Introduzione alla Geometria Analitica: Concetti Fondamentali

Raissa🌻

26/11/2025

Matematica

Geometria Analitica

Materie

Matematica

Geometria

Mutue posizioni tra rette e piani

1404

•

26 nov 2025

•

28 pagine

Introduzione alla Geometria Analitica: Concetti Fondamentali

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Raissa🌻

@raissa.notes

La geometria analitica ti permette di studiare punti, rette e... Mostra di più

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# geometria analitica

@ PUNTI E SEGMENTI

Vel sistema cartesiaus:
* asse delle x = ascisse
* asse delle y = ordimate
Si intersecaus

Punti e Segmenti nel Piano Cartesiano

Il sistema cartesiano è formato da due assi che si incrociano nell'origine: l'asse delle x (ascisse) orizzontale e l'asse delle y (ordinate) verticale. Ogni punto P ha le sue coordinate (xP, yP) che sono come il suo indirizzo nel piano.

Per calcolare la distanza tra due punti, usi formule diverse a seconda della situazione. Se i punti hanno la stessa y, la distanza è |xB - xA|. Se hanno la stessa x, è |yB - yA|.

Quando i punti sono in posizioni generiche, applichi il teorema di Pitagora: d(AB) = √ $(xB - xA)² + (yB - yA)²$ . Questa è la formula più importante da ricordare!

Tip: La distanza dall'origine è sempre d(OP) = √ $x² + y²$

Punto Medio e Baricentro

Il punto medio di un segmento AB ha coordinate semplicissime da calcolare: xM = $xA + xB$ /2 e yM = $yA + yB$ /2. Praticamente fai la media delle coordinate!

Il baricentro di un triangolo funziona allo stesso modo, ma con tre punti: xG = $xA + xB + xC$ /3 e yG = $yA + yB + yC$ /3. È il punto dove si incontrano le mediane del triangolo.

Una proprietà interessante: il baricentro divide ogni mediana in rapporto 2:1, dove la parte più lunga va dal vertice al baricentro.

Ricorda: Per il punto medio dividi per 2, per il baricentro dividi per 3!

Equazioni delle Rette

L'equazione di una retta ha la forma y = mx + q, dove m è il coefficiente angolare (indica la pendenza) e q è l'intercetta (dove la retta tocca l'asse y).

Il coefficiente angolare tra due punti si calcola con m = $yB - yA$ / $xB - xA$ = Δy/Δx. È semplicemente quanto sale (o scende) la retta per ogni unità che ti sposti orizzontalmente.

Le rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare $m₁ = m₂$ , mentre le rette perpendicolari hanno coefficienti antireciproci $m₁ = -1/m₂$ . Per esempio, se una retta ha m = 2/3, quella perpendicolare avrà m = -3/2.

Trucco: Se una retta sale verso destra, m è positivo; se scende, m è negativo!

Determinare l'Equazione di una Retta

Quando conosci un punto P₁ e il coefficiente angolare m, usi la formula: y - y₁ = m $x - x₁$ . È come dire "parti dal punto dato e aggiungi la pendenza".

Se hai due punti A e B, prima calcoli m = $yB - yA$ / $xB - xA$ , poi usi la formula precedente con uno dei due punti. Oppure usi direttamente: y - yA = $(yB - yA)/(xB - xA)$ $x - xA$ .

Per passare dalla forma implicita $ax + by + c = 0$ a quella esplicita, ricorda che m = -a/b e q = -c/b. Così puoi sempre trovare pendenza e intercetta!

Strategia: Parti sempre da quello che conosci e applica la formula giusta!

Posizione Reciproca di Due Rette

Due rette possono essere parallele, incidenti (che si intersecano) o coincidenti (la stessa retta). Per capire la loro relazione, confronta i coefficienti angolari e risolvi il sistema.

Se le rette sono parallele e distinte, il sistema è impossibile (nessuna soluzione). Se sono coincidenti, il sistema è indeterminato (infinite soluzioni). Se sono incidenti, hai una soluzione unica.

Un esempio pratico: confrontando due piattaforme streaming con tariffe diverse, trovi il punto di intersezione dove costano uguale. Prima di quel punto conviene una, dopo conviene l'altra!

Metodo: Metti le equazioni a sistema e vedi cosa succede!

Distanza di un Punto da una Retta

La formula della distanza punto-retta è: d(P,r) = |ax₀ + by₀ + c|/√ $a² + b²$ , dove P(x₀,y₀) è il punto e ax + by + c = 0 è la retta.

Questa formula è fondamentale per calcolare le altezze dei triangoli. L'altezza è proprio la distanza perpendicolare da un vertice al lato opposto.

Per trovare l'area di un triangolo, usi A = (base × altezza)/2. Prima trovi l'equazione della retta che contiene la base, poi calcoli la distanza del terzo vertice da questa retta.

Applicazione: Ogni volta che senti "altezza" in geometria analitica, pensa "distanza punto-retta"!

