Le funzioni reali di variabile reale

Una funzione è una relazione tra due insiemi (dominio e codominio) che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Possiamo esprimerla come F: Dom(F)⊆ℝ→ℝ dove x→y.

Il dominio di funzione (o campo di esistenza) è il più ampio sottoinsieme di ℝ in cui la funzione ha significato. È l'insieme di tutti i valori che, sostituiti nell'espressione analitica, non causano perdita di significato.

💡 Ricorda che determinare correttamente il dominio è il primo passo fondamentale nell'analisi di qualsiasi funzione!

Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte: ∀a₁,a₂∈A, a₁≠a₂ ⇒ f(a₁)≠f(a₂).

Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio: ∀b∈B, ∃a∈A tale che f(a)=b.

Una funzione è biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva. Questa proprietà è importante perché una funzione biunivoca è sempre invertibile: basta invertire le "frecce" per ottenere la funzione inversa F⁻¹: B→A.

Proprietà delle funzioni

La funzione inversa di una funzione f, indicata con f⁻¹, definisce l'associazione inversa. Affinché esista, la funzione di partenza deve essere biettiva (invertibile).

Le funzioni possono essere classificate in base alle loro simmetrie:

• Una funzione è pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e F$-x$ = F(x) ∀x∈ℝ
• Una funzione è dispari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e F$-x$ = -F(x) ∀x∈ℝ

Una funzione periodica ripete il suo comportamento a intervalli regolari: F$x+T$ = F(x), dove T è il periodo.

La monotonia descrive come cresce o decresce una funzione. Può essere:

• Crescente in senso stretto: se x₁<x₂ implica F(x₁)<F(x₂)
• Crescente in senso lato: se x₁<x₂ implica F(x₁)≤F(x₂)
• Decrescente in senso stretto: se x₁<x₂ implica F(x₁)>F(x₂)
• Decrescente in senso lato: se x₁<x₂ implica F(x₁)≥F(x₂)

💡 Riconoscere la monotonia di una funzione ti aiuta a tracciarne il grafico e a determinare se ha un limite!

Intorni

Gli intorni sono fondamentali per comprendere il comportamento locale delle funzioni e per definire formalmente i limiti.

Un intorno completo circolare di un punto x₀ è un intervallo aperto centrato in x₀ con raggio ε:

• B(x₀,ε) = $x₀-ε, x₀+ε$
• B(x₀,ε) = {x∈ℝ: |x-x₀|<ε}

Un intorno sinistro considera solo la parte a sinistra del punto:

• B⁻(x₀,ε) = {x∈ℝ: x₀-ε<x<x₀}
• B⁻(x₀,ε) = $x₀-ε, x₀$

Un intorno destro considera solo la parte a destra del punto:

• B⁺(x₀,ε) = {x∈ℝ: x₀<x<x₀+ε}
• B⁺(x₀,ε) = $x₀, x₀+ε$

Gli intorni di infinito descrivono semirette:

• Intorno di -∞: $-∞,M$ = {x∈ℝ: x<M}
• Intorno di +∞: $M,+∞$ = {x∈ℝ: x>M}

Un intorno bucato è un intorno completo privato del punto centrale:

• B*(x₀,ε) = B(x₀,ε) - {x₀}
• B*(x₀,ε) = $x₀-ε, x₀$∪$x₀, x₀+ε$

💡 Gli intorni sono lo strumento matematico che ci permette di "avvicinarci" a un punto senza necessariamente raggiungerlo!

Classificazione dei punti

Esistono diversi tipi di punti che caratterizzano gli insiemi numerici:

Un punto di accumulazione di un insieme E è un punto x₀ tale che ogni suo intorno contiene almeno un punto di E diverso da x₀:

• x₀∈ℝ è di accumulazione per E∈ℝ se ∀ε>0 ∃y∈E, y≠x₀ tale che y∈B(x₀,ε)
• Il punto x₀ non deve necessariamente appartenere a E

Un punto isolato è un elemento di E che non ha altri punti di E nel suo intorno:

• x₀ è un punto isolato di E se ∃ε>0 tale che B*(x₀,ε)∩E = Ø
• Il punto x₀ deve appartenere a E

Un punto interno ha un intorno completamente contenuto nell'insieme:

• x₀ è un punto interno di E se ∃ε>0 tale che B(x₀,ε)⊂E
• Il punto x₀ deve appartenere a E

Un punto esterno ha un intorno completamente contenuto nel complementare dell'insieme:

• x₀ è esterno a E se ∃ε>0 tale che B(x₀,ε)⊂Eᶜ

Un punto di frontiera è un punto il cui intorno contiene sia punti dell'insieme che punti del suo complementare:

• x₀ è un punto di frontiera di E se ∀ε>0 ∃y₁∈E, y₂∈Eᶜ tali che y₁,y₂∈B(x₀,ε)
• Il punto può appartenere o non appartenere all'insieme

💡 Imparare a classificare i punti ti permetterà di capire meglio la struttura degli insiemi numerici e il comportamento delle funzioni!

