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Circonferenza Goniometrica: Seno e Coseno Spiegati ai Bambini con Formule e Tabelle

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Goniometria - funzione seno e coseno

13.954

6 lug 2025

4 pagine

Circonferenza Goniometrica: Seno e Coseno Spiegati ai Bambini con Formule e Tabelle

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giada_delvecchio

@giada_delvecchio

La circonferenza goniometrica seno e cosenoè fondamentale per comprendere... Mostra di più

Funzioni seno e coseno
Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle

Variazione di seno e coseno nei quadranti

Il comportamento di seno e coseno varia a seconda del quadrante in cui si trova il punto sulla circonferenza goniometrica:

Nel I quadrante: sia x che y sono positive, quindi seno e coseno sono positivi. Nel II quadrante: y è positiva e x negativa, quindi seno è positivo e coseno negativo. Nel III quadrante: sia x che y sono negative, quindi seno e coseno sono negativi. Nel IV quadrante: y è negativa e x positiva, quindi seno è negativo e coseno positivo.

Highlight: Indipendentemente dalla posizione del punto, seno e coseno assumono sempre valori compresi tra -1 e 1.

Questo implica che il codominio di entrambe le funzioni è l'intervallo 1,1-1, 1.

Definition: Il codominio di una funzione è l'insieme dei valori che la funzione può assumere.

La variazione di seno e coseno nei quadranti è fondamentale per comprendere il loro andamento e per risolvere problemi trigonometrici.

Funzioni seno e coseno
Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle

Valori noti e grafici di seno e coseno

Esistono alcuni angoli notevoli per cui i valori di seno e coseno sono facilmente memorizzabili. Una tabella seno e coseno per questi angoli è essenziale:

Angolo (gradi)Angolo (radianti)sin(α)cos(α)
0001
30π/61/2√3/2
45π/4√2/2√2/2
60π/3√3/21/2
90π/210
180π0-1
2703π/2-10
36001

Highlight: Questa tabella è fondamentale per risolvere rapidamente problemi trigonometrici.

I grafici seno e coseno sono rappresentati da curve sinusoidali:

  • La sinusoide graficodelsenografico del seno parte da 0 e raggiunge il suo massimo a π/2.
  • La cosinusoide graficodelcosenografico del coseno parte da 1 e raggiunge lo 0 a π/2.

Example: Il grafico del seno interseca l'asse x nei punti 0, π, 2π, mentre il coseno lo interseca a π/2 e 3π/2.

Entrambe le funzioni sono periodiche con periodo 2π, il che significa che il loro andamento si ripete ogni 2π radianti.

Funzioni seno e coseno
Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle

Relazioni fondamentali e angoli negativi

La prima relazione fondamentale della trigonometria stabilisce che:

sin²αα + cos²αα = 1

Questa relazione deriva direttamente dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo inscritto nella circonferenza goniometrica.

Definition: La prima relazione fondamentale esprime il legame tra seno e coseno di uno stesso angolo.

Per calcolare seno e coseno di angoli negativi, si può sfruttare la simmetria della circonferenza goniometrica:

  • sinα = -sinαα
  • cosα = cosαα

Example: Per calcolare sin15π/2-15π/2, si può osservare che -15π/2 equivale a π/2 dopo aver fatto 7 giri completi in senso orario. Quindi, sin15π/2-15π/2 = sinπ/2π/2 = 1.

La comprensione di queste relazioni e proprietà è cruciale per manipolare espressioni trigonometriche e risolvere problemi avanzati di trigonometria.

Highlight: La capacità di lavorare con angoli negativi e di sfruttare le simmetrie della circonferenza goniometrica è essenziale per padroneggiare la trigonometria.

Funzioni seno e coseno
Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle

Funzioni seno e coseno

La goniometria si occupa delle funzioni goniometriche come seno e coseno e delle loro inverse. Queste funzioni associano un numero reale ad ogni angolo.

Il seno di un angolo α è definito come il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa in un triangolo rettangolo:

sinαα = cateto opposto / ipotenusa

Il coseno è invece il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa:

cosαα = cateto adiacente / ipotenusa

Highlight: Seno e coseno sono numeri puri, privi di unità di misura.

Sulla circonferenza goniometrica di raggio unitario, le coordinate di un punto Px,yx,y corrispondono a:

x = cosαα y = sinαα

Vocabulary: La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine degli assi cartesiani.

Il dominio di seno e coseno è l'insieme dei numeri reali R, poiché ad ogni angolo α corrisponde un unico punto P sulla circonferenza.

