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Come Calcolare i Limiti di Funzioni Indeterminate

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Alessandro

18/11/2025

Matematica

Calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata

Matematica

Limiti di Funzione e Asintoti

Forme Indeterminate

2342

•

18 nov 2025

•

3 pagine

Come Calcolare i Limiti di Funzioni Indeterminate

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Alessandro

@alessandro_______

Il calcolo dei limiti può sembrare complicato, ma con le... Mostra di più

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calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata Le funzioni algebriche sono quelle funzioni che si present

Forme Indeterminate e Tecniche Base

Le forme indeterminate sono quelle situazioni dove sostituendo il valore ottieni risultati come 00\frac{0}{0}, ∞∞\frac{\infty}{\infty} o ∞−∞\infty - \infty. Non ti preoccupare: esistono tecniche specifiche per risolverle tutte!

Per i polinomi che tendono a infinito $\infty - \infty$, il trucco è raccogliere la x di grado più alto. Questo ti permette di "vedere" quale termine domina davvero l'espressione.

Quando hai un rapporto di polinomi che dà ∞∞\frac{\infty}{\infty}, raccogli la x di grado massimo sia al numeratore che al denominatore, poi semplifica. Per la forma 00\frac{0}{0}, invece, devi scomporre e semplificare i fattori comuni.

💡 Trucco veloce: La teoria degli infiniti ti dice che per i limiti all'infinito conta solo il termine di grado più alto - puoi ignorare tutti gli altri!

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata Le funzioni algebriche sono quelle funzioni che si present

Esempi Pratici Step by Step

Vediamo come applicare queste tecniche con esempi concreti che potresti trovare nella verifica!

Caso ∞−∞\infty - \infty: Per lim⁡x→+∞2x3−x2+3\lim_{x\to+\infty} 2x^3 - x^2 + 3, raccogli x3x^3: ottieni x3(2−1x+3x3)x^3(2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^3}). Quando x→∞x \to \infty, i termini 1x\frac{1}{x} diventano zero, quindi il risultato è +∞+\infty.

Caso ∞∞\frac{\infty}{\infty}: Per lim⁡x→+∞x+22x2−5\lim_{x\to+\infty} \frac{x + 2}{2x^2 - 5}, raccogli xx al numeratore e x2x^2 al denominatore. Ottieni 1+2xx(2−5x2)=0\frac{1 + \frac{2}{x}}{x(2 - \frac{5}{x^2})} = 0.

Caso 00\frac{0}{0}: Per lim⁡x→1x2−1x−1\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, scomponi il numeratore: (x−1)(x+1)x−1\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}. Semplifica (x−1)(x-1) e ottieni x+1=2x + 1 = 2.

Per le radici $\sqrt{A} - \sqrt{B}$, moltiplica e dividi per la forma coniugata A+B\sqrt{A} + \sqrt{B} per trasformare la differenza in una frazione più semplice.

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata Le funzioni algebriche sono quelle funzioni che si present

Teoria degli Infiniti: Il Metodo Rapido

Questa è la tecnica più veloce per i limiti all'infinito! Ti basta confrontare i gradi dei polinomi senza fare calcoli complicati.

Primo caso: Se il numeratore ha grado maggiore del denominatore, il risultato è ±∞\pm\infty. Il segno dipende dai coefficienti dei termini di grado massimo. Esempio: lim⁡x→+∞4x52x2=+∞\lim_{x\to+\infty} \frac{4x^5}{2x^2} = +\infty.

Secondo caso: Se numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, il risultato è il rapporto dei coefficienti principali. Esempio: lim⁡x→+∞7x32x3=72\lim_{x\to+\infty} \frac{7x^3}{2x^3} = \frac{7}{2}.

Terzo caso: Se il numeratore ha grado minore, il risultato è sempre zero. Esempio: lim⁡x→+∞5x22x4=0\lim_{x\to+\infty} \frac{5x^2}{2x^4} = 0.

