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La ricerca del principio di tutte le cose.
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Raissa🌻
11/12/2025
Matematica
Goniometria: Equazioni, Disequazioni e formule
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11 dic 2025
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La goniometria è lo studio degli angoli e delle funzioni... Mostra di più
Invece di usare sempre i gradi, in matematica misuriamo gli angoli in radianti - un sistema più elegante dove 180° = π radianti. Un radiante è semplicemente l'angolo che crea un arco lungo quanto il raggio della circonferenza.
Le conversioni fondamentali sono: 360° = 2π, 180° = π, 90° = π/2, 45° = π/4. Per convertire usi le formule α rad = (π·α°)/180° oppure α° = α rad · 180°/π.
Gli angoli orientati hanno un verso: positivi se vanno in senso antiorario, negativi se vanno in senso orario. Questa distinzione è cruciale per capire le funzioni goniometriche.
Ricorda: Il radiante è l'unità ufficiale nel sistema internazionale - impara a pensare in radianti per semplificarti la vita!
La circonferenza goniometrica ha raggio 1 e centro nell'origine, con equazione x² + y² = 1. Qui nascono le funzioni trigonometriche: il coseno è la coordinata x del punto, il seno è la coordinata y.
Entrambe le funzioni hanno dominio ℝ e codominio . Da qui deriva la prima relazione fondamentale: (cos α)² + (sen α)² = 1, che è semplicemente il teorema di Pitagora applicato alla circonferenza.
Il seno è una funzione dispari , simmetrica rispetto all'origine. Il coseno è una funzione pari , simmetrica rispetto all'asse y.
Trucco: Visualizza sempre il punto che si muove sulla circonferenza - le coordinate ti danno direttamente coseno e seno!
La tangente non si calcola sulla circonferenza, ma sulla retta verticale tangente nel punto (1,0). Geometricamente, tg α è l'ordinata del punto dove il prolungamento del raggio interseca questa retta tangente.
Dalla similitudine dei triangoli otteniamo la seconda relazione fondamentale: tg α = sen α / cos α. Questo significa che la tangente non esiste quando cos α = 0, cioè per π/2, 3π/2, ecc.
La tangente è periodica di periodo π (non 2π come seno e coseno) ed è una funzione dispari. I suoi valori tipici: tg 0° = 0, tg 90° = ∞, tg 180° = 0.
Attenzione: La tangente "esplode" quando il coseno vale zero - ricordalo sempre quando risolvi equazioni!
La cotangente è l'inversa della tangente: cotg α = cos α / sen α = 1/tg α. Geometricamente, si trova sulla retta orizzontale tangente nel punto (0,1).
Le funzioni reciproche completano il quadro: secante sec α = 1/cos α e cosecante csc α = 1/sen α. Anche queste si dimostrano con la similitudine dei triangoli.
La cotangente ha periodo π, è dispari e ha valori tipici: cotg 0° = ∞, cotg 90° = 0, cotg 180° = ∞. Il suo grafico è l'inverso di quello della tangente.
Nota bene: Cotangente, secante e cosecante non esistono quando i rispettivi denominatori si annullano!
Per l'angolo di 30°, costruisci un triangolo equilatero con vertici sulla circonferenza goniometrica. Il triangolo ha tutti i lati uguali a 1 (il raggio), e questo ti permette di calcolare tutto.
Dal triangolo equilatero ottieni: sen 30° = 1/2 e cos 30° = √3/2. Applicando le formule delle tangenti: tg 30° = √3/3 e cotg 30° = √3.
I numeri ricorrenti per 30° e i suoi multipli sono sempre 1/2, √3/2, √3/3 e √3. Imparali a memoria perché li userai continuamente.
Strategia: Visualizza sempre il triangolo equilatero - è la chiave per ricordare tutti i valori di 30° e 60°!
Per 60° usi lo stesso triangolo equilatero di 30°, ma cambi prospettiva: sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, cotg 60° = √3/3.
Per l'angolo di 45°, il triangolo diventa isoscele rettangolo con ipotenusa √2. Questo ti dà valori simmetrici: sen 45° = cos 45° = √2/2, mentre tg 45° = cotg 45° = 1.
I numeri ricorrenti per 45° sono √2/2 e 1. Nota che a 45° seno e coseno sono uguali, così come tangente e cotangente.
