Limiti

Didascalia alternativa:

12 2 210 N₂ t∞ N= 218 80 018 818 010 100 = 0 =±8 = ∞ = O = ∞ =O = imd. = Imd. A lim f [ g(x)] = f [lim g(x)] X-C UMITE DI FUNZIONI FRATTE -X→ co 2 casi: grado P(x) grado Q(x): guardo solo i momomi di grodo maggiore grado P(x) = grado Q(x) ie lim è uguale al rapporto tra coefficienti di grado max -X→C: Im generale svolgo i polimonui e semplifico tutto ciò che tende a O TEOREMA DEL CONFRONTO Def. a parole: Se due funzioni f(x) e g(x) hanno lo stesso limite I per x che tende a un numero c (finito o infinito) ed esiste un'altra funzione z(x) e un intorno U(c) tale che f(x)<z(x)≤g(x), allora anche il limite della funzione z(x) è uguale a I per x che tende a c, escluso al più x=c. Siamo f(x), g(x), h(x) definite im x € I (c): f(x) = g(x) ≤ h (x) 드 2. 3 lim f(x) = l X→C b. 3 lim h(x) = l X→→C 3 h(x) g(x) f (x) I (c) Q {c} lim g(x) = l X→ X dim. : a. \ £ »0 ] ƒ^ = 3 d tramme tuttalpiù c √(E)| 1×-c\<d = √(₁)| (x-c\<d^ => [ f(x) -l | <E l-E<f(x) < l + E b. ε> 0 3 d = √(ε) | | x-c| <d^ => | h (x) -l | <ε| l - E<h (x) < l + E l-E < f (x) = g(x) ≤ h (x) < l + E ↓ l-E < g(x) < l + E ↓ | g(x) =l/<६ APPUCAZIONI Ⓡim semx X-0* dim: 2 lim tomx X-O X dim: у= = 1 = ® lim 1-cosx X² X→O tomx X = = 1 dim: lim 1-cosx = ® lim 1-cosx X-0 X Semx COSX f(x) = = O ^ lim (1-cosx1+cosx x →O 17 COSX, lim (sem ³x + 1 + (OSK) - x →0 cosx = lim 1 2 = 1 lim cosx=1 X40 → Semx ≤ x ≤ tomx semx)2. A cosx = 슬 17 dùm: lim (1-cosx + cosx X 1+ cosx X→O lim sem lim X-10 ×(1+C05X) X- = semx X = 15 fumz. par Cosks Semx S X : semx X 1 semx COSX S û Semx Semx \X(1+cosx) lim 1=1 XO lim 1-cos²x X−→0 X(1+cosx) f(-x) = → LIMITE ASINTOTICO lim 1-cos []. []-0 = 0 > 1/2 슬 = che 10 arrivi da destra o da simistra mom commbia X→0* sem (-x)-semx semx = f(x) = -X -X posso mom studiare i cosi perché sto analizzando a ote poi perché 7 la funz. i pare = = UMITE ASINTOTICO x' per xo y = semx e y=x Si comportamo mello stesso modo lim f(x) *→0 g(x) =₁ → f(x) e g(x) fum z. 1 lim sem [ ]. [] → [] = 1 lim 1-cos [ ]] = 0 []→O [] asinitotiche Ⓒ lim (₁ + 1)² = l 5 [ ] → ±00 da un denva: lim (₁ + []) ²3 []+0 Ⓒlim loga (1+x) X →O X = dim: lim · loga (₁+x) = X-0 Ⓒ lim ln (1+x) x →O X dimi = l lim loga (1 + x)²) = loga X40 OF X 8 lim a²-1= X→O X = lim loga (1+x) dim: lim a-1 x →O x loga e = 1 X ↓ lim lm (1+x)= X→O X x = lma E ax-1=t a=t+1 09 - =loga (1+t) вода е → Indeterminato lome = 1 → lim X40 lim loga (1+[]) = loga e []→0 [] t 1 = вода (1++) вода е lim lm (1+ []) []-0 () = lma lim ²²-1 [] [] LIMITE ASINTOTICO = 1 lim a²²-1. []-0 [] =lme = ₁ LIMITE ASINTOTICO = lma TEOREMA DI UNICITA' DEL UMITE Def a parole: Se per x che tende a c la funzione f(x) ammette limite I finito, allora esso è unico. Se Flim g(x) = l => il limite é umico X-C dim. xossundo: Suppongo che esistono due limiti di f(x) per x→c l₁ e lz ‡ b ₁ 2. xc f(x)=l₁ → \ ε > ] √₂₁ = √₂ ( ε) | |x-c] <d l₁-E < f (x) <l^ + E b. lim f(x) = ₂ + ₁ →→→ \ E>o 7 d₂ = √₂ (E) | | x-c/ < d₂ => | 8(x)-l₂ | < E хэс l 2 - E < f (x) < l ₂ + E la ег dim: a. l>o ε =l Se 7 lim 8(x) = l #0 X-C →>>> > | 8(x) - l₁ | < ε TEOREMA DEUA PERMANENZA DEL SEGNO mom è possibile x' se scegliessix im um punto im Comune ai 2 intonui la fimz. avrebbe 2 valori Def a parole: Se per x->c con c appartenente a R, la funzione f(x) ammette limite finito I, positivo/negativo, allora esiste un intorno di c per ogni x del quale, eccetto al più c, f è positiva/negativa. I (c) x € (c) {c} ↓ cosa mom possibile x la def. di funzione → бедто f(x) = sедто в • \ E >0 ]d=d(E) | Ix-cl < d => | f(x)-l | <l l-l< f(x) <l+l 0<f(x) <2l x l>o f (x) è semipre compresa tra 0 e 2e b. l <0 ε = -l → \ ε > 0 7 d= D(E) | |x-cl<d => | 8(x) +l | <-l -l-l< f(x) <-l+l -20 < f(x) < 0 semipre positiva x l ²o f (x) è sempre. compresa tra -2ec0 semipre megativa