Il dominio di una funzione è semplicemente l'insieme di tutti i valori di x per cui la funzione ha senso matematico. Nelle funzioni razionali, il problema principale è evitare di dividere per zero!

Per le funzioni razionali come $f(x) = \frac{x^2+1}{2x+5}$, devi porre il denominatore diverso da zero. Quindi $2x+5 ≠ 0$, che significa $x ≠ -\frac{5}{2}$. Il dominio sarà tutti i reali tranne questo valore escluso.

Quando hai denominatori con equazioni di secondo grado, usa la formula del discriminante. Se il discriminante è negativo come nell'esempio $x^2+2x+4 = 0$ con $\Delta = -12$, non ci sono radici reali, quindi il denominatore non si annulla mai e il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

Ricorda: Per le funzioni con radici cubiche come $\sqrt[3]{x-1}$, il dominio è sempre tutti i reali perché le radici dispari esistono per ogni numero!

Le funzioni irrazionali con radici pari creano più vincoli. Per $f(x) = \sqrt{x^2+5x+6}$, devi garantire che l'espressione sotto radice sia non negativa.

Risolvi la disequazione $x^2+5x+6 ≥ 0$ trovando le radici e studiando il segno. Con radici $x = -3$ e $x = -2$, la parabola (che va verso l'alto) è positiva per $x ≤ -3$ o $x ≥ -2$.

Quando hai più condizioni contemporaneamente come in $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{3x+6}$, devi soddisfarle tutte insieme. Serve $x-1 ≥ 0$ E $3x+6 ≥ 0$, quindi $x ≥ 1$ E $x ≥ -2$. La condizione più restrittiva vince: $x ≥ 1$.

Trucco: Nelle funzioni con radici al denominatore, combina le condizioni: la radice deve esistere E il denominatore deve essere diverso da zero!

Per risolvere domini più complessi, organizza sempre le condizioni in un sistema logico. Nell'esempio $f(x) = \sqrt{\frac{x}{2}+1} + \sqrt{20-2x}$, hai bisogno che entrambe le radici esistano.

Imposta il sistema: $\frac{x}{2}+1 ≥ 0$ E $20-2x ≥ 0$. Risolvi separatamente: $x ≥ -2$ E $x ≤ 10$. Il dominio finale è l'intersezione: $-2 ≤ x ≤ 10$.

Quando hai frazioni con radici come $\frac{\sqrt{x^2+5x}}{x-7}$, combina le condizioni della radice (espressione ≥ 0) con quella del denominatore (≠ 0). Studia il segno di $x^2+5x = x(x+5)$ per trovare $x ≤ -5$ o $x ≥ 0$, escludendo poi $x = 7$.

I valori assoluti richiedono un approccio diverso. Per $f(x) = \sqrt{|x-1|}-2$, devi risolvere $|x-1|-2 ≥ 0$, cioè $|x-1| ≥ 2$.

Ricorda la regola: $|A(x)| ≥ k$ significa $A(x) ≤ -k$ OR $A(x) ≥ k$. Quindi $(x-1) ≤ -2$ o $(x-1) ≥ 2$, che dà $x ≤ -1$ o $x ≥ 3$.

Le funzioni esponenziali hanno quasi sempre dominio $\mathbb{R}$, tranne quando l'esponente contiene frazioni o radici. Per $f(x) = 5^{\sqrt{\frac{x}{x+2}}}$, devi garantire che l'espressione sotto radice sia non negativa: $\frac{x}{x+2} ≥ 0$.

Importante: Le funzioni esponenziali $a^{g(x)}$ esistono sempre, ma se $g(x)$ contiene radici o frazioni, devi studiare il dominio di $g(x)$!

I logaritmi richiedono che l'argomento sia strettamente positivo. Per $f(x) = \ln(3x+4) + \ln(x^2-25)$, serve $3x+4 > 0$ E $x^2-25 > 0$.

Risolvi separatamente: $x > -\frac{4}{3}$ E $(x < -5$ o $x > 5)$. L'intersezione di queste condizioni è $x > 5$.

Per trovare le intersezioni con gli assi, sostituisci gli opportuni valori. Le intersezioni con l'asse x si ottengono ponendo $f(x) = 0$, quelle con l'asse y ponendo $x = 0$ (se appartiene al dominio).

Attenzione: Prima di calcolare le intersezioni, verifica sempre che i valori trovati appartengano al dominio della funzione!

Lo studio del segno ti dice quando una funzione è positiva o negativa. Per $f(x) = \frac{2x-3}{x+4}$, risolvi $f(x) > 0$ studiando numeratore e denominatore separatamente.

