Insiemi e Fondamenti

La teoria degli insiemi è la base di tutta la matematica moderna. Un insieme è semplicemente una collezione di elementi ben definiti.

I simboli più importanti da ricordare sono: $x \in A$ (x appartiene ad A), $A \subseteq B$ (A è sottoinsieme di B), e $A \subset B$ (A è sottoinsieme proprio di B). Le operazioni fondamentali sono unione $A \cup B$ e intersezione $A \cap B$.

Il prodotto cartesiano $A \times B$ crea coppie ordinate dove il primo elemento viene da A e il secondo da B. Gli insiemi numerici sono organizzati in modo gerarchico: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Le proprietà degli insiemi reali includono commutativa, associativa, distributiva, esistenza di elementi neutri e opposti. Questi assiomi garantiscono che le operazioni funzionino sempre come ti aspetti.

Nota bene: Gli assiomi di completezza distinguono i numeri reali dai razionali e sono fondamentali per definire limiti e continuità.

Principio di Induzione e Funzioni

Il principio di induzione è una tecnica potentissima per dimostrare formule che coinvolgono numeri naturali. Funziona in due passi: verifichi la base induttiva (il primo caso) e poi dimostri il passo induttivo $se vale per n, allora vale per n+1$.

Una funzione è una legge che associa a ogni elemento del dominio esattamente un elemento del codominio. Le funzioni possono essere crescenti, decrescenti, iniettive, suriettive o biettive.

Le funzioni iniettive non hanno elementi del codominio "ripetuti", mentre quelle suriettive "coprono" tutto il codominio. Una funzione biettiva è sia iniettiva che suriettiva, quindi è invertibile.

Trucco: Se una funzione è strettamente monotona (sempre crescente o sempre decrescente), allora è automaticamente invertibile!

Funzioni Composte e Valore Assoluto

Le funzioni composte si creano "incastrando" una funzione dentro l'altra: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. È fondamentale che il codominio della prima funzione coincida con il dominio della seconda.

Il valore assoluto $|x|$ rappresenta la distanza di un numero dallo zero. Le proprietà principali sono: $|x| \geq 0$, $|x| = 0 \iff x = 0$, $|xy| = |x||y|$, e la cruciale disuguaglianza triangolare: $|x + y| \leq |x| + |y|$.

Massimo e minimo di un insieme sono elementi che appartengono all'insieme e sono rispettivamente il più grande e il più piccolo. La differenza fondamentale con maggioranti e minoranti è che max e min devono appartenere all'insieme.

Attenzione: Un insieme può avere maggioranti senza avere massimo (esempio: l'intervallo aperto (0,1) ha maggioranti ma non massimo).

Estremo Superiore e Inferiore

Un insieme è limitato superiormente se esistono maggioranti, limitato inferiormente se esistono minoranti. Quando è limitato in entrambi i sensi, si dice semplicemente limitato.

L'estremo superiore (sup) è il più piccolo tra i maggioranti, mentre l'estremo inferiore (inf) è il più grande tra i minoranti. Questi esistono sempre per insiemi limitati grazie all'assioma di completezza dei numeri reali.

La proprietà caratteristica dell'estremo superiore è: $e = \sup A$ se $e \geq a$ per ogni $a \in A$ e per ogni $\epsilon > 0$ esiste almeno un elemento $a \in A$ tale che $e - \epsilon < a$.

Differenza chiave: Massimo e minimo appartengono all'insieme, mentre estremo superiore e inferiore potrebbero non appartenervi!

Successioni e Convergenza

Una successione è una funzione definita sui numeri naturali: $a_n: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$. Rappresenta una sequenza infinita di numeri reali ordinati.

Una successione converge a un limite $l$ se, scelto un errore $\epsilon$ piccolo a piacere, da un certo punto in poi tutti i termini distano da $l$ meno di $\epsilon$. Formalmente: $\forall \epsilon > 0, \exists \nu \in \mathbb{N}$ tale che $|a_n - l| < \epsilon$ per ogni $n > \nu$.