Limiti: definizione formale

Il limite di una funzione è un concetto fondamentale che descrive il comportamento della funzione quando ci avviciniamo a un punto senza necessariamente raggiungerlo.

Limite finito in un punto: $\lim_{x \to x_0} F(x) = c$ se ∀ε>0 ∃δ(ε)>0 tale che per ogni x∈Dom(F) con 0<|x-x_0|<δ risulta |F(x)-c|<ε

In parole semplici: comunque scegliamo una distanza ε (piccola a piacere), esiste una corrispondente distanza δ tale che se x è diverso da x₀ ma dista da esso meno di δ, allora F(x) dista da c meno di ε.

Limite infinito in un punto: $\lim_{x \to x_0} F(x) = +\infty$ se ∀M>0 ∃δ(M)>0 tale che per ogni x∈Dom(F) con 0<|x-x_0|<δ risulta F(x)>M

Limite meno infinito in un punto: $\lim_{x \to x_0} F(x) = -\infty$ se ∀M<0 ∃δ(M)>0 tale che per ogni x∈Dom(F) con 0<|x-x_0|<δ risulta F(x)<M

💡 La definizione di limite può sembrare complessa, ma esprime un'idea semplice: possiamo rendere i valori della funzione arbitrariamente vicini a c (o arbitrariamente grandi) scegliendo x sufficientemente vicino a x₀!

Limiti all'infinito e limiti laterali

Limite all'infinito:

• $\lim_{x \to \infty} F(x) = c_1$ significa che per valori di x molto grandi, F(x) si avvicina a c₁
• $\lim_{x \to -\infty} F(x) = c_2$ significa che per valori di x molto piccoli (negativi), F(x) si avvicina a c₂

Limiti all'infinito che danno infinito:

• $\lim_{x \to \infty} F(x) = \infty$ se ∀N>0 ∃M(N)>0 tale che x>M ⟹ F(x)>N
• $\lim_{x \to -\infty} F(x) = +\infty$ se ∀N>0 ∃M(N)>0 tale che x<-M ⟹ F(x)>N
• $\lim_{x \to +\infty} F(x) = -\infty$ se ∀N>0 ∃M(N)>0 tale che x>M ⟹ F(x)<-N
• $\lim_{x \to -\infty} F(x) = -\infty$ se ∀N>0 ∃M(N)>0 tale che x<-M ⟹ F(x)<-N

Limiti laterali:

• $\lim_{x \to x_0^+} F(x) = l$ (limite destro): considera solo x che si avvicinano a x₀ da destra
• $\lim_{x \to x_0^-} F(x) = l$ (limite sinistro): considera solo x che si avvicinano a x₀ da sinistra

Limite bilatero:

• $\lim_{x \to x_0} F(x) = l$ se e solo se $\lim_{x \to x_0^-} F(x) = l = \lim_{x \to x_0^+} F(x)$

💡 Un limite esiste se e solo se i limiti destro e sinistro esistono ed hanno lo stesso valore!

Funzioni continue

Una funzione continua in un punto x₀ è una funzione il cui limite per x che tende a x₀ esiste ed è uguale al valore della funzione in quel punto: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

In altre parole, una funzione è continua in x₀ se:

1. x₀ appartiene al dominio della funzione
2. Esiste il limite della funzione per x che tende a x₀
3. Il valore del limite coincide con il valore della funzione in x₀

Una funzione continua in un intervallo è continua in ogni punto dell'intervallo.

Una funzione continua è continua in ogni punto del suo dominio.

Una funzione può essere continua da sinistra se $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ o continua da destra se $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

Teoremi sulla continuità:

• La somma, il prodotto e la composizione di funzioni continue sono continue
• Il rapporto di funzioni continue è continuo nei punti in cui il denominatore non si annulla

💡 Verificare la continuità di una funzione è fondamentale per applicare importanti teoremi come il teorema degli zeri, il teorema di Weierstrass e il teorema dei valori intermedi!

