Goniometria: Formule, Equazioni e Valori Angolari

115

Raissa🌻

19/11/2025

Matematica

Goniometria: Equazioni, Disequazioni e formule

Matematica

Proprietà e Classificazione dei Triangoli

equazioni trigonometriche

4515

•

19 nov 2025

•

19 pagine

Goniometria: Formule, Equazioni e Valori Angolari

Raissa🌻

@raissa.notes

La goniometria è lo studio degli angoli e delle funzioni... Mostra di più

1 / 10

goniometria
O
x
360° 211
π
180°
90° 1
45°1
α
५
to
P
Angoli Orientati
d
A
4
2
ad
La lunghetta in cadiauti di m aveco corrispondente
un angolo

Radianti e Angoli Orientati

Invece di usare sempre i gradi, in matematica misuriamo gli angoli in radianti - un sistema più elegante dove 180° = π radianti. Un radiante è semplicemente l'angolo che crea un arco lungo quanto il raggio della circonferenza.

Le conversioni fondamentali sono: 360° = 2π, 180° = π, 90° = π/2, 45° = π/4. Per convertire usi le formule α rad = (π·α°)/180° oppure α° = α rad · 180°/π.

Gli angoli orientati hanno un verso: positivi se vanno in senso antiorario, negativi se vanno in senso orario. Questa distinzione è cruciale per capire le funzioni goniometriche.

Ricorda: Il radiante è l'unità ufficiale nel sistema internazionale - impara a pensare in radianti per semplificarti la vita!

Seno e Coseno sulla Circonferenza Goniometrica

La circonferenza goniometrica ha raggio 1 e centro nell'origine, con equazione x² + y² = 1. Qui nascono le funzioni trigonometriche: il coseno è la coordinata x del punto, il seno è la coordinata y.

Entrambe le funzioni hanno dominio ℝ e codominio $-1,1$ . Da qui deriva la prima relazione fondamentale: (cos α)² + (sen α)² = 1, che è semplicemente il teorema di Pitagora applicato alla circonferenza.

Il seno è una funzione dispari $sen(-x) = -sen(x)$ , simmetrica rispetto all'origine. Il coseno è una funzione pari $cos(-x) = cos(x)$ , simmetrica rispetto all'asse y.

Trucco: Visualizza sempre il punto che si muove sulla circonferenza - le coordinate ti danno direttamente coseno e seno!

La Funzione Tangente

La tangente non si calcola sulla circonferenza, ma sulla retta verticale tangente nel punto (1,0). Geometricamente, tg α è l'ordinata del punto dove il prolungamento del raggio interseca questa retta tangente.

Dalla similitudine dei triangoli otteniamo la seconda relazione fondamentale: tg α = sen α / cos α. Questo significa che la tangente non esiste quando cos α = 0, cioè per π/2, 3π/2, ecc.

La tangente è periodica di periodo π (non 2π come seno e coseno) ed è una funzione dispari. I suoi valori tipici: tg 0° = 0, tg 90° = ∞, tg 180° = 0.

Attenzione: La tangente "esplode" quando il coseno vale zero - ricordalo sempre quando risolvi equazioni!

Cotangente, Secante e Cosecante

La cotangente è l'inversa della tangente: cotg α = cos α / sen α = 1/tg α. Geometricamente, si trova sulla retta orizzontale tangente nel punto (0,1).

Le funzioni reciproche completano il quadro: secante sec α = 1/cos α e cosecante csc α = 1/sen α. Anche queste si dimostrano con la similitudine dei triangoli.

La cotangente ha periodo π, è dispari e ha valori tipici: cotg 0° = ∞, cotg 90° = 0, cotg 180° = ∞. Il suo grafico è l'inverso di quello della tangente.

Nota bene: Cotangente, secante e cosecante non esistono quando i rispettivi denominatori si annullano!

Angoli di 30° (π/6)

Per l'angolo di 30°, costruisci un triangolo equilatero con vertici sulla circonferenza goniometrica. Il triangolo ha tutti i lati uguali a 1 (il raggio), e questo ti permette di calcolare tutto.

Dal triangolo equilatero ottieni: sen 30° = 1/2 e cos 30° = √3/2. Applicando le formule delle tangenti: tg 30° = √3/3 e cotg 30° = √3.

I numeri ricorrenti per 30° e i suoi multipli sono sempre 1/2, √3/2, √3/3 e √3. Imparali a memoria perché li userai continuamente.

