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โ€ข

29 giu 2025

โ€ข

8 pagine

Scopri le Equazioni e Disequazioni con Valore Assoluto: Esercizi e Schemi Facili

Le equazioni con valori assoluti e la loro risoluzionesono... Mostra di piรน

Equazioni con valori accolati
(x) =
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โ€ข Ixl l-xl VxER
|x+41 |x|+ [4]
โ€ข|-x-y|=1-x)-141
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X, Sex30
-X, se X 20
|x:41=1x1:141
โ€ข 1x1 = lul
|x|

Page 2: Graphical Interpretation of Absolute Value Equations

This page explores the graphical representation of absolute value equations and inequalities.

Key concepts covered:

  • Visualizing absolute value functions on a coordinate plane
  • Using graphs to understand solution behavior
  • Interpreting intersection points and regions

Example: The equation |x - 5| = 3x - 1 is analyzed graphically, showing how the solution x = 3/2 corresponds to the intersection point of two functions.

The page also covers more complex equations like |3x - 5| = 2x + 1, demonstrating how to handle piecewise functions and multiple solution intervals.

Highlight: Graphical analysis can provide valuable insights into the number and nature of solutions for absolute value equations and inequalities.

Equazioni con valori accolati
(x) =
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โ€ข Ixl l-xl VxER
|x+41 |x|+ [4]
โ€ข|-x-y|=1-x)-141
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X, Sex30
-X, se X 20
|x:41=1x1:141
โ€ข 1x1 = lul
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Page 3: Complex Absolute Value Equations

This page delves into more advanced absolute value equations, including those with multiple absolute value terms.

Key topics:

  • Solving equations of the form |Axx| = k for different values of k
  • Handling equations with nested absolute values
  • Techniques for equations with multiple absolute value terms

Example: The equation |x - 1| - 3|x| = -2 is solved step-by-step, demonstrating how to handle multiple absolute value terms.

Highlight: When solving complex absolute value equations, it's crucial to consider all possible combinations of positive and negative cases for each absolute value term.

The page provides a systematic approach to tackling these challenging problems, emphasizing the importance of careful case analysis and algebraic manipulation.

Equazioni con valori accolati
(x) =
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|x+41 |x|+ [4]
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Page 4: Synthetic Equations and General Strategies

This page covers synthetic equations involving absolute values and presents general strategies for solving absolute value equations.

Key points:

  • Handling equations where the absolute value term is set equal to a quadratic or other non-linear expression
  • General principles for solving |Axx| = K and |Axx| = |Bxx| type equations
  • A comprehensive summary schema for approaching absolute value equations

Example: The equation |xยฒ - 9| + |x - 3| = 0 is solved, illustrating how to handle the sum of two absolute value terms.

Highlight: The general strategy involves studying the sign of expressions inside absolute value symbols and considering different cases based on possible combinations.

The page concludes with a useful summary schema that outlines the steps for solving various types of absolute value equations, providing a valuable reference for students.

Equazioni con valori accolati
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-X, se X 20
|x:41=1x1:141
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Page 5: Inequalities with Absolute Values

This page introduces inequalities involving absolute values, a crucial topic in advanced algebra.

Key concepts covered:

  • Solving inequalities of the form |x - a| < b and |x - a| > b
  • Handling compound inequalities with absolute value terms
  • Graphical interpretation of absolute value inequalities

Example: The inequality |5x - 1| < 3x + 2 is solved step-by-step, demonstrating how to handle cases and combine solution intervals.

Highlight: When solving absolute value inequalities, it's essential to consider the direction of the inequality and how it affects the solution process.

The page provides multiple solved examples, each illustrating different techniques and potential complexities that can arise in absolute value inequalities.

Equazioni con valori accolati
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|x+41 |x|+ [4]
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Page 6: Advanced Absolute Value Inequalities

This page delves deeper into absolute value inequalities, covering more complex scenarios and general solution strategies.

Key topics:

  • General forms of absolute value inequalities and their solutions
  • Handling inequalities with multiple absolute value terms
  • Strategies for solving |Axx| < |Bxx| type inequalities

Definition: For K > 0, |x| < K is equivalent to -K < x < K, while |x| > K is equivalent to x < -K or x > K.

Example: The inequality |xยฒ - 4| < 5 is solved, demonstrating how to handle quadratic expressions within absolute value symbols.

The page emphasizes the importance of understanding the behavior of absolute value functions and how this knowledge can be applied to solve complex inequalities efficiently.

Equazioni con valori accolati
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Page 7: Irrational Equations

This page introduces irrational equations, focusing on equations involving square roots.

