Barbara Lancia

01/12/2025

Matematica

Calcolo dei limiti

Matematica

Limiti di Funzione e Asintoti

Forme Indeterminate

411

•

1 dic 2025

•

4 pagine

Calcolo dei Limiti nelle Funzioni

Barbara Lancia

@barbaralancia_hzbg

Il calcolo dei limiti è una delle competenze fondamentali in... Mostra di più

1 / 4

calcolle det karate
limiti
Pim 8(x)=0
عهم
se no
ESEMPI
F
H.
X+2
eim 3x+5= (3-2) + 5 = 11
2. Pim 2 = 300-0
X
+∞
X→ +D
4. Pim
X-2*
0.00
↓
O
5.

Calcolo dei Limiti Base

Il calcolo dei limiti inizia con casi semplici dove puoi sostituire direttamente il valore. Quando $x$ tende a un numero finito, spesso basta fare la sostituzione diretta.

Negli esempi più diretti come $\lim_{x \to 2} 3x + 5 = 11$ , sostituisci semplicemente il valore. Per i limiti all'infinito, ricorda che $\frac{numero}{+\infty} = 0$ .

Le forme indeterminate sono il vero problema: $+\infty - \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ , $0 \cdot \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ , $(+\infty)^0$ . Quando ottieni uno di questi risultati, devi applicare tecniche speciali per risolverle.

💡 Trucco: Se il risultato è una forma indeterminata, fermati e pensa a quale tecnica usare invece di procedere a caso.

Risolvere +∞ - ∞: Polinomi e Radici

Per la forma indeterminata +∞ - ∞ con i polinomi, raccogli sempre il termine di grado maggiore. In $x^4 - 3x^2 + 1$ , raccogli $x^4$ e ottieni $x^4(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^4})$ .

Con le differenze di radici quadrate, usa la tecnica del coniugato. Moltiplica per $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ per trasformare la differenza in una frazione più semplice.

L'esempio $\sqrt{x-3} - \sqrt{x}$ diventa $\frac{-3}{\sqrt{x-3} + \sqrt{x}} = 0$ . Questa tecnica funziona sempre con le radici quadrate.

💡 Attenzione: Quando hai radici al denominatore come in $\frac{2}{\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3}}$ , il risultato finale può essere $+\infty$ invece di $0$ .

Forme Indeterminate 0/0 e ∞/∞

La forma 0/0 si risolve spesso scomponendo numeratore e denominatore. In $\frac{x^2-9}{x-3}$ , fattorizza $(x+3)(x-3)$ e semplifica il fattore comune.

Per ∞/∞ con i polinomi, raccogli il termine di grado maggiore sia sopra che sotto. Il limite dipende dai gradi: se il numeratore ha grado maggiore → $+\infty$ , se uguale → rapporto dei coefficienti principali, se minore → $0$ .

Le funzioni con radici richiedono più attenzione. In $\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}$ , riscrivi $x-1 = (\sqrt{x-1})^2$ per semplificare.

💡 Regola pratica: Con i polinomi, guarda sempre prima i gradi per capire subito che tipo di risultato aspettarti.

Tecniche Avanzate e Regole Pratiche

Per i limiti con funzioni trigonometriche, usa le identità come $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ e $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ per semplificare le espressioni.

Le regole sui gradi $GN = grado numeratore, GD = grado denominatore$ ti danno la risposta immediata:

Se GN > GD → $+\infty$ $o $-\infty$ secondo i segni$
Se GN = GD → rapporto dei coefficienti principali
Se GN < GD → $0$

Ricorda il trinomio speciale: $x^2 + Sx + P = (x+a)(x+b)$ dove $S = a+b$ e $P = ab$ . Questa scomposizione è essenziale per risolvere molti limiti con forma 0/0.

💡 Strategia vincente: Prima di calcolare, identifica sempre che tipo di limite hai davanti e scegli la tecnica più appropriata.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

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App Store

4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Francesca

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Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Il calcolo dei limiti è una delle competenze fondamentali in matematica che ti permette di capire il comportamento di una funzione in punti specifici o all'infinito. Imparerai a risolvere limiti semplici e a gestire le temute "forme indeterminate" che richiedono... Mostra di più

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💡 Attenzione: Quando hai radici al denominatore come in $\frac{2}{\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3}}$ , il risultato finale può essere $+\infty$ invece di $0$ .

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