Numeratore positivo: $2x-3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$. Denominatore positivo: $x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$. Usa la regola dei segni: la frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno.

Costruisci il grafico dei segni: traccia una linea con i punti critici $-4$ e $\frac{3}{2}$. La funzione è positiva per $x < -4$ o $x > \frac{3}{2}$.

Per funzioni come $f(x) = x^3 + 4x^2$, raccogli i fattori comuni: $x^2(x+4) > 0$. Dato che $x^2 ≥ 0$ sempre, il segno dipende da $(x+4)$, quindi $f(x) > 0$ per $x > -4$ (con $x ≠ 0$).

Strategia: Nelle funzioni razionali, studia sempre numeratore e denominatore separatamente, poi combina i risultati con la regola dei segni!

Quando risolvi un esercizio completo, segui sempre questo ordine: dominio, intersezioni, segno. Per $f(x) = -x^2 + 3x$, il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

Le intersezioni con l'asse x si trovano risolvendo $-x^2 + 3x = 0$. Raccogli: $x(-x + 3) = 0$, quindi $x = 0$ o $x = 3$. Hai i punti A(0,0) e B(3,0).

Per lo studio del segno, risolvi $-x^2 + 3x > 0$. Cambia i segni: $x^2 - 3x < 0$, cioè $x(x-3) < 0$. La parabola rivolta verso l'alto è negativa tra le radici: $0 < x < 3$.

Le funzioni cubiche come $y = x^3 + 4x^2$ seguono la stessa logica. Raccogli sempre i fattori comuni: $x^2(x+4) = 0$ dà radici $x = 0$ (doppia) e $x = -4$. Il segno dipende dal fattore $(x+4)$.

Alcune funzioni sono sempre positive! Per $f(x) = \frac{3x^2+1}{4x+4}$, il numeratore $3x^2+1$ è sempre positivo minimo valore 1 quando $x=0$.

Il segno dipende solo dal denominatore: $4x+4 > 0 \Rightarrow x > -1$. Quindi $f(x) > 0$ per tutti gli $x > -1$ (che coincide esattamente con il dominio).

Non esistono intersezioni con l'asse x perché $3x^2+1 = 0$ non ha soluzioni reali. L'unica intersezione è con l'asse y: sostituendo $x = 0$ ottieni il punto $(0, \frac{1}{4})$.

Nota bene: Quando il numeratore di una frazione è sempre positivo, il segno della funzione coincide esattamente con il segno del denominatore!

Le funzioni con radici al denominatore richiedono particolare attenzione. Per $f(x) = \frac{x-4}{\sqrt{x-2}}$, la radice impone $x-2 > 0$ (strettamente maggiore perché è al denominatore).

Il dominio è quindi $x > 2$. Per le intersezioni con l'asse x, risolvi $x-4 = 0$, che dà $x = 4$. Verifica che appartenga al dominio: sì! Quindi hai il punto A(4,0).

Non ci sono intersezioni con l'asse y perché $x = 0$ non appartiene al dominio $0 \not> 2$.

Per lo studio del segno, il denominatore $\sqrt{x-2}$ è sempre positivo nel dominio. Il segno dipende solo dal numeratore: $x-4 > 0 \Rightarrow x > 4$. Quindi $f(x) > 0$ per $x > 4$ e $f(x) < 0$ per $2 < x < 4$.

Ricorda: Con radici al denominatore, il dominio è automaticamente più restrittivo perché esclude il valore che annulla la radice!

Le funzioni pari hanno una proprietà speciale: $f(x) = f(-x)$. Graficamente significa che sono simmetriche rispetto all'asse y.

Per verificare se una funzione è pari, sostituisci $-x$ al posto di $x$ e controlla se ottieni la stessa espressione. Ad esempio: $f(x) = 2x^2 - 1$ diventa $f(-x) = 2(-x)^2 - 1 = 2x^2 - 1$. Sono identiche, quindi è funzione pari!

Questo significa che se conosci il grafico per $x > 0$, puoi ottenere la parte per $x < 0$ semplicemente "specchiandolo" rispetto all'asse y. Punti come A(3,4) corrispondono a B(-3,4).

Le funzioni dispari invece soddisfano $f(-x) = -f(x)$ e sono simmetriche rispetto all'origine. Ma questa è un'altra storia!

Trucco per l'esame: Se riconosci una funzione pari, puoi studiare solo la parte positiva e poi estendere il grafico per simmetria!