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arianna de caro
04/10/2022
Matematica
i limiti
4953
•
4 ott 2022
•
arianna de caro
@ariannadecaro
Limits in Mathematics: A Comprehensive Guide
This document provides a... Mostra di più
![I limiti
limite finito per x che tende a valore finito
lim f(x) = l
Quando si avvicina a xo
alloza f(x)
si avvicina a l
X→Xo
Vε >O] I (x₁)|](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FMZlTiPbjFPismlYLAEMP_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
This page discusses the concept of infinite limits as x approaches a finite value. It introduces the notation and definition for both positive and negative infinite limits.
Definition: An infinite limit occurs when the function values grow without bound as x approaches a specific value.
The page presents the notation for infinite limits:
lim f(x) = +∞ or lim f(x) = -∞ x→x₀ x→x₀
Highlight: For an infinite limit, we show that for any large positive number M, there exists a δ > 0 such that f(x) > M (or f(x) < -M for negative infinity) whenever |x - x₀| < δ.
An example is provided to illustrate the verification of an infinite limit:
lim (x-1)² = +∞ x→1
Example: The verification process involves finding a suitable δ for any given M > 0, such that (x-1)² > M when |x-1| < δ.
The page also introduces the concept of vertical asymptotes, which are related to infinite limits.
Vocabulary: Limite infinito per x che tende a un valore finito describes the situation where a function approaches infinity as x approaches a finite value, often resulting in a vertical asymptote.
![I limiti
limite finito per x che tende a valore finito
lim f(x) = l
Quando si avvicina a xo
alloza f(x)
si avvicina a l
X→Xo
Vε >O] I (x₁)|](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FMZlTiPbjFPismlYLAEMP_image_page_2.webp&w=2048&q=75)
This page covers the behavior of functions as x approaches infinity, discussing both finite and infinite limits in this context.
For finite limits as x approaches infinity, the notation is:
lim f(x) = l x→∞
Definition: A function has a finite limit at infinity if its values approach a specific number l as x grows arbitrarily large.
Highlight: When a function has a finite limit at infinity, the line y = l becomes a horizontal asymptote of the function.
The page then moves on to infinite limits as x approaches infinity, using the notation:
lim f(x) = +∞ or lim f(x) = -∞ x→∞ x→∞
Vocabulary: Limite che tende a infinito esercizi svolti refers to solved exercises involving limits as x approaches infinity, which are crucial for understanding this concept.
The page provides examples of different scenarios, including limits approaching positive infinity, negative infinity, and cases where the limit depends on the direction of approach (x→+∞ or x→-∞).
Example: lim √(x) = +∞ as x→+∞, demonstrating that the square root function grows without bound as x increases. x→+∞
![I limiti
limite finito per x che tende a valore finito
lim f(x) = l
Quando si avvicina a xo
alloza f(x)
si avvicina a l
X→Xo
Vε >O] I (x₁)|](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FMZlTiPbjFPismlYLAEMP_image_page_3.webp&w=2048&q=75)
The final page discusses one-sided limits and the conditions for the existence of a limit. It introduces the concepts of right-hand and left-hand limits.
Definition: A right-hand limit is the limit of a function as x approaches a value from the right, while a left-hand limit approaches from the left.
The notation for one-sided limits is:
lim+ f(x) (right-hand limit) x→x₀
lim- f(x) (left-hand limit) x→x₀
Highlight: For a limit to exist, both the left-hand and right-hand limits must exist and be equal.
The page explains that if the one-sided limits are not equal, mathematicians say that the limit does not exist.
Example: An example is provided where lim+ f(x) = 4 as x→1, but lim- f(x) does not exist as x→1, resulting in the non-existence of the overall limit.
Vocabulary: Definizione rigorosa di limite encompasses the formal definition of limits, including the concepts of one-sided limits and limit existence.
This page emphasizes the importance of considering both sides when evaluating limits, especially for functions with discontinuities or different behaviors on either side of a point.
![I limiti
limite finito per x che tende a valore finito
lim f(x) = l
Quando si avvicina a xo
alloza f(x)
si avvicina a l
X→Xo
Vε >O] I (x₁)|](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FMZlTiPbjFPismlYLAEMP_image_page_4.webp&w=2048&q=75)
This page introduces the concept of limits and focuses on finite limits as x approaches a finite value. It provides a formal definition and examples of limit verification.