Strategia: Visualizza sempre il triangolo equilatero - è la chiave per ricordare tutti i valori di 30° e 60°!

Angoli di 60° (π/3) e 45° (π/4)

Per 60° usi lo stesso triangolo equilatero di 30°, ma cambi prospettiva: sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, cotg 60° = √3/3.

Per l'angolo di 45°, il triangolo diventa isoscele rettangolo con ipotenusa √2. Questo ti dà valori simmetrici: sen 45° = cos 45° = √2/2, mentre tg 45° = cotg 45° = 1.

I numeri ricorrenti per 45° sono √2/2 e 1. Nota che a 45° seno e coseno sono uguali, così come tangente e cotangente.

Trucco mnemonico: A 45° tutto è "equilibrato" - seno uguale a coseno, tangente uguale a cotangente!

Angoli Associati - Parte 1

Gli angoli associati ti permettono di calcolare le funzioni di qualsiasi angolo conoscendo quelle del primo quadrante. Sono formule che derivano dalla simmetria della circonferenza goniometrica.

Per -α: sen(-α) = -sen α, cos(-α) = cos α, tg(-α) = -tg α. Per π-α: sen(π-α) = sen α, cos(π-α) = -cos α, tg(π-α) = -tg α.

Per π+α: sen(π+α) = -sen α, cos(π+α) = -cos α, tg(π+α) = tg α. Nota come i segni cambiano in modo sistematico a seconda del quadrante.

Metodo: Disegna sempre la circonferenza e marca i punti - vedrai subito quali coordinate cambiano segno!

Angoli Associati - Parte 2

Per gli angoli π/2 ± α, accade qualcosa di speciale: le funzioni si "scambiano". Per π/2 - α: sen(π/2 - α) = cos α, cos(π/2 - α) = sen α, tg(π/2 - α) = cotg α.

Per π/2 + α: sen(π/2 + α) = cos α, cos(π/2 + α) = -sen α, tg(π/2 + α) = -cotg α. Lo scambio avviene sempre, ma attenzione ai segni.

Questa proprietà è fondamentale: significa che sen 30° = cos 60°, sen 45° = cos 45°, ecc. È la ragione per cui questi angoli sono detti "complementari".

Insight: Gli angoli complementari (che sommano a 90°) hanno seno e coseno scambiati - molto utile per verifiche veloci!

Angoli Associati - Parte 3

Per 3π/2 ± α, continuano gli scambi ma con segni diversi. Per 3π/2 - α: sen(3π/2 - α) = -cos α, cos(3π/2 - α) = -sen α, tg(3π/2 - α) = cotg α.

Per 3π/2 + α: sen(3π/2 + α) = -cos α, cos(3π/2 + α) = sen α, tg(3π/2 + α) = -cotg α.

Infine, per 2π - α: sen(2π - α) = -sen α, cos(2π - α) = cos α, tg(2π - α) = -tg α. Questo è simile a -α perché 2π rappresenta un giro completo.

Pattern: Nota che le formule seguono la logica dei quadranti - impara a riconoscere i pattern invece di memorizzare tutto!

Funzioni Goniometriche Inverse

Le funzioni inverse ti permettono di trovare l'angolo quando conosci il valore della funzione trigonometrica. Per renderle biunivoche, si restringe il loro dominio a intervalli specifici.

Arcoseno: dominio $-1,1$ , codominio $-π/2, π/2$ . Arcocoseno: dominio $-1,1$ , codominio $0, π$ . Arcotangente: dominio ℝ, codominio (-π/2, π/2). Arcocotangente: dominio ℝ, codominio (0, π).

Esempi pratici: arcsen(1) = π/2, arccos(-1) = π, arctan(1) = π/4. Le funzioni inverse sono simmetriche rispetto alla bisettrice y = x dei loro grafici originali.

Applicazione: Le funzioni inverse sono essenziali per risolvere equazioni trigonometriche - padroneggia i loro domini!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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Raissa🌻

@raissa.notes

La goniometria è lo studio degli angoli e delle funzioni trigonometriche - un argomento che sembra complicato ma che in realtà segue logiche precise e schemi ricorrenti. Imparerai a misurare gli angoli in radianti, a usare le funzioni seno, coseno... Mostra di più

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Radianti e Angoli Orientati

Le conversioni fondamentali sono: 360° = 2π, 180° = π, 90° = π/2, 45° = π/4. Per convertire usi le formule α rad = (π·α°)/180° oppure α° = α rad · 180°/π.