Trucco mnemonico: A 45° tutto è "equilibrato" - seno uguale a coseno, tangente uguale a cotangente!
Gli angoli associati ti permettono di calcolare le funzioni di qualsiasi angolo conoscendo quelle del primo quadrante. Sono formule che derivano dalla simmetria della circonferenza goniometrica.
Per -α: sen(-α) = -sen α, cos(-α) = cos α, tg(-α) = -tg α. Per π-α: sen(π-α) = sen α, cos(π-α) = -cos α, tg(π-α) = -tg α.
Per π+α: sen(π+α) = -sen α, cos(π+α) = -cos α, tg(π+α) = tg α. Nota come i segni cambiano in modo sistematico a seconda del quadrante.
Metodo: Disegna sempre la circonferenza e marca i punti - vedrai subito quali coordinate cambiano segno!
Per gli angoli π/2 ± α, accade qualcosa di speciale: le funzioni si "scambiano". Per π/2 - α: sen(π/2 - α) = cos α, cos(π/2 - α) = sen α, tg(π/2 - α) = cotg α.
Per π/2 + α: sen(π/2 + α) = cos α, cos(π/2 + α) = -sen α, tg(π/2 + α) = -cotg α. Lo scambio avviene sempre, ma attenzione ai segni.
Questa proprietà è fondamentale: significa che sen 30° = cos 60°, sen 45° = cos 45°, ecc. È la ragione per cui questi angoli sono detti "complementari".
Insight: Gli angoli complementari (che sommano a 90°) hanno seno e coseno scambiati - molto utile per verifiche veloci!
Per 3π/2 ± α, continuano gli scambi ma con segni diversi. Per 3π/2 - α: sen(3π/2 - α) = -cos α, cos(3π/2 - α) = -sen α, tg(3π/2 - α) = cotg α.
Per 3π/2 + α: sen(3π/2 + α) = -cos α, cos(3π/2 + α) = sen α, tg(3π/2 + α) = -cotg α.
Infine, per 2π - α: sen(2π - α) = -sen α, cos(2π - α) = cos α, tg(2π - α) = -tg α. Questo è simile a -α perché 2π rappresenta un giro completo.
Pattern: Nota che le formule seguono la logica dei quadranti - impara a riconoscere i pattern invece di memorizzare tutto!
Le funzioni inverse ti permettono di trovare l'angolo quando conosci il valore della funzione trigonometrica. Per renderle biunivoche, si restringe il loro dominio a intervalli specifici.
Arcoseno: dominio , codominio . Arcocoseno: dominio , codominio . Arcotangente: dominio ℝ, codominio (-π/2, π/2). Arcocotangente: dominio ℝ, codominio (0, π).
Esempi pratici: arcsen(1) = π/2, arccos(-1) = π, arctan(1) = π/4. Le funzioni inverse sono simmetriche rispetto alla bisettrice y = x dei loro grafici originali.
Applicazione: Le funzioni inverse sono essenziali per risolvere equazioni trigonometriche - padroneggia i loro domini!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
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La goniometria è lo studio degli angoli e delle funzioni trigonometriche - un argomento che sembra complicato ma che in realtà segue logiche precise e schemi ricorrenti. Imparerai a misurare gli angoli in radianti, a usare le funzioni seno, coseno... Mostra di più
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Invece di usare sempre i gradi, in matematica misuriamo gli angoli in radianti - un sistema più elegante dove 180° = π radianti. Un radiante è semplicemente l'angolo che crea un arco lungo quanto il raggio della circonferenza.
Le conversioni fondamentali sono: 360° = 2π, 180° = π, 90° = π/2, 45° = π/4. Per convertire usi le formule α rad = (π·α°)/180° oppure α° = α rad · 180°/π.
Gli angoli orientati hanno un verso: positivi se vanno in senso antiorario, negativi se vanno in senso orario. Questa distinzione è cruciale per capire le funzioni goniometriche.
Ricorda: Il radiante è l'unità ufficiale nel sistema internazionale - impara a pensare in radianti per semplificarti la vita!
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La circonferenza goniometrica ha raggio 1 e centro nell'origine, con equazione x² + y² = 1. Qui nascono le funzioni trigonometriche: il coseno è la coordinata x del punto, il seno è la coordinata y.
Entrambe le funzioni hanno dominio ℝ e codominio . Da qui deriva la prima relazione fondamentale: (cos α)² + (sen α)² = 1, che è semplicemente il teorema di Pitagora applicato alla circonferenza.
