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2000
โข
25 nov 2025
โข
rob๐ชด
@robertoghittino
Gli intervalli e i limiti sono concetti fondamentali in matematica... Mostra di piรน
Gli intervalli sono sottoinsiemi dei numeri reali (R) che non contengono "buchi" o "spazi vuoti". Possiamo rappresentarli sulla retta reale, dove esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri e punti.
Gli intervalli possono essere limitati o illimitati. Quelli limitati hanno sia un estremo inferiore che superiore e si rappresentano in diversi modi:
Gli intervalli illimitati includono +โ o -โ come estremo, ad esempio . Ricorda che +โ e -โ non sono mai compresi nella soluzione, perchรฉ rappresentano dei limiti.
โ ๏ธ Attenzione! Un insieme numerico รจ superiormente limitato se esiste un numero reale a (maggiorante) tale che x โค a per ogni x nell'insieme. ร inferiormente limitato se esiste un numero reale b (minorante) tale che x โฅ b per ogni x nell'insieme. Un insieme รจ semplicemente limitato se รจ limitato sia superiormente che inferiormente.
Un intorno di un punto xโ รจ un intervallo aperto che contiene xโ: I(xโ) = ]xโ-ฮดโ; xโ+ฮดโ[. Quando ฮดโ = ฮดโ, l'intorno รจ detto "circolare". Possiamo anche scriverlo come I(xโ) = {x โ R | |x-xโ| < ฮด}.
Gli estremi di un insieme sono concetti fondamentali. L'estremo superiore di un insieme รจ il numero reale M tale che:
In altre parole, รจ il piรน piccolo tra tutti i maggioranti. Analogamente, l'estremo inferiore L รจ il piรน grande tra tutti i minoranti.
Un punto isolato di un insieme A รจ un punto xโ per cui esiste almeno un intorno che non contiene altri elementi di A diversi da xโ. Pensa a un punto "solitario" separato dagli altri punti dell'insieme.
Un punto di accumulazione di un insieme A รจ un punto xโ tale che ogni suo intorno contiene infiniti punti di A. Intorno a questi punti si "accumulano" infiniti elementi dell'insieme. Gli intervalli hanno infiniti punti di accumulazione, perchรฉ ogni punto รจ un punto di accumulazione per l'intervallo stesso.
๐ก Per individuare gli estremi superiore e inferiore di un insieme, possiamo utilizzare anche i limiti! Se gli estremi appartengono all'insieme, sono chiamati rispettivamente massimo e minimo.
I limiti sono un altro concetto essenziale. Diciamo che limโโโโ f(x) = l se per ogni ฮต > 0 esiste un ฮด > 0 tale che per ogni x nell'intorno di xโ, con x โ xโ, abbiamo |f(x) - l| < ฮต. In termini piรน semplici, significa che avvicinandoci a xโ, i valori della funzione si avvicinano a l.
Quando calcoliamo limiti, possiamo incontrare forme indeterminate come 0/0. Queste richiedono tecniche specifiche di risoluzione, come la semplificazione o la scomposizione dei termini.
Ad esempio, il limite limโโโ / sembra dare 0/0, ma semplificando otteniamo: limโโโ / = limโโโ 1/ = 1/2
Quando valutiamo limiti che tendono a โ o -โ, diciamo che limโโโ g(x) = L se per ogni valore positivo M esiste un ฮด > 0 tale che |g(x)| > M per ogni x con |x| > ฮด. In parole povere, i valori della funzione superano qualsiasi limite prefissato quando x diventa sufficientemente grande.
๐ Quando lavori con i limiti all'infinito, ricorda di considerare sempre il comportamento dei termini di grado massimo nelle espressioni polinomiali, poichรฉ sono questi a determinare il comportamento della funzione per valori molto grandi di x.
Una funzione si dice continua in un punto xโ se limโโโโ g(x) = g(xโ), cioรจ se il limite della funzione nel punto coincide con il valore della funzione in quel punto. Questo รจ un concetto fondamentale che userai spesso nello studio dell'analisi matematica.
Il nostro assistente AI รจ costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente รจ in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
ร possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sรฌ, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione รจ molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerรฒ sicuramente l'app per i compiti in classe! ร molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione รจ davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, รจ il francese e l'app ha cosรฌ tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perchรฉ l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app รจ L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
ร bellissima questa app, la adoro. ร utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone รจ molto utile perchรจ posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione รจ semplicemente fantastica! Tutto ciรฒ che devo fare รจ inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity รจ un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" รจ almeno per me molto utile, perchรฉ a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciรฒ che non รจ chiaro! Posso studiare piรน velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi รจ una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity รจ PERFETTA
Aurora
utente Android
Lโapp funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho lโabbonamento ma la parte gratuita รจ sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo รจ ormai poco, mi sta aiutando molto perchรฉ piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi giร fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app รจ una delle migliori, nientโaltro da dire.
Andrea
utente iOS
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Gli intervalli e i limiti sono concetti fondamentali in matematica che ci permettono di comprendere il comportamento delle funzioni. Questa guida ti spiegherร gli intervalli, gli estremi di un insieme, i punti di accumulazione e i limiti in modo chiaro... Mostra di piรน
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Gli intervalli sono sottoinsiemi dei numeri reali (R) che non contengono "buchi" o "spazi vuoti". Possiamo rappresentarli sulla retta reale, dove esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri e punti.
Gli intervalli possono essere limitati o illimitati. Quelli limitati hanno sia un estremo inferiore che superiore e si rappresentano in diversi modi:
Gli intervalli illimitati includono +โ o -โ come estremo, ad esempio . Ricorda che +โ e -โ non sono mai compresi nella soluzione, perchรฉ rappresentano dei limiti.
โ ๏ธ Attenzione! Un insieme numerico รจ superiormente limitato se esiste un numero reale a (maggiorante) tale che x โค a per ogni x nell'insieme. ร inferiormente limitato se esiste un numero reale b (minorante) tale che x โฅ b per ogni x nell'insieme. Un insieme รจ semplicemente limitato se รจ limitato sia superiormente che inferiormente.
Un intorno di un punto xโ รจ un intervallo aperto che contiene xโ: I(xโ) = ]xโ-ฮดโ; xโ+ฮดโ[. Quando ฮดโ = ฮดโ, l'intorno รจ detto "circolare". Possiamo anche scriverlo come I(xโ) = {x โ R | |x-xโ| < ฮด}.
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In altre parole, รจ il piรน piccolo tra tutti i maggioranti. Analogamente, l'estremo inferiore L รจ il piรน grande tra tutti i minoranti.
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Un punto di accumulazione di un insieme A รจ un punto xโ tale che ogni suo intorno contiene infiniti punti di A. Intorno a questi punti si "accumulano" infiniti elementi dell'insieme. Gli intervalli hanno infiniti punti di accumulazione, perchรฉ ogni punto รจ un punto di accumulazione per l'intervallo stesso.
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Ad esempio, il limite limโโโ / sembra dare 0/0, ma semplificando otteniamo: limโโโ / = limโโโ 1/ = 1/2
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