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input (usually x) gets closer to a specific value.
The page explains the notation for limits:
lim f(x) = l x→x₀
This means that as x approaches x₀, f(x) approaches l.
Highlight: The formal definition of a limit involves the use of epsilon (ε) and delta (δ) to describe the behavior of the function near the limit point.
An example is provided to verify the limit:
lim (2x+1) = 7 x→3
Example: The verification process involves showing that for any ε > 0, there exists a δ > 0 such that |f(x) - l| < ε whenever |x - x₀| < δ.
The page concludes with another example of limit verification, demonstrating the step-by-step process for a more complex function.
Vocabulary: Limite di una funzione definizione refers to the formal definition of a limit of a function, which is crucial for understanding the concept rigorously.
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Aurora
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Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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arianna de caro
@ariannadecaro
Limits in Mathematics: A Comprehensive Guide
This document provides a detailed explanation of mathematical limits, covering key concepts and definitions. It explores various types of limits, including finite and infinite limits, and their behavior as x approaches different values.
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This page discusses the concept of infinite limits as x approaches a finite value. It introduces the notation and definition for both positive and negative infinite limits.
Definition: An infinite limit occurs when the function values grow without bound as x approaches a specific value.
The page presents the notation for infinite limits:
lim f(x) = +∞ or lim f(x) = -∞ x→x₀ x→x₀
Highlight: For an infinite limit, we show that for any large positive number M, there exists a δ > 0 such that f(x) > M (or f(x) < -M for negative infinity) whenever |x - x₀| < δ.
An example is provided to illustrate the verification of an infinite limit:
lim (x-1)² = +∞ x→1
Example: The verification process involves finding a suitable δ for any given M > 0, such that (x-1)² > M when |x-1| < δ.
The page also introduces the concept of vertical asymptotes, which are related to infinite limits.
Vocabulary: Limite infinito per x che tende a un valore finito describes the situation where a function approaches infinity as x approaches a finite value, often resulting in a vertical asymptote.
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This page covers the behavior of functions as x approaches infinity, discussing both finite and infinite limits in this context.
For finite limits as x approaches infinity, the notation is:
lim f(x) = l x→∞
Definition: A function has a finite limit at infinity if its values approach a specific number l as x grows arbitrarily large.
Highlight: When a function has a finite limit at infinity, the line y = l becomes a horizontal asymptote of the function.
The page then moves on to infinite limits as x approaches infinity, using the notation:
lim f(x) = +∞ or lim f(x) = -∞ x→∞ x→∞
Vocabulary: Limite che tende a infinito esercizi svolti refers to solved exercises involving limits as x approaches infinity, which are crucial for understanding this concept.
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Example: lim √(x) = +∞ as x→+∞, demonstrating that the square root function grows without bound as x increases. x→+∞
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The final page discusses one-sided limits and the conditions for the existence of a limit. It introduces the concepts of right-hand and left-hand limits.
Definition: A right-hand limit is the limit of a function as x approaches a value from the right, while a left-hand limit approaches from the left.
The notation for one-sided limits is:
lim+ f(x) (right-hand limit) x→x₀
lim- f(x) (left-hand limit) x→x₀
Highlight: For a limit to exist, both the left-hand and right-hand limits must exist and be equal.
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Example: An example is provided where lim+ f(x) = 4 as x→1, but lim- f(x) does not exist as x→1, resulting in the non-existence of the overall limit.
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This page introduces the concept of limits and focuses on finite limits as x approaches a finite value. It provides a formal definition and examples of limit verification.
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input (usually x) gets closer to a specific value.
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lim f(x) = l x→x₀
This means that as x approaches x₀, f(x) approaches l.
Highlight: The formal definition of a limit involves the use of epsilon (ε) and delta (δ) to describe the behavior of the function near the limit point.
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lim (2x+1) = 7 x→3
Example: The verification process involves showing that for any ε > 0, there exists a δ > 0 such that |f(x) - l| < ε whenever |x - x₀| < δ.
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Stefano S
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Anastasia
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Francesca
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Aurora
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Martina
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Chiara
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