Example: Per un angolo di 30°, sin30°30° = 1/2 e cos30°30° = √3/2.



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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@giada_delvecchio

La circonferenza goniometrica seno e cosenoè fondamentale per comprendere le funzioni trigonometriche. Questo documento esplora le funzioni seno e coseno, la loro rappresentazione sulla circonferenza goniometrica e i loro grafici. Vengono analizzati i valori di seno e coseno per... Mostra di più

Funzioni seno e coseno
Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle

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Variazione di seno e coseno nei quadranti

Il comportamento di seno e coseno varia a seconda del quadrante in cui si trova il punto sulla circonferenza goniometrica:

Nel I quadrante: sia x che y sono positive, quindi seno e coseno sono positivi. Nel II quadrante: y è positiva e x negativa, quindi seno è positivo e coseno negativo. Nel III quadrante: sia x che y sono negative, quindi seno e coseno sono negativi. Nel IV quadrante: y è negativa e x positiva, quindi seno è negativo e coseno positivo.

Highlight: Indipendentemente dalla posizione del punto, seno e coseno assumono sempre valori compresi tra -1 e 1.

Questo implica che il codominio di entrambe le funzioni è l'intervallo 1,1-1, 1.

Definition: Il codominio di una funzione è l'insieme dei valori che la funzione può assumere.

La variazione di seno e coseno nei quadranti è fondamentale per comprendere il loro andamento e per risolvere problemi trigonometrici.

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Valori noti e grafici di seno e coseno

Esistono alcuni angoli notevoli per cui i valori di seno e coseno sono facilmente memorizzabili. Una tabella seno e coseno per questi angoli è essenziale:

Angolo (gradi)Angolo (radianti)sin(α)cos(α)
0001
30π/61/2√3/2
45π/4√2/2√2/2
60π/3√3/21/2
90π/210
180π0-1
2703π/2-10
36001

Highlight: Questa tabella è fondamentale per risolvere rapidamente problemi trigonometrici.

I grafici seno e coseno sono rappresentati da curve sinusoidali:

  • La sinusoide graficodelsenografico del seno parte da 0 e raggiunge il suo massimo a π/2.
  • La cosinusoide graficodelcosenografico del coseno parte da 1 e raggiunge lo 0 a π/2.

Example: Il grafico del seno interseca l'asse x nei punti 0, π, 2π, mentre il coseno lo interseca a π/2 e 3π/2.

Entrambe le funzioni sono periodiche con periodo 2π, il che significa che il loro andamento si ripete ogni 2π radianti.

Funzioni seno e coseno
Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle

Relazioni fondamentali e angoli negativi

La prima relazione fondamentale della trigonometria stabilisce che:

sin²αα + cos²αα = 1

Questa relazione deriva direttamente dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo inscritto nella circonferenza goniometrica.

Definition: La prima relazione fondamentale esprime il legame tra seno e coseno di uno stesso angolo.

Per calcolare seno e coseno di angoli negativi, si può sfruttare la simmetria della circonferenza goniometrica:

  • sinα = -sinαα
  • cosα = cosαα

Example: Per calcolare sin15π/2-15π/2, si può osservare che -15π/2 equivale a π/2 dopo aver fatto 7 giri completi in senso orario. Quindi, sin15π/2-15π/2 = sinπ/2π/2 = 1.

La comprensione di queste relazioni e proprietà è cruciale per manipolare espressioni trigonometriche e risolvere problemi avanzati di trigonometria.

Highlight: La capacità di lavorare con angoli negativi e di sfruttare le simmetrie della circonferenza goniometrica è essenziale per padroneggiare la trigonometria.

Funzioni seno e coseno
Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle

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Il seno di un angolo α è definito come il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa in un triangolo rettangolo:

sinαα = cateto opposto / ipotenusa

Il coseno è invece il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa:

cosαα = cateto adiacente / ipotenusa

Highlight: Seno e coseno sono numeri puri, privi di unità di misura.

Sulla circonferenza goniometrica di raggio unitario, le coordinate di un punto Px,yx,y corrispondono a:

x = cosαα y = sinαα

Vocabulary: La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine degli assi cartesiani.

Il dominio di seno e coseno è l'insieme dei numeri reali R, poiché ad ogni angolo α corrisponde un unico punto P sulla circonferenza.

Example: Per un angolo di 30°, sin30°30° = 1/2 e cos30°30° = √3/2.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

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