Appunti sui Limiti: Teoremi e Goniometria

Gretuzz🌿

19/11/2025

Matematica

LIMITI - APPUNTI COMPLETI CON TEOREMI

Matematica

Limiti di Funzione e Asintoti

limite

3467

•

19 nov 2025

•

20 pagine

Appunti sui Limiti: Teoremi e Goniometria

Gretuzz🌿

@gretuzz

I limiti sono uno dei concetti più importanti del calcolo... Mostra di più

1 / 10

I LIMITI
2-x-5
(235)
32;5[
limitato aperto
2≤x≤5
[25]
24 X 25 (2;5]
X52
хело
(2;+00)
(-00:10)
limitato chiuso
limitato aperto sx, chiuso dx

Intervalli e Intorni

Prima di tuffarti nei limiti, devi familiarizzare con gli intervalli - sono fondamentalmente il tuo linguaggio base per descrivere dove si muovono i numeri. La notazione è semplice: le parentesi tonde () escludono gli estremi, quelle quadre li includono.

Gli intorni sono ancora più specifici - rappresentano qualsiasi intervallo aperto che contiene un punto. Pensa a un intorno come a una "zona di comfort" attorno a un punto: l'intorno centrato $I_c(x_0)$ ha il punto esattamente al centro, mentre gli intorni destro e sinistro guardano solo da una parte.

Per l'infinito le regole cambiano leggermente: un intorno di $+∞$ è semplicemente $(a; +∞)$ , mentre per $-∞$ è $(-∞; b)$ . Questi concetti ti serviranno per definire matematicamente cosa succede quando una funzione "si avvicina" a un valore.

💡 Trucco: Ricorda che le parentesi tonde = "aperto" = NON incluso, parentesi quadre = "chiuso" = incluso!

Prima Definizione di Limite

Ecco dove la magia inizia! Quando scrivi $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4$ , stai dicendo che la funzione si avvicina sempre di più a 4 man mano che x si avvicina a 2, anche se la funzione non esiste proprio in x = 2.

La definizione formale sembra complicata ma è geniale: per ogni piccolo errore $\epsilon$ che sei disposto a tollerare, esiste sempre un intorno del punto dove la funzione resta entro quell'errore dal limite. È come dire "non importa quanto preciso vuoi essere, io posso sempre fare meglio!"

Nell'esempio della funzione $\frac{x^2-4}{x-2}$ , anche se non puoi calcolare direttamente f(2), puoi semplificare ottenendo $x+2$ e vedere che quando x si avvicina a 2, il risultato si avvicina a 4.

💡 Ricorda: Il limite descrive il comportamento della funzione VICINO al punto, non necessariamente NEL punto!

Definizione Generale e Limiti Laterali

La formula generale per i limiti è il tuo strumento universale: $\lim_{x \to x_0} g(x) = l$ significa che per ogni $\epsilon > 0$ esiste un intorno dove la funzione si mantiene vicina al limite quanto vuoi.

I limiti destro e sinistro sono cruciali quando una funzione si comporta diversamente da una parte o dall'altra. Il limite destro $x \to 3^+$ guarda solo i valori maggiori di 3, mentre quello sinistro $x \to 3^-$ considera solo i valori minori.

Il limite esiste solo se entrambi i limiti laterali esistono e sono uguali. Se sono diversi, come nell'esempio dove il limite destro è 2 e quello sinistro è 1, allora il limite non esiste - la funzione "non sa" verso quale valore andare.

💡 Strategia: Quando hai dubbi sull'esistenza di un limite, controlla sempre i limiti laterali!

Verifica di un Limite

Verificare un limite significa dimostrare rigorosamente che la definizione è soddisfatta. È come risolvere un'equazione al contrario: parti dal risultato e mostri che funziona per ogni caso.

Il processo è sempre lo stesso: prendi la disuguaglianza $|g(x) - l| < \epsilon$ e la risolvi per trovare l'intorno giusto. Per esempio, con $\lim_{x \to 3} (x+5) = 8$ , ottieni $|x+3| < \epsilon$ , quindi l'intorno è $(-3-\epsilon; -3+\epsilon)$ .

Questi calcoli ti insegnano a "costruire" gli intorni su misura per ogni valore di $\epsilon$ . Più piccolo è $\epsilon$ (più precisione vuoi), più stretto deve essere l'intorno - ma esiste sempre!

💡 Metodologia: Parti sempre da $|g(x) - l| < \epsilon$ e lavora algebricamente per isolare x!

Funzioni Continue

Una funzione continua in un punto è come un disegno fatto senza staccare la penna dal foglio. Matematicamente, serve che siano verificate tre condizioni: la funzione deve esistere nel punto, deve esistere il limite, e questi due valori devono coincidere.

Nel grafico di esempio, vedi che in x = 3 la funzione vale 3 ma il limite vale 4 - questo crea una "discontinuità a salto". La funzione esiste ma non è continua perché c'è un "buco" tra il valore reale e quello che ci aspetteremmo dal comportamento circostante.

