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y2k.ri
25/11/2025
Matematica
Introduzione ad analisi e limiti
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25 nov 2025
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y2k.ri
@yaya_notes
I limiti sono uno strumento fondamentale per capire come si... Mostra di più
Calcolare un limite significa capire dove sta andando una funzione quando x si avvicina a un punto specifico. Per le funzioni continue come polinomi, esponenziali, logaritmi e funzioni goniometriche, è semplicissimo: basta sostituire il valore di x nella funzione.
Quando hai funzioni razionali (frazioni), devi fare attenzione. Se sostituendo ottieni un numero normale, il gioco è fatto. Ma se ottieni 0/0, devi scomporre e semplificare prima di calcolare il limite.
Per i limiti all'infinito delle funzioni razionali, segui questa regola d'oro: raccogli il termine di grado massimo sia al numeratore che al denominatore, semplifica, e poi guarda cosa succede. Se il grado del numeratore è maggiore, il limite è ±∞; se è minore, è 0; se sono uguali, è il rapporto tra i coefficienti principali.
💡 Trucco: Le funzioni elementari (potenze, esponenziali, goniometriche, logaritmi) sono sempre continue nel loro dominio - questo significa che per calcolare il limite basta sostituire!
Con esponenziali e logaritmi, ricorda la scala di confronto: log x cresce molto più lentamente di x, che a sua volta cresce molto più lentamente di e^x. Questo ti aiuta a risolvere forme indeterminate del tipo .
Per i limiti notevoli, memorizza questi due fondamentali: lim = 1 quando x→0, e lim^x = e quando x→∞. Sono la chiave per risolvere molti esercizi complessi.
Quando affronti forme indeterminate come , la strategia vincente è raccogliere il termine che "domina" gli altri. Per le radici, usa spesso la razionalizzazione moltiplicando e dividendo per il coniugato.
💡 Ricorda: La gerarchia di crescita log x << x^n << a^x ti salva sempre quando devi confrontare termini che vanno all'infinito!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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y2k.ri
@yaya_notes
I limiti sono uno strumento fondamentale per capire come si comporta una funzione quando x si avvicina a un certo valore o all'infinito. Padroneggiare questa tecnica ti permette di risolvere problemi che sembrano impossibili, come calcolare il valore di frazioni... Mostra di più
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Calcolare un limite significa capire dove sta andando una funzione quando x si avvicina a un punto specifico. Per le funzioni continue come polinomi, esponenziali, logaritmi e funzioni goniometriche, è semplicissimo: basta sostituire il valore di x nella funzione.
Quando hai funzioni razionali (frazioni), devi fare attenzione. Se sostituendo ottieni un numero normale, il gioco è fatto. Ma se ottieni 0/0, devi scomporre e semplificare prima di calcolare il limite.
Per i limiti all'infinito delle funzioni razionali, segui questa regola d'oro: raccogli il termine di grado massimo sia al numeratore che al denominatore, semplifica, e poi guarda cosa succede. Se il grado del numeratore è maggiore, il limite è ±∞; se è minore, è 0; se sono uguali, è il rapporto tra i coefficienti principali.
💡 Trucco: Le funzioni elementari (potenze, esponenziali, goniometriche, logaritmi) sono sempre continue nel loro dominio - questo significa che per calcolare il limite basta sostituire!
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Con esponenziali e logaritmi, ricorda la scala di confronto: log x cresce molto più lentamente di x, che a sua volta cresce molto più lentamente di e^x. Questo ti aiuta a risolvere forme indeterminate del tipo .
Per i limiti notevoli, memorizza questi due fondamentali: lim = 1 quando x→0, e lim^x = e quando x→∞. Sono la chiave per risolvere molti esercizi complessi.
Quando affronti forme indeterminate come , la strategia vincente è raccogliere il termine che "domina" gli altri. Per le radici, usa spesso la razionalizzazione moltiplicando e dividendo per il coniugato.
💡 Ricorda: La gerarchia di crescita log x << x^n << a^x ti salva sempre quando devi confrontare termini che vanno all'infinito!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
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Strumenti Intelligenti NUOVO
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Teoremi sui limiti: unicità, permanenza del segno e confronto. Definizione e spiegazione.
MatematicaLimiti notevoli, goniometri, teoremi di fondamenta…
Matematicatutto quello che riguarda i limiti
MatematicaLimiti: spiegazioni base, verifica di un limit, teoremi per il calcolo, limiti notevoli
MatematicaLimiti: teoria + verifica del limite + esercizi
MatematicaSimulazione di una verifica sui limiti (forme indeterminate e riconduzione al primo limite notevole). Questa simulazione è ideale in vista della verifica, è corredata da una griglia per l'autovalutazione ed è presente la correzione di tutti gli esercizi.
MatematicaApp Store
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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