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Calcolo dei Limiti nelle Funzioni

B

Barbara Lancia

@barbaralancia_hzbg

Il calcolo dei limiti è una delle competenze fondamentali in... Mostra di più

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# calcolo dei limiti lim f(x)=0 メタメ lim f(x)=0 9+4× se no 0880 ↓ + in base ai segui di neo. ESEMPI 1. Lim 3x+5= (3-2)+5=11 X2 2.

Calcolo dei Limiti Base

Il calcolo dei limiti inizia con casi semplici dove puoi sostituire direttamente il valore. Quando xx tende a un numero finito, spesso basta fare la sostituzione diretta.

Negli esempi più diretti come lim⁡x→23x+5=11\lim_{x \to 2} 3x + 5 = 11, sostituisci semplicemente il valore. Per i limiti all'infinito, ricorda che numero+∞=0\frac{numero}{+\infty} = 0.

Le forme indeterminate sono il vero problema: +∞−∞+\infty - \infty, ∞∞\frac{\infty}{\infty}, 00\frac{0}{0}, $0 \cdot \infty,, 1^\infty,, 0^0,, +∞+\infty^0$. Quando ottieni uno di questi risultati, devi applicare tecniche speciali per risolverle.

💡 Trucco: Se il risultato è una forma indeterminata, fermati e pensa a quale tecnica usare invece di procedere a caso.

# calcolo dei limiti lim f(x)=0 メタメ lim f(x)=0 9+4× se no 0880 ↓ + in base ai segui di neo. ESEMPI 1. Lim 3x+5= (3-2)+5=11 X2 2.

Risolvere +∞ - ∞: Polinomi e Radici

Per la forma indeterminata +∞ - ∞ con i polinomi, raccogli sempre il termine di grado maggiore. In x4−3x2+1x^4 - 3x^2 + 1, raccogli x4x^4 e ottieni x4(1−3x2+1x4)x^4(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^4}).

Con le differenze di radici quadrate, usa la tecnica del coniugato. Moltiplica per a+ba+b\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} per trasformare la differenza in una frazione più semplice.

L'esempio x−3−x\sqrt{x-3} - \sqrt{x} diventa −3x−3+x=0\frac{-3}{\sqrt{x-3} + \sqrt{x}} = 0. Questa tecnica funziona sempre con le radici quadrate.

💡 Attenzione: Quando hai radici al denominatore come in 2x+5−x−3\frac{2}{\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3}}, il risultato finale può essere +∞+\infty invece di $0$.

# calcolo dei limiti lim f(x)=0 メタメ lim f(x)=0 9+4× se no 0880 ↓ + in base ai segui di neo. ESEMPI 1. Lim 3x+5= (3-2)+5=11 X2 2.

Forme Indeterminate 0/0 e ∞/∞

La forma 0/0 si risolve spesso scomponendo numeratore e denominatore. In x2−9x−3\frac{x^2-9}{x-3}, fattorizza (x+3)(x−3)(x+3)(x-3) e semplifica il fattore comune.

Per ∞/∞ con i polinomi, raccogli il termine di grado maggiore sia sopra che sotto. Il limite dipende dai gradi: se il numeratore ha grado maggiore → +∞+\infty, se uguale → rapporto dei coefficienti principali, se minore → $0$.

Le funzioni con radici richiedono più attenzione. In x−1x−1\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}, riscrivi x−1=(x−1)2x-1 = (\sqrt{x-1})^2 per semplificare.

💡 Regola pratica: Con i polinomi, guarda sempre prima i gradi per capire subito che tipo di risultato aspettarti.

# calcolo dei limiti lim f(x)=0 メタメ lim f(x)=0 9+4× se no 0880 ↓ + in base ai segui di neo. ESEMPI 1. Lim 3x+5= (3-2)+5=11 X2 2.

Tecniche Avanzate e Regole Pratiche

Per i limiti con funzioni trigonometriche, usa le identità come sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) e cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} per semplificare le espressioni.

Le regole sui gradi GN=gradonumeratore,GD=gradodenominatoreGN = grado numeratore, GD = grado denominatore ti danno la risposta immediata:

  • Se GN > GD → +∞+\infty o $-\infty$ secondo i segni
  • Se GN = GD → rapporto dei coefficienti principali
  • Se GN < GD → $0$

Ricorda il trinomio speciale: x2+Sx+P=(x+a)(x+b)x^2 + Sx + P = (x+a)(x+b) dove S=a+bS = a+b e P=abP = ab. Questa scomposizione è essenziale per risolvere molti limiti con forma 0/0.