La continuità è fondamentale perché garantisce che piccole variazioni nell'input producano piccole variazioni nell'output - una proprietà essenziale in fisica, economia e ingegneria.

💡 Test rapido: Se puoi disegnare la funzione senza staccare la penna, probabilmente è continua in quel tratto!

Limiti Infiniti e Asintoti Verticali

Quando una funzione "esplode" verso l'infinito, stai osservando un asintoto verticale. La definizione cambia: invece di rimanere vicino a un numero, la funzione deve superare qualsiasi valore M grande quanto vuoi.

Nell'esempio $y = \frac{6}{x}$ , quando x si avvicina a 0 da destra il limite è $+∞$ , mentre da sinistra è $-∞$ . La retta x = 0 (asse y) diventa un asintoto verticale - una linea che il grafico si avvicina infinitamente ma non tocca mai.

Questa situazione è tipica delle funzioni razionali quando il denominatore si annulla. Il comportamento può essere diverso dai due lati, creando asintoti verticali con direzioni opposte.

💡 Visualizza: Gli asintoti verticali sono come "muri invisibili" che la funzione non può attraversare!

Sintesi delle Definizioni

Questa pagina è la tua mappa completa di tutti i tipi di limiti! Hai quattro scenari principali: limite finito verso un punto, limite infinito verso un punto (asintoti verticali), limite verso infinito (asintoti orizzontali), e limite infinito verso infinito.

Gli asintoti verticali (caso 2) si hanno quando la funzione diverge avvicinandosi a un punto. Gli asintoti orizzontali (caso 3) invece descrivono il comportamento "a lungo termine" della funzione.

Il caso 4 descrive funzioni che crescono senza limiti sia nell'input che nell'output - tipico di funzioni esponenziali o polinomi di grado elevato. Ogni definizione ha la sua struttura logica ma segue sempre lo stesso pattern: "per ogni... esiste... tale che...".

💡 Schema mentale: Memorizza questi quattro casi - coprono praticamente ogni situazione che incontrerai!

Operazioni con Infiniti e Infinitesimi

Le operazioni con infinito seguono regole intuitive ma hanno alcune trappole mortali! Infinito più un numero finito resta infinito, infinito per un numero finito resta infinito, ma attenzione alle forme indeterminate (F.I.).

Le forme indeterminate più comuni sono $∞ - ∞$ , $0 \cdot ∞$ , $\frac{0}{0}$ , e $\frac{∞}{∞}$ . Quando le incontri, NON puoi applicare le regole normali - devi usare tecniche speciali per risolverle.

Gli infinitesimi (che tendono a 0) si comportano come l'opposto degli infiniti: zero più un numero finito dà quel numero, zero per infinito è una forma indeterminata, e così via.

💡 Allarme rosso: Quando vedi una forma indeterminata, fermati! Non puoi procedere con le operazioni normali.

Risoluzione delle Forme Indeterminate $\frac{0}{0}$

La forma indeterminata $\frac{0}{0}$ è probabilmente quella che incontrerai più spesso, soprattutto con le funzioni razionali. La strategia vincente è quasi sempre la scomposizione: fattorizza numeratore e denominatore per eliminare i fattori comuni.

Nell'esempio $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2-2x}$ , scomponi $(x^2-4) = (x-2)(x+2)$ e $(x^2-2x) = x(x-2)$ . Il fattore $(x-2)$ si semplifica, eliminando la forma indeterminata.

Per polinomi più complessi, usa la regola di Ruffini per trovare le radici e scomporre. L'obiettivo è sempre lo stesso: eliminare il fattore che causa la forma indeterminata, poi calcolare il limite normalmente.

💡 Strategia: Con $\frac{0}{0}$ , scomponi SEMPRE prima di mollare - funziona nel 90% dei casi!

Forme Indeterminate $∞-∞$ e $\frac{∞}{∞}$

Per le forme indeterminate con infiniti, la tecnica principe è raccogliere la potenza più alta. Con $∞-∞$ , raccogli la potenza di grado maggiore e metti tutto in evidenza.

Nell'esempio $\lim_{x \to +∞} (3x^2 - 2x + 7)$ , raccogli $x^2$ : ottieni $x^2(3 - \frac{2}{x} + \frac{7}{x^2})$ . Quando $x \to +∞$ , i termini $\frac{2}{x}$ e $\frac{7}{x^2}$ tendono a 0, quindi resta $3x^2 \to +∞$ .

Per $\frac{∞}{∞}$ con funzioni razionali, raccogli la potenza più alta sia sopra che sotto. Il risultato dipende dai gradi: stesso grado → rapporto dei coefficienti principali, numeratore di grado maggiore → $±∞$ , denominatore di grado maggiore → 0.

💡 Regola d'oro: Con i polinomi all'infinito, conta solo il termine di grado più alto - tutto il resto diventa trascurabile!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Andrea

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