La Circonferenza Goniometrica e le Funzioni Base

La circonferenza goniometrica ha raggio 1 e segue l'equazione x² + y² = 1. È il punto di partenza per capire tutte le funzioni trigonometriche!

Gli angoli si misurano in gradi (360° per un giro completo) o radianti (2π per un giro). Il radiante è l'angolo che sottende un arco lungo quanto il raggio. Ricorda le conversioni principali: 180° = π, 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6.

Seno e coseno sono le coordinate del punto sulla circonferenza: cos α è la coordinata x, sin α è la coordinata y. Nei quattro quadranti i segni cambiano: I quadrante entrambi positivi, II sin+ cos-, III entrambi negativi, IV sin- cos+.

La formula fondamentale cos²x + sin²x = 1 deriva dall'equazione della circonferenza. I grafici di sinusoide e cosinusoide mostrano l'andamento periodico di queste funzioni.

💡 Trucco: Memorizza che nel primo quadrante tutto è positivo, poi procedendo in senso antiorario solo una funzione alla volta diventa negativa!

Tangente, Cotangente e Funzioni Reciproche

La tangente è il rapporto tan α = sin α / cos α, ma non esiste quando cos α = 0 $cioè per α ≠ π/2 + kπ$. La cotangente è l'inverso: cot α = cos α / sin α, non esiste quando sin α = 0.

Secante e cosecante sono i reciproci: sec α = 1/cos α e csc α = 1/sin α, con le stesse condizioni di esistenza delle funzioni originali.

Per gli angoli notevoli (30°, 45°, 60°) devi memorizzare i valori: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3. Per 45°: sin = cos = √2/2, tan = 1. Per 60° i valori di seno e coseno si scambiano rispetto a 30°.

Gli angoli opposti (-α, α) hanno proprietà speciali: cos(-α) = cos α (funzione pari), sin(-α) = -sin α (funzione dispari). Puoi anche esprimere seno e coseno tramite la tangente usando le formule parametriche.

💡 Trucco: Per ricordare i valori di 30°, 45°, 60°, pensa alla sequenza 1, 2, 3 sotto radice diviso 2 per il seno!

Angoli Associati - Le Relazioni Fondamentali

Gli angoli associati ti permettono di calcolare funzioni trigonometriche di qualsiasi angolo partendo da quelli del primo quadrante. È come avere una mappa per navigare tutta la circonferenza!

Per angoli supplementari (π - α): il seno resta uguale, coseno e tangente cambiano segno. Per angoli che differiscono di π (π + α): seno e coseno cambiano segno, tangente e cotangente restano uguali.

Gli angoli esplementari (2π - α) si comportano come gli opposti: coseno uguale, seno cambia segno. Gli angoli complementari (π/2 - α) hanno una particolarità: seno diventa coseno e viceversa!

Quando aggiungi o sottrai π/2, le funzioni si "trasformano": cos(α ± π/2) = ∓sin α, sin(α ± π/2) = ±cos α. Il segno dipende dall'operazione e dalla funzione.

💡 Ricorda: Gli angoli complementari "si completano" - quello che è seno per uno diventa coseno per l'altro!

Formule di Addizione - Combinare gli Angoli

Le formule di addizione sono il cuore della goniometria avanzata. Ti permettono di calcolare sin, cos e tan di somme e differenze di angoli.

La formula base è cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β. Da questa derivano tutte le altre! Per la somma: cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β (cambia solo il segno).

Per il seno: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β e sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β. Il seno "mescola" le funzioni, il coseno le tiene separate.

Le formule della tangente sono più complesse: tan(α + β) = $tan α + tan β$/$1 - tan α tan β$. Attenzione al denominatore che può annullarsi!

Queste formule si dimostrano geometricamente usando la distanza tra punti sulla circonferenza goniometrica.

💡 Trucco: Per ricordare i segni, pensa che la somma "disturba" meno il coseno $solo un segno -$ e di più il seno e la tangente!

Formule di Duplicazione e Bisezione

Le formule di duplicazione calcolano le funzioni di 2α partendo da quelle di α. Sono casi speciali delle formule di addizione quando β = α.

cos 2α ha tre forme equivalenti: cos²α - sin²α, oppure 2cos²α - 1, oppure 1 - 2sin²α. sin 2α = 2 sin α cos α (più semplice da ricordare). tan 2α = 2tan α/$1 - tan²α$.

Le formule di bisezione fanno l'opposto: partendo da α calcolano le funzioni di α/2. Sono fondamentali: cos(α/2) = ±√$(1 + cos α)/2$ e sin(α/2) = ±√$(1 - cos α)/2$.

Il segno dipende dal quadrante in cui cade α/2. Per la tangente esistono due forme utili: tan(α/2) = $1 - cos α$/sin α = sin α/$1 + cos α$.

Le formule parametriche esprimono tutte le funzioni in termini di tan(α/2), ma hanno limitazioni quando α/2 = π/2 + kπ.

💡 Attenzione: Nelle formule di bisezione, il segno ± va scelto in base al quadrante, non è arbitrario!

Formule di Prostaferesi e Werner

Le formule di Prostaferesi trasformano somme in prodotti - utili per semplificare calcoli complessi. La più importante: sin α + sin β = 2 sin$(α+β)/2$ cos$(α-β)/2$.