Esempi classici: $\frac{1}{n} \to 0$ e $\frac{n}{n+1} \to 1$. Per dimostrare la convergenza, devi trovare esplicitamente il valore di $\nu$ in funzione di $\epsilon$.

Trucco per gli esercizi: Risolvi sempre la disuguaglianza $|a_n - l| < \epsilon$ per trovare da quale indice in poi la successione è "abbastanza vicina" al limite.

Unicità del Limite e Classificazione Successioni

Il teorema di unicità garantisce che ogni successione convergente ha un unico limite. La dimostrazione usa il fatto che due limiti diversi contraddicono la definizione di convergenza.

Le successioni si classificano in tre tipi: convergenti (hanno limite finito), divergenti (limite infinito), oscillanti (nessun limite). Esempio di oscillante: $(-1)^n$ che alterna tra -1 e +1.

Una successione diverge positivamente se cresce oltre ogni valore prefissato: $\forall M > 0, \exists N$ tale che $a_n > M$ per $n > N$. Esempio: $n^2 \to +\infty$.

Le successioni convergenti sono sempre limitate (teorema di limitatezza), ma non vale il viceversa. Una successione limitata può oscillare senza convergere.

Attenzione: Essere limitata è condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza!

Proprietà delle Successioni Convergenti

Il teorema di limitatezza dice che ogni successione convergente è automaticamente limitata. La dimostrazione usa il fatto che da un certo punto in poi i termini stanno in un intorno del limite.

Una successione è infinitesima se converge a zero. Vale la proprietà: $\lim a_n = 0 \iff \lim |a_n| = 0$.

Proprietà fondamentale: il prodotto di una successione limitata per una infinitesima è sempre infinitesimo. Questa regola è utilissima per calcolare limiti complessi.

Strategia di calcolo: Quando hai un prodotto difficile, cerca di separare la parte limitata da quella infinitesima per applicare questo teorema.

Operazioni con i Limiti e Teoremi di Confronto

Le operazioni con i limiti seguono regole precise: se $a_n \to l_1$ e $b_n \to l_2$, allora $a_n + b_n \to l_1 + l_2$ e $a_n \cdot b_n \to l_1 \cdot l_2$.

Il teorema della permanenza del segno dice che se una successione converge a un limite positivo, da un certo punto in poi tutti i termini sono positivi.

Il corollario stabilisce che se una successione ha termini sempre positivi e converge, il limite è non negativo. Questo principio è fondamentale per molte dimostrazioni.

Applicazione pratica: Questi teoremi ti permettono di "spezzare" limiti complicati in pezzi più semplici da calcolare.

Teorema dei Carabinieri e Successioni Monotone

Il teorema dei carabinieri è uno strumento potentissimo: se $a_n \leq c_n \leq b_n$ e $a_n, b_n$ convergono allo stesso limite $l$, allora anche $c_n \to l$.

Per le successioni monotone vale un teorema fondamentale: se sono limitate convergono (il limite è l'estremo superiore o inferiore), se non sono limitate divergono.

Il fattoriale $n!$ cresce più velocemente di qualsiasi potenza, quindi $n! \to +\infty$. I coefficienti binomiali $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ sono fondamentali in combinatoria.

Strategia: Usa il teorema dei carabinieri quando non riesci a calcolare direttamente un limite ma puoi "intrappolare" la successione tra due più semplici.

Limiti di Funzioni

I limiti notevoli delle successioni includono: $a^n \to +\infty$ per $a > 1$, $a^n \to 0$ per $0 < a < 1$, e$\frac{n}{a^n} \to 0$ (l'esponenziale batte sempre la potenza).

Per le funzioni continue, il limite per $x \to x_0$ esiste se $x_0$ è punto di accumulazione del dominio. La definizione è analoga a quella delle successioni: $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ se $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tale che $|f(x) - l| < \epsilon$ quando $0 < |x - x_0| < \delta$.

Distinguiamo convergenza, divergenza, comportamento non regolare e limiti destro/sinistro. Il teorema di unicità vale anche per le funzioni.

Differenza chiave: Per le successioni usiamo $n > \nu$, per le funzioni usiamo $0 < |x - x_0| < \delta$ (escludiamo il punto stesso).