Key concepts:

  • Solving equations of the form โˆšAxx = Bxx
  • Importance of checking domain restrictions and extraneous solutions
  • Handling equations with higher index roots

Highlight: When solving irrational equations, it's crucial to check for extraneous solutions by substituting results back into the original equation.

Example: The equation โˆš3x + 4 = 2 + x is solved step-by-step, demonstrating the process of squaring both sides and checking solutions.

The page also covers more complex irrational equations, including those with cube roots and nested radicals, providing a comprehensive overview of solution techniques.

Equazioni con valori accolati
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Page 8: Advanced Irrational Equations

This page covers more advanced topics in irrational equations, including systems with multiple radicals and irrational inequalities.

Key topics:

  • Solving equations with multiple radical terms
  • Techniques for handling irrational inequalities
  • Graphical interpretation of irrational equations and inequalities

Example: The equation 2โˆš2+x2+x - โˆšxโˆ’3x-3 = 4 is solved, demonstrating how to handle equations with multiple radical terms.

Highlight: When solving irrational inequalities, it's important to consider domain restrictions and the behavior of radical functions.

The page concludes with strategies for solving complex irrational equations and inequalities, emphasizing the importance of systematic approaches and careful analysis of solution validity.

Equazioni con valori accolati
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|x+41 |x|+ [4]
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Page 1: Equations with Absolute Values

This page introduces key concepts and formulas for working with absolute value equations.

Key points:

  • The absolute value of a number is its distance from zero on a number line
  • Absolute value equations often require considering multiple cases
  • Common absolute value identities and properties are presented

Definition: The absolute value of x, denoted |x|, is defined as x if x โ‰ฅ 0 and -x if x < 0.

Example: |x + 4| = |x| + 4 demonstrates how absolute values interact with addition.

Highlight: When solving |Axx| = Bxx, consider the cases Axx = Bxx and Axx = -Bxx separately.

The page provides several solved examples of absolute value equations, illustrating different solution techniques and potential pitfalls to avoid.



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'รจ l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI รจ costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente รจ in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

รˆ possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity รจ davvero gratuita?

Sรฌ, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'รจ niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione รจ molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerรฒ sicuramente l'app per i compiti in classe! รˆ molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione รจ davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, รจ il francese e l'app ha cosรฌ tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perchรฉ l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app รจ L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

รˆ bellissima questa app, la adoro. รˆ utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone รจ molto utile perchรจ posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione รจ semplicemente fantastica! Tutto ciรฒ che devo fare รจ inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity รจ un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" รจ almeno per me molto utile, perchรฉ a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciรฒ che non รจ chiaro! Posso studiare piรน velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi รจ una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity รจ PERFETTA

Aurora

utente Android

Lโ€™app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho lโ€™abbonamento ma la parte gratuita รจ sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo รจ ormai poco, mi sta aiutando molto perchรฉ piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi giร  fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app รจ una delle migliori, nientโ€™altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione รจ molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerรฒ sicuramente l'app per i compiti in classe! รˆ molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione รจ davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, รจ il francese e l'app ha cosรฌ tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perchรฉ l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app รจ L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

รˆ bellissima questa app, la adoro. รˆ utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone รจ molto utile perchรจ posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione รจ semplicemente fantastica! Tutto ciรฒ che devo fare รจ inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity รจ un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" รจ almeno per me molto utile, perchรฉ a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciรฒ che non รจ chiaro! Posso studiare piรน velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi รจ una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity รจ PERFETTA

Aurora

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Lโ€™app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho lโ€™abbonamento ma la parte gratuita รจ sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo รจ ormai poco, mi sta aiutando molto perchรฉ piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi giร  fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app รจ una delle migliori, nientโ€™altro da dire.

Andrea

utente iOS

ย 

Matematica

โ€ข

9894

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29 giu 2025

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8 pagine

Scopri le Equazioni e Disequazioni con Valore Assoluto: Esercizi e Schemi Facili

Le equazioni con valori assoluti e la loro risoluzione sono argomenti fondamentali in algebra. Questo documento fornisce una guida completa su come affrontare tali equazioni, inclusa la loro interpretazione grafica e le tecniche per risolvere disequazioni con valori assoluti.... Mostra di piรน

Equazioni con valori accolati
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โ€ข Ixl l-xl VxER
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โ€ข 1x1 = lul
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Page 2: Graphical Interpretation of Absolute Value Equations

This page explores the graphical representation of absolute value equations and inequalities.

