L'iperbole è una conica che presenta caratteristiche geometriche e analitiche molto particolari, fondamentali per lo studio della matematica.
L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per cui la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante. La sua equazione standard, quando è riferita agli assi cartesiani, può essere scritta in diverse forme a seconda della sua posizione. L'iperbole riferita agli assi ha equazione (x²/a²) - (y²/b²) = 1 quando è centrata nell'origine e ha asse trasversale coincidente con l'asse x. Un caso particolare molto importante è l'iperbole equilatera, caratterizzata dall'avere gli assi congruenti (a=b), la cui equazione è xy = k, quando riferita agli asintoti.
Gli asintoti sono rette fondamentali per lo studio dell'iperbole, rappresentando le direzioni verso cui i rami della curva tendono all'infinito. Per un'iperbole traslata, gli asintoti si ottengono traslando quelli dell'iperbole non traslata. I vertici sono i punti in cui la curva interseca l'asse trasversale e rappresentano i punti più vicini tra i due rami. La funzione iperbole trova numerose applicazioni pratiche, dalla fisica all'economia, dove viene utilizzata per modellizzare fenomeni che presentano andamenti inversamente proporzionali. L'iperbole equilatera riferita agli asintoti è particolarmente utile nello studio delle funzioni omografiche, dove compare nella forma y = k/x. È interessante notare come l'iperbole non sia solo una figura geometrica ma anche una figura retorica nel linguaggio, dove indica un'esagerazione utilizzata per enfatizzare un concetto.