Il seno è una funzione dispari , simmetrica rispetto all'origine. Il coseno è una funzione pari , simmetrica rispetto all'asse y.
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La tangente non si calcola sulla circonferenza, ma sulla retta verticale tangente nel punto (1,0). Geometricamente, tg α è l'ordinata del punto dove il prolungamento del raggio interseca questa retta tangente.
Dalla similitudine dei triangoli otteniamo la seconda relazione fondamentale: tg α = sen α / cos α. Questo significa che la tangente non esiste quando cos α = 0, cioè per π/2, 3π/2, ecc.
La tangente è periodica di periodo π (non 2π come seno e coseno) ed è una funzione dispari. I suoi valori tipici: tg 0° = 0, tg 90° = ∞, tg 180° = 0.
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Le funzioni reciproche completano il quadro: secante sec α = 1/cos α e cosecante csc α = 1/sen α. Anche queste si dimostrano con la similitudine dei triangoli.
La cotangente ha periodo π, è dispari e ha valori tipici: cotg 0° = ∞, cotg 90° = 0, cotg 180° = ∞. Il suo grafico è l'inverso di quello della tangente.
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Dal triangolo equilatero ottieni: sen 30° = 1/2 e cos 30° = √3/2. Applicando le formule delle tangenti: tg 30° = √3/3 e cotg 30° = √3.
I numeri ricorrenti per 30° e i suoi multipli sono sempre 1/2, √3/2, √3/3 e √3. Imparali a memoria perché li userai continuamente.
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Per l'angolo di 45°, il triangolo diventa isoscele rettangolo con ipotenusa √2. Questo ti dà valori simmetrici: sen 45° = cos 45° = √2/2, mentre tg 45° = cotg 45° = 1.
I numeri ricorrenti per 45° sono √2/2 e 1. Nota che a 45° seno e coseno sono uguali, così come tangente e cotangente.
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Per -α: sen(-α) = -sen α, cos(-α) = cos α, tg(-α) = -tg α. Per π-α: sen(π-α) = sen α, cos(π-α) = -cos α, tg(π-α) = -tg α.
Per π+α: sen(π+α) = -sen α, cos(π+α) = -cos α, tg(π+α) = tg α. Nota come i segni cambiano in modo sistematico a seconda del quadrante.
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Per π/2 + α: sen(π/2 + α) = cos α, cos(π/2 + α) = -sen α, tg(π/2 + α) = -cotg α. Lo scambio avviene sempre, ma attenzione ai segni.
Questa proprietà è fondamentale: significa che sen 30° = cos 60°, sen 45° = cos 45°, ecc. È la ragione per cui questi angoli sono detti "complementari".
Insight: Gli angoli complementari (che sommano a 90°) hanno seno e coseno scambiati - molto utile per verifiche veloci!
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Per 3π/2 ± α, continuano gli scambi ma con segni diversi. Per 3π/2 - α: sen(3π/2 - α) = -cos α, cos(3π/2 - α) = -sen α, tg(3π/2 - α) = cotg α.
Per 3π/2 + α: sen(3π/2 + α) = -cos α, cos(3π/2 + α) = sen α, tg(3π/2 + α) = -cotg α.
Infine, per 2π - α: sen(2π - α) = -sen α, cos(2π - α) = cos α, tg(2π - α) = -tg α. Questo è simile a -α perché 2π rappresenta un giro completo.
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Esempi pratici: arcsen(1) = π/2, arccos(-1) = π, arctan(1) = π/4. Le funzioni inverse sono simmetriche rispetto alla bisettrice y = x dei loro grafici originali.
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È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
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Goniometria angoli associati (angoli opposti, angoli supplementari, angoli complementari, angoli la cui somma fa 270°, angoli esplementari, angoli che differiscono di π, angoli che differiscono di π/2 e angoli che differiscono di 3/2π)
Matematicatrovare il periodo di una funzione goniometrica
MatematicaGoniometria
MatematicaFormule goniometriche + equazioni particolari + formule trigonometria basi
Matematicariassunto esaustivo che comprende tutte le tecniche del calcolo combinatorio, voto ottenuto: 9/9.5
MatematicaTutto quello che devi sapere si trova nel documento
MatematicaApp Store
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Stefano S
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Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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Anastasia
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Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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