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Seno e Coseno sulla Circonferenza Goniometrica

Il seno è una funzione dispari $sen(-x) = -sen(x)$ , simmetrica rispetto all'origine. Il coseno è una funzione pari $cos(-x) = cos(x)$ , simmetrica rispetto all'asse y.

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La Funzione Tangente

Dalla similitudine dei triangoli otteniamo la seconda relazione fondamentale: tg α = sen α / cos α. Questo significa che la tangente non esiste quando cos α = 0, cioè per π/2, 3π/2, ecc.

La tangente è periodica di periodo π (non 2π come seno e coseno) ed è una funzione dispari. I suoi valori tipici: tg 0° = 0, tg 90° = ∞, tg 180° = 0.

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Cotangente, Secante e Cosecante

La cotangente è l'inversa della tangente: cotg α = cos α / sen α = 1/tg α. Geometricamente, si trova sulla retta orizzontale tangente nel punto (0,1).

Le funzioni reciproche completano il quadro: secante sec α = 1/cos α e cosecante csc α = 1/sen α. Anche queste si dimostrano con la similitudine dei triangoli.

La cotangente ha periodo π, è dispari e ha valori tipici: cotg 0° = ∞, cotg 90° = 0, cotg 180° = ∞. Il suo grafico è l'inverso di quello della tangente.

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Angoli di 30° (π/6)

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I numeri ricorrenti per 30° e i suoi multipli sono sempre 1/2, √3/2, √3/3 e √3. Imparali a memoria perché li userai continuamente.

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Angoli di 60° (π/3) e 45° (π/4)

Per 60° usi lo stesso triangolo equilatero di 30°, ma cambi prospettiva: sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, cotg 60° = √3/3.

Per l'angolo di 45°, il triangolo diventa isoscele rettangolo con ipotenusa √2. Questo ti dà valori simmetrici: sen 45° = cos 45° = √2/2, mentre tg 45° = cotg 45° = 1.

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Angoli Associati - Parte 1

Gli angoli associati ti permettono di calcolare le funzioni di qualsiasi angolo conoscendo quelle del primo quadrante. Sono formule che derivano dalla simmetria della circonferenza goniometrica.

Per -α: sen(-α) = -sen α, cos(-α) = cos α, tg(-α) = -tg α. Per π-α: sen(π-α) = sen α, cos(π-α) = -cos α, tg(π-α) = -tg α.

Per π+α: sen(π+α) = -sen α, cos(π+α) = -cos α, tg(π+α) = tg α. Nota come i segni cambiano in modo sistematico a seconda del quadrante.

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Angoli Associati - Parte 2

Per gli angoli π/2 ± α, accade qualcosa di speciale: le funzioni si "scambiano". Per π/2 - α: sen(π/2 - α) = cos α, cos(π/2 - α) = sen α, tg(π/2 - α) = cotg α.

Per π/2 + α: sen(π/2 + α) = cos α, cos(π/2 + α) = -sen α, tg(π/2 + α) = -cotg α. Lo scambio avviene sempre, ma attenzione ai segni.

Questa proprietà è fondamentale: significa che sen 30° = cos 60°, sen 45° = cos 45°, ecc. È la ragione per cui questi angoli sono detti "complementari".

Insight: Gli angoli complementari (che sommano a 90°) hanno seno e coseno scambiati - molto utile per verifiche veloci!

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Per 3π/2 ± α, continuano gli scambi ma con segni diversi. Per 3π/2 - α: sen(3π/2 - α) = -cos α, cos(3π/2 - α) = -sen α, tg(3π/2 - α) = cotg α.

Per 3π/2 + α: sen(3π/2 + α) = -cos α, cos(3π/2 + α) = sen α, tg(3π/2 + α) = -cotg α.

Infine, per 2π - α: sen(2π - α) = -sen α, cos(2π - α) = cos α, tg(2π - α) = -tg α. Questo è simile a -α perché 2π rappresenta un giro completo.

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Funzioni Goniometriche Inverse

Le funzioni inverse ti permettono di trovare l'angolo quando conosci il valore della funzione trigonometrica. Per renderle biunivoche, si restringe il loro dominio a intervalli specifici.

Esempi pratici: arcsen(1) = π/2, arccos(-1) = π, arctan(1) = π/4. Le funzioni inverse sono simmetriche rispetto alla bisettrice y = x dei loro grafici originali.

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Anna

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