🎯 Strategia vincente: Identifica subito i gradi dei polinomi - ti dirà immediatamente che tipo di risultato aspettarti!

Ricorda: questa tecnica funziona solo per i limiti che tendono a infinito, non per quelli che tendono a un valore finito!



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Alessandro

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Il calcolo dei limiti può sembrare complicato, ma con le tecniche giuste diventa molto più semplice! Imparerai come risolvere le forme indeterminate più comuni delle funzioni algebriche usando trucchi pratici che ti faranno risparmiare tempo negli esercizi.

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata Le funzioni algebriche sono quelle funzioni che si present

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Forme Indeterminate e Tecniche Base

Le forme indeterminate sono quelle situazioni dove sostituendo il valore ottieni risultati come 00\frac{0}{0}, ∞∞\frac{\infty}{\infty} o ∞−∞\infty - \infty. Non ti preoccupare: esistono tecniche specifiche per risolverle tutte!

Per i polinomi che tendono a infinito $\infty - \infty$, il trucco è raccogliere la x di grado più alto. Questo ti permette di "vedere" quale termine domina davvero l'espressione.

Quando hai un rapporto di polinomi che dà ∞∞\frac{\infty}{\infty}, raccogli la x di grado massimo sia al numeratore che al denominatore, poi semplifica. Per la forma 00\frac{0}{0}, invece, devi scomporre e semplificare i fattori comuni.

💡 Trucco veloce: La teoria degli infiniti ti dice che per i limiti all'infinito conta solo il termine di grado più alto - puoi ignorare tutti gli altri!

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Caso ∞−∞\infty - \infty: Per lim⁡x→+∞2x3−x2+3\lim_{x\to+\infty} 2x^3 - x^2 + 3, raccogli x3x^3: ottieni x3(2−1x+3x3)x^3(2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^3}). Quando x→∞x \to \infty, i termini 1x\frac{1}{x} diventano zero, quindi il risultato è +∞+\infty.

Caso ∞∞\frac{\infty}{\infty}: Per lim⁡x→+∞x+22x2−5\lim_{x\to+\infty} \frac{x + 2}{2x^2 - 5}, raccogli xx al numeratore e x2x^2 al denominatore. Ottieni 1+2xx(2−5x2)=0\frac{1 + \frac{2}{x}}{x(2 - \frac{5}{x^2})} = 0.

Caso 00\frac{0}{0}: Per lim⁡x→1x2−1x−1\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, scomponi il numeratore: (x−1)(x+1)x−1\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}. Semplifica (x−1)(x-1) e ottieni x+1=2x + 1 = 2.

Per le radici $\sqrt{A} - \sqrt{B}$, moltiplica e dividi per la forma coniugata A+B\sqrt{A} + \sqrt{B} per trasformare la differenza in una frazione più semplice.

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Teoria degli Infiniti: Il Metodo Rapido

Questa è la tecnica più veloce per i limiti all'infinito! Ti basta confrontare i gradi dei polinomi senza fare calcoli complicati.

Primo caso: Se il numeratore ha grado maggiore del denominatore, il risultato è ±∞\pm\infty. Il segno dipende dai coefficienti dei termini di grado massimo. Esempio: lim⁡x→+∞4x52x2=+∞\lim_{x\to+\infty} \frac{4x^5}{2x^2} = +\infty.

Secondo caso: Se numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, il risultato è il rapporto dei coefficienti principali. Esempio: lim⁡x→+∞7x32x3=72\lim_{x\to+\infty} \frac{7x^3}{2x^3} = \frac{7}{2}.

Terzo caso: Se il numeratore ha grado minore, il risultato è sempre zero. Esempio: lim⁡x→+∞5x22x4=0\lim_{x\to+\infty} \frac{5x^2}{2x^4} = 0.

🎯 Strategia vincente: Identifica subito i gradi dei polinomi - ti dirà immediatamente che tipo di risultato aspettarti!

Ricorda: questa tecnica funziona solo per i limiti che tendono a infinito, non per quelli che tendono a un valore finito!

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Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

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Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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