Matematica

Equazioni delle Sezioni Coniche

Equazione dell'Iperbole

Matematica817Aggiornato 28 set 20262 pagine

Parabola Equilatera: Definizione e Formule

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Giulia Brogi@giulybro

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L' iperbole equilatera è un tipo speciale di iperbole dove i parametri a e b sono uguali. Questa caratteristica la rende più semplice da studiare e le conferisce proprietà geometriche particolari che la distinguono dalle iperboli comuni.

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Iperbole Equilatera Riferita agli Assi di Simmetria

Quando l'iperbole equilatera è riferita ai suoi assi di simmetria, hai due possibilità principali da considerare. La cosa bella è che entrambe hanno formule molto simili!

Se i fuochi sono sull'asse x, l'equazione diventa $x^2 - y^2 = a^2$ . I vertici si trovano in A₁(a; 0) e A₂ $-a; 0$ , mentre i fuochi sono posizionati in F₁( $a\sqrt{2}$ ; 0) e F₂(- $a\sqrt{2}$ ; 0). Ricorda che $c = a\sqrt{2}$ sempre.

Nel caso opposto, con i fuochi sull'asse y, l'equazione cambia in $x^2 - y^2 = -a^2$ . Ora i fuochi si spostano in F₁(0; $a\sqrt{2}$ ) e F₂(0; - $a\sqrt{2}$ ), mantenendo la stessa distanza dal centro.

Trucco importante: Gli asintoti sono sempre y = ±x in entrambi i casi, e l'eccentricità è sempre $e = \sqrt{2}$ ≈ 1,41.

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Iperbole Equilatera Riferita agli Asintoti

Quando l'iperbole equilatera è riferita ai suoi asintoti, le cose diventano ancora più interessanti! Gli asintoti diventano proprio gli assi cartesiani $x = 0 e y = 0$ .

Nel primo caso, con equazione $xy = k$ (dove k > 0), i vertici si trovano in A₁( $\sqrt{k}$ ; $\sqrt{k}$ ) e A₂(- $\sqrt{k}$ ; - $\sqrt{k}$ ). I rami dell'iperbole si disegnano nel primo e terzo quadrante, creando una forma simmetrica rispetto all'origine.

Nel secondo caso, con equazione $xy = -k$ , i vertici si spostano in A₁(- $\sqrt{k}$ ; $\sqrt{k}$ ) e A₂( $\sqrt{k}$ ; - $\sqrt{k}$ ). Questa volta i rami occupano il secondo e quarto quadrante.

Consiglio pratico: Per ricordare dove disegnare i rami, guarda il segno di k: positivo significa quadranti dispari (1° e 3°), negativo significa quadranti pari (2° e 4°).

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