Per le differenze: sin α - sin β = 2 cos$(α+β)/2$ sin$(α-β)/2$. Il coseno si comporta similmente ma con un segno negativo nella sottrazione: cos α - cos β = -2 sin$(α+β)/2$ sin$(α-β)/2$.

Le formule di Werner fanno l'operazione inversa: trasformano prodotti in somme. sin α cos β = 1/2$sin(α+β) + sin(α-β)$, cos α cos β = 1/2$cos(α+β) + cos(α-β)$.

Per il prodotto di due seni: sin α sin β = 1/2$cos(α-β) - cos(α+β)$. Nota il segno negativo!

Queste formule sono preziose per risolvere equazioni trigonometriche complesse e per l'analisi matematica.

💡 Memoria: Prostaferesi = da somma a prodotto, Werner = da prodotto a somma. Pensa a "prodotto Werner" per ricordare!

Equazioni Trigonometriche Elementari

Le equazioni elementari hanno la forma cos x = k, sin x = k, o tan x = k. Sono la base per risolvere problemi più complessi.

Per cos x = k $con -1 ≤ k ≤ 1$: le soluzioni sono x = ±arccos k + 2kπ. Casi speciali: cos x = 0 dà x = π/2 + kπ, cos x = -1 dà x = π + 2kπ.

Per sin x = k: se conosci un angolo α tale che sin α = k, le soluzioni sono x = α + 2kπ e x = (π - α) + 2kπ. Il seno ha due soluzioni per periodo perché è simmetrico rispetto a π/2.

La tangente ha periodo π (non 2π!): tan x = k dà x = arctan k + kπ. È più semplice perché ha una sola famiglia di soluzioni per periodo.

Le equazioni più complesse si risolvono con sostituzioni, prostaferesi, o riducendole a elementari.

💡 Ricorda: La tangente ha periodo π, seno e coseno hanno periodo 2π. Questo influenza il numero di soluzioni!

Equazioni Lineari e Tecniche Avanzate

Le equazioni lineari hanno la forma a sin x + b cos x + c = 0. Contengono sia seno che coseno al primo grado.

Il metodo delle formule parametriche sostituisce sin x e cos x con espressioni in tan$x/2$. Poni t = tan$x/2$, allora sin x = 2t/$1+t²$ e cos x = $1-t²$/$1+t²$. L'equazione diventa algebrica in t.

Esempio: sin x + cos x - 1 = 0 diventa 2t/$1+t²$ + $1-t²$/$1+t²$ - 1 = 0. Semplificando: 2t + 1 - t² - 1 - t² = 0, quindi t$1-t$ = 0.

Le soluzioni t = 0 e t = 1 danno rispettivamente x = 2kπ e x = π/2 + 2kπ.

Attenzione alle condizioni di esistenza: questo metodo non vale quando x = π + 2kπ $dove tan(x/2) non esiste$.

💡 Strategia: Le formule parametriche trasformano la trigonometria in algebra, ma controllate sempre le condizioni di esistenza!

Equazioni Omogenee

Le equazioni omogenee hanno tutti i termini dello stesso grado rispetto a sin x e cos x. Sono tra le più eleganti da risolvere!

Omogenee di I grado: a sin x + b cos x = 0. Dividi per cos x (se cos x ≠ 0): a tan x + b = 0, quindi tan x = -a/b. Se cos x = 0, verifica se è soluzione sostituendola nell'equazione originale.

Omogenee di II grado: a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0. Dividi per cos²x: a tan²x + b tan x + c = 0. È un'equazione di secondo grado in tan x!

Le equazioni riconducibili a omogenee si ottengono sostituendo sin²x + cos²x = 1 e raccogliendo a fattor comune. Esempio: se hai sin²x - sin x cos x = sin x$sin x - cos x$ = 0.

Ricorda: quando dividi per cos x, devi verificare che cos x = 0 non sia soluzione dell'equazione originale.

💡 Trucco: Nelle omogenee, trasformi sempre tutto in tangenti dividendo per la potenza più alta del coseno!

Strategie per Equazioni Complesse

Quando l'equazione non è direttamente riconducibile ai tipi standard, usa queste strategie vincenti.

Se hai solo sin²x e cos²x, sostituisci una delle due con la formula fondamentale. Se hai sin²x + 3cos²x = 2, sostituisci cos²x = 1 - sin²x.

Per equazioni con termini misti come sin x cos x, prova a mettere in evidenza sin x o cos x, oppure usa le formule di duplicazione $sin 2x = 2 sin x cos x$.

Le equazioni con radici spesso si risolvono elevando al quadrato, ma attento alle soluzioni spurie! Verifica sempre le soluzioni nell'equazione originale.

Se hai funzioni di angoli diversi (come sin 3x e cos 2x), usa le formule di prostaferesi per trasformare somme in prodotti, poi risolvi i singoli fattori.

La verifica finale è cruciale: sostituisci sempre le soluzioni trovate nell'equazione originale per escludere quelle spurie.

💡 Regola d'oro: Ogni volta che elevi al quadrato o dividi per un'espressione, potresti introdurre o perdere soluzioni. Verifica sempre!