Punti di discontinuità

I punti di discontinuità si classificano in tre tipi:

Discontinuità di prima specie:

• I limiti destro e sinistro esistono, sono finiti ma diversi tra loro
• $\lim_{x \to x_0^-} F(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} F(x)$ (entrambi finiti)

Discontinuità di seconda specie:

• Almeno uno dei limiti laterali è infinito
• $\lim_{x \to x_0^-} F(x) = \pm \infty$ o $\lim_{x \to x_0^+} F(x) = \pm \infty$

Discontinuità di terza specie (o eliminabile):

• I limiti destro e sinistro esistono, sono finiti e uguali tra loro, ma diversi dal valore della funzione in x₀
• $\lim_{x \to x_0^-} F(x) = \lim_{x \to x_0^+} F(x) \neq F(x_0)$

La discontinuità eliminabile è così chiamata perché è possibile "riparare" la funzione ridefinendo il suo valore nel punto problematico: $\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \neq x_0\ c & \text{se } x = x_0 \end{cases}$

Una funzione può anche presentare discontinuità da destra se $\lim_{x \to a^+} F(x) \neq F(a)$ o discontinuità da sinistra se $\lim_{x \to a^-} F(x) \neq F(a)$.

💡 Saper classificare i punti di discontinuità è essenziale per comprendere il comportamento di una funzione e capire se e come è possibile renderla continua!

Algebra dei limiti

L'algebra dei limiti fornisce regole per calcolare i limiti di operazioni tra funzioni:

• $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x)$
• $\lim_{x \to x_0} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to x_0} f(x)$ (proprietà di omogeneità)
• $\lim_{x \to x_0} [f(x)/g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) / \lim_{x \to x_0} g(x)$ (se il limite al denominatore non è zero)
• $\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = g(\lim_{x \to x_0} f(x))$ (se f e g sono continue)

L'algebra di infiniti e infinitesimi estende queste operazioni includendo i simboli ∞ e 0:

• $\frac{\infty}{0} = \pm \infty$
• $\frac{0}{\infty} = 0$
• $\infty + \infty = \infty$
• $\infty \cdot \infty = \infty$
• $-\infty \cdot 0 = 0$

Esistono però forme indeterminate che richiedono tecniche specifiche per essere risolte:

• $\left[ \frac{0}{0} \right]$
• $\left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$
• $\left[ 1^{\infty} \right]$
• $\left[ 0 \cdot \infty \right]$
• $\left[ \infty - \infty \right]$
• $\left[ 0^0 \right]$
• $\left[ \infty^0 \right]$

💡 Quando ti trovi davanti a una forma indeterminata, non esiste un metodo universale per risolverla. Dovrai scegliere tra diverse strategie come la fattorizzazione, la razionalizzazione o la regola di De l'Hôpital!

Teorema di unicità del limite

Il teorema di unicità del limite afferma che se il limite di una funzione esiste, allora è unico.

La dimostrazione avviene per assurdo:

1. Supponiamo che esistano due limiti diversi: $\lim_{x \to x_0} f(x) = e$ e $\lim_{x \to x_0} f(x) = m$ con $e \neq m$
2. Scegliamo $\epsilon < \frac{|e-m|}{2}$
3. Per la definizione di limite, esistono $\delta_e$ e $\delta_m$ tali che:
   • Se $0 < |x-x_0| < \delta_e$allora$|f(x)-e| < \epsilon$
   • Se $0 < |x-x_0| < \delta_m$allora$|f(x)-m| < \epsilon$
4. Prendiamo $\delta = \min(\delta_e, \delta_m)$
5. Se $0 < |x-x_0| < \delta$, allora valgono contemporaneamente:
   • $e-\epsilon < f(x) < e+\epsilon$
   • $m-\epsilon < f(x) < m+\epsilon$
6. Per la proprietà transitiva: $e-\epsilon < m+\epsilon$ quindi $\epsilon > \frac{|e-m|}{2}$
7. Questo contraddice la nostra scelta di $\epsilon$, quindi l'ipotesi che esistano due limiti diversi è falsa

💡 Questo teorema è fondamentale: ci assicura che quando calcoliamo un limite, il risultato è univocamente determinato!