Calcolo dell'Area dei Triangoli

Per calcolare l'area di un triangolo con le coordinate, segui questi passaggi: trova l'equazione della retta che contiene la base, calcola la distanza del terzo vertice da questa retta (che è l'altezza), e applica la formula A = (base × altezza)/2.

La lunghezza della base si calcola con la formula della distanza tra due punti: √ $(xB - xA)² + (yB - yA)²$ . L'altezza è la distanza punto-retta che hai appena calcolato.

Moltiplicando base per altezza e dividendo per 2, ottieni l'area. È lo stesso principio della geometria tradizionale, ma usando le coordinate!

Procedura: Base con distanza tra punti, altezza con distanza punto-retta, poi moltiplica e dividi per 2!

Asse di un Segmento

L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. È una retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio.

Primo metodo: calcola il punto medio M, trova il coefficiente angolare del segmento, prendi quello perpendicolare (antireciproco), e scrivi l'equazione y - yM = m⊥ $x - xM$ .

Il coefficiente perpendicolare si ottiene cambiando segno e capovolgendo: se il segmento ha m = 2, l'asse avrà m = -1/2.

Ricorda: L'asse è sempre perpendicolare al segmento e passa per il punto medio!

Metodo Alternativo per l'Asse e Bisettrici

Secondo metodo per l'asse: prendi un punto generico P(x,y), imponi che sia equidistante dagli estremi A e B, quindi risolvi PA = PB. Elevi al quadrato per eliminare le radici e semplifica.

Le bisettrici degli angoli sono i luoghi geometrici dei punti equidistanti dai lati dell'angolo. Per due rette r e s, imponi d(P,r) = d(P,s) usando la formula della distanza punto-retta.

Ottieni sempre due bisettrici (una per l'angolo interno, una per quello esterno) che sono perpendicolari tra loro. Attenzione al segno ± quando risolvi l'equazione!

Concetto chiave: Equidistanza significa distanze uguali - questo principio funziona per assi e bisettrici!

Esercizi sulle Bisettrici

Per trovare le bisettrici di due rette, usi la formula: $ax + by + c$ /√ $a² + b²$ = ± $a'x + b'y + c'$ /√ $a'² + b'²$ . Il segno ± ti dà le due bisettrici.

Quando i denominatori sono uguali (√13 in entrambi i casi), puoi semplificare e lavorare solo con i numeratori. Questo rende i calcoli molto più facili!

Le due bisettrici che ottieni sono sempre perpendicolari tra loro. Una divide l'angolo acuto, l'altra quello ottuso formato dalle due rette.

Trucco: Se i denominatori sono uguali, eliminali subito per semplificare i calcoli!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

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Martina

utente iOS

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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La geometria analitica ti permette di studiare punti, rette e figure geometriche usando le coordinate e le equazioni. È come avere una mappa matematica dove ogni punto ha il suo indirizzo preciso!

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Punti e Segmenti nel Piano Cartesiano

Per calcolare la distanza tra due punti, usi formule diverse a seconda della situazione. Se i punti hanno la stessa y, la distanza è |xB - xA|. Se hanno la stessa x, è |yB - yA|.

Quando i punti sono in posizioni generiche, applichi il teorema di Pitagora: d(AB) = √ $(xB - xA)² + (yB - yA)²$ . Questa è la formula più importante da ricordare!

Tip: La distanza dall'origine è sempre d(OP) = √ $x² + y²$

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Punto Medio e Baricentro

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Il baricentro di un triangolo funziona allo stesso modo, ma con tre punti: xG = $xA + xB + xC$ /3 e yG = $yA + yB + yC$ /3. È il punto dove si incontrano le mediane del triangolo.

Una proprietà interessante: il baricentro divide ogni mediana in rapporto 2:1, dove la parte più lunga va dal vertice al baricentro.

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Se hai due punti A e B, prima calcoli m = $yB - yA$ / $xB - xA$ , poi usi la formula precedente con uno dei due punti. Oppure usi direttamente: y - yA = $(yB - yA)/(xB - xA)$ $x - xA$ .

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Asse di un Segmento

L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. È una retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio.

Primo metodo: calcola il punto medio M, trova il coefficiente angolare del segmento, prendi quello perpendicolare (antireciproco), e scrivi l'equazione y - yM = m⊥ $x - xM$ .

Il coefficiente perpendicolare si ottiene cambiando segno e capovolgendo: se il segmento ha m = 2, l'asse avrà m = -1/2.

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Metodo Alternativo per l'Asse e Bisettrici

Secondo metodo per l'asse: prendi un punto generico P(x,y), imponi che sia equidistante dagli estremi A e B, quindi risolvi PA = PB. Elevi al quadrato per eliminare le radici e semplifica.

Le bisettrici degli angoli sono i luoghi geometrici dei punti equidistanti dai lati dell'angolo. Per due rette r e s, imponi d(P,r) = d(P,s) usando la formula della distanza punto-retta.

Ottieni sempre due bisettrici (una per l'angolo interno, una per quello esterno) che sono perpendicolari tra loro. Attenzione al segno ± quando risolvi l'equazione!

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