💡 Strategia vincente: Prima di calcolare, identifica sempre che tipo di limite hai davanti e scegli la tecnica più appropriata.



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

I quiz E LE flashcard SONO COSÌ UTILI E ADORO Knowunity IA. È ANCHE LETTERALMENTE COME CHATGPT MA PIÙ INTELLIGENTE!! MI HA AIUTATO ANCHE COI MIEI PROBLEMI DI MASCARA!! E ANCHE CON LE MIE VERE MATERIE! OVVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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I quiz E LE flashcard SONO COSÌ UTILI E ADORO Knowunity IA. È ANCHE LETTERALMENTE COME CHATGPT MA PIÙ INTELLIGENTE!! MI HA AIUTATO ANCHE COI MIEI PROBLEMI DI MASCARA!! E ANCHE CON LE MIE VERE MATERIE! OVVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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Limiti di Funzione e Asintoti

Forme Indeterminate

 

Matematica

•

565

•

1 feb 2026

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Calcolo dei Limiti nelle Funzioni

B

Barbara Lancia

@barbaralancia_hzbg

Il calcolo dei limiti è una delle competenze fondamentali in matematica che ti permette di capire il comportamento di una funzione in punti specifici o all'infinito. Imparerai a risolvere limiti semplici e a gestire le temute "forme indeterminate" che richiedono... Mostra di più

# calcolo dei limiti lim f(x)=0 メタメ lim f(x)=0 9+4× se no 0880 ↓ + in base ai segui di neo. ESEMPI 1. Lim 3x+5= (3-2)+5=11 X2 2.

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Calcolo dei Limiti Base

Il calcolo dei limiti inizia con casi semplici dove puoi sostituire direttamente il valore. Quando xx tende a un numero finito, spesso basta fare la sostituzione diretta.

Negli esempi più diretti come lim⁡x→23x+5=11\lim_{x \to 2} 3x + 5 = 11, sostituisci semplicemente il valore. Per i limiti all'infinito, ricorda che numero+∞=0\frac{numero}{+\infty} = 0.

Le forme indeterminate sono il vero problema: +∞−∞+\infty - \infty, ∞∞\frac{\infty}{\infty}, 00\frac{0}{0}, $0 \cdot \infty,, 1^\infty,, 0^0,, +∞+\infty^0$. Quando ottieni uno di questi risultati, devi applicare tecniche speciali per risolverle.

💡 Trucco: Se il risultato è una forma indeterminata, fermati e pensa a quale tecnica usare invece di procedere a caso.

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Risolvere +∞ - ∞: Polinomi e Radici

Per la forma indeterminata +∞ - ∞ con i polinomi, raccogli sempre il termine di grado maggiore. In x4−3x2+1x^4 - 3x^2 + 1, raccogli x4x^4 e ottieni x4(1−3x2+1x4)x^4(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^4}).

Con le differenze di radici quadrate, usa la tecnica del coniugato. Moltiplica per a+ba+b\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} per trasformare la differenza in una frazione più semplice.

L'esempio x−3−x\sqrt{x-3} - \sqrt{x} diventa −3x−3+x=0\frac{-3}{\sqrt{x-3} + \sqrt{x}} = 0. Questa tecnica funziona sempre con le radici quadrate.

💡 Attenzione: Quando hai radici al denominatore come in 2x+5−x−3\frac{2}{\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3}}, il risultato finale può essere +∞+\infty invece di $0$.

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Forme Indeterminate 0/0 e ∞/∞

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Tecniche Avanzate e Regole Pratiche

Per i limiti con funzioni trigonometriche, usa le identità come sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) e cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} per semplificare le espressioni.

Le regole sui gradi GN=gradonumeratore,GD=gradodenominatoreGN = grado numeratore, GD = grado denominatore ti danno la risposta immediata:

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Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

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Martina

utente iOS

I quiz E LE flashcard SONO COSÌ UTILI E ADORO Knowunity IA. È ANCHE LETTERALMENTE COME CHATGPT MA PIÙ INTELLIGENTE!! MI HA AIUTATO ANCHE COI MIEI PROBLEMI DI MASCARA!! E ANCHE CON LE MIE VERE MATERIE! OVVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

I quiz E LE flashcard SONO COSÌ UTILI E ADORO Knowunity IA. È ANCHE LETTERALMENTE COME CHATGPT MA PIÙ INTELLIGENTE!! MI HA AIUTATO ANCHE COI MIEI PROBLEMI DI MASCARA!! E ANCHE CON LE MIE VERE MATERIE! OVVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS