 e 1
Simmetria rispetto ai suoi assi e all'origine
Equazione canonica $x²/a²$ + $y²/b²$ = 1

La comprensione approfondita dell'ellisse è essenziale per molti campi della matematica, della fisica e dell'ingegneria.

Quote: "L'ellisse è una curva di straordinaria bellezza matematica che unisce semplicità di definizione e ricchezza di proprietà." - Anonimo matematico

Questo schema riassuntivo delle coniche, con particolare attenzione all'ellisse, fornisce una base solida per ulteriori studi e applicazioni di queste importanti curve geometriche.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

Materie

Matematica

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Coniche: parabola, circonferenza, ellisse, iperbole e loro traslazioni

Matematica

•

5241

•

11 set 2022

•

6 pagine

Scopri le Coniche: Ellisse, Parabola e Iperbole - Guida Semplice

nicole🤍

@nicole.oldani

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Proprietà geometriche dell'ellisse

L'ellisse possiede importanti proprietà di simmetria:

È simmetrica rispetto agli assi x e y
È simmetrica rispetto all'origine

Highlight: La simmetria dell'ellisse permette di dedurre facilmente le coordinate di punti corrispondenti.

L'ellisse è inscritta in un rettangolo di lati 2a e 2a, dove a e b sono i semiassi. I vertici dell'ellisse sono i punti di intersezione con questo rettangolo.

Le coordinate dei fuochi dipendono dalla posizione dell'asse focale:

Se l'asse focale è x: F₁ $-c,0$ e F₂ $c,0$
Se l'asse focale è y: F₁ $0,-c$ e F₂ $0,c$

dove c = √ $a² - b²$

Formula: Centro ellisse: c² = a² - b²

Altre relazioni importanti:

Asse focale = 2a
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L'eccentricità dell'ellisse è definita come:

e = c/a = √ $1 - b²/a²$

Definizione: L'eccentricità è il rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse focale.

Proprietà dell'eccentricità:

0 ≤ e < 1
e = 0 → circonferenza $fuochi coincidenti$
e → 1 → ellisse molto schiacciata

Highlight: L'eccentricità indica quanto l'ellisse si discosta da una circonferenza.

Casi particolari:

Se a = b → circonferenza di raggio a
Se e = 1 → l'ellisse degenera nel segmento che unisce i fuochi
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Conclusioni e riassunto

L'ellisse è una conica fondamentale con proprietà uniche e importanti applicazioni. Le sue caratteristiche principali includono:

Due fuochi che determinano la sua forma
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Introduzione alle coniche

Le coniche sono curve ottenute dall'intersezione di un piano con una superficie conica. Esistono tre tipi principali di coniche: parabola, ellisse e iperbole. La circonferenza è un caso particolare di ellisse.

Definizione: L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

L'equazione dell'ellisse in forma canonica è:

x²/a² + y²/b² = 1

dove a e b sono i semiassi maggiore e minore.

Highlight: I parametri a e b hanno un ruolo fondamentale nel determinare le dimensioni dell'ellisse.

La dimostrazione dell'equazione dell'ellisse parte dalla definizione e utilizza la proprietà della somma costante delle distanze dai fuochi.

Esempio: Se i due fuochi coincidono, l'ellisse degenera in una circonferenza.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

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