Key concepts covered:

  • Visualizing absolute value functions on a coordinate plane
  • Using graphs to understand solution behavior
  • Interpreting intersection points and regions

Example: The equation |x - 5| = 3x - 1 is analyzed graphically, showing how the solution x = 3/2 corresponds to the intersection point of two functions.

The page also covers more complex equations like |3x - 5| = 2x + 1, demonstrating how to handle piecewise functions and multiple solution intervals.

Highlight: Graphical analysis can provide valuable insights into the number and nature of solutions for absolute value equations and inequalities.

Equazioni con valori accolati
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Page 3: Complex Absolute Value Equations

This page delves into more advanced absolute value equations, including those with multiple absolute value terms.

Key topics:

  • Solving equations of the form |Axx| = k for different values of k
  • Handling equations with nested absolute values
  • Techniques for equations with multiple absolute value terms

Example: The equation |x - 1| - 3|x| = -2 is solved step-by-step, demonstrating how to handle multiple absolute value terms.

Highlight: When solving complex absolute value equations, it's crucial to consider all possible combinations of positive and negative cases for each absolute value term.

The page provides a systematic approach to tackling these challenging problems, emphasizing the importance of careful case analysis and algebraic manipulation.

Equazioni con valori accolati
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Page 4: Synthetic Equations and General Strategies

This page covers synthetic equations involving absolute values and presents general strategies for solving absolute value equations.

Key points:

  • Handling equations where the absolute value term is set equal to a quadratic or other non-linear expression
  • General principles for solving |Axx| = K and |Axx| = |Bxx| type equations
  • A comprehensive summary schema for approaching absolute value equations

Example: The equation |xยฒ - 9| + |x - 3| = 0 is solved, illustrating how to handle the sum of two absolute value terms.

Highlight: The general strategy involves studying the sign of expressions inside absolute value symbols and considering different cases based on possible combinations.

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Page 5: Inequalities with Absolute Values

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Key concepts covered:

  • Solving inequalities of the form |x - a| < b and |x - a| > b
  • Handling compound inequalities with absolute value terms
  • Graphical interpretation of absolute value inequalities

Example: The inequality |5x - 1| < 3x + 2 is solved step-by-step, demonstrating how to handle cases and combine solution intervals.

Highlight: When solving absolute value inequalities, it's essential to consider the direction of the inequality and how it affects the solution process.

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Page 6: Advanced Absolute Value Inequalities

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Key topics:

  • General forms of absolute value inequalities and their solutions
  • Handling inequalities with multiple absolute value terms
  • Strategies for solving |Axx| < |Bxx| type inequalities

Definition: For K > 0, |x| < K is equivalent to -K < x < K, while |x| > K is equivalent to x < -K or x > K.

Example: The inequality |xยฒ - 4| < 5 is solved, demonstrating how to handle quadratic expressions within absolute value symbols.

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Page 7: Irrational Equations

This page introduces irrational equations, focusing on equations involving square roots.

Key concepts:

  • Solving equations of the form โˆšAxx = Bxx
  • Importance of checking domain restrictions and extraneous solutions
  • Handling equations with higher index roots

Highlight: When solving irrational equations, it's crucial to check for extraneous solutions by substituting results back into the original equation.

Example: The equation โˆš3x + 4 = 2 + x is solved step-by-step, demonstrating the process of squaring both sides and checking solutions.

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Page 8: Advanced Irrational Equations

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Key topics:

  • Solving equations with multiple radical terms
  • Techniques for handling irrational inequalities
  • Graphical interpretation of irrational equations and inequalities

Example: The equation 2โˆš2+x2+x - โˆšxโˆ’3x-3 = 4 is solved, demonstrating how to handle equations with multiple radical terms.

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Page 1: Equations with Absolute Values

This page introduces key concepts and formulas for working with absolute value equations.

Key points:

  • The absolute value of a number is its distance from zero on a number line
  • Absolute value equations often require considering multiple cases
  • Common absolute value identities and properties are presented

Definition: The absolute value of x, denoted |x|, is defined as x if x โ‰ฅ 0 and -x if x < 0.

Example: |x + 4| = |x| + 4 demonstrates how absolute values interact with addition.

Highlight: When solving |Axx| = Bxx, consider the cases Axx = Bxx and Axx = -Bxx separately.

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รˆ possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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4.8/5

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L'applicazione รจ molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerรฒ sicuramente l'app per i compiti in classe! รˆ molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione รจ davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, รจ il francese e l'app ha cosรฌ tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perchรฉ l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app รจ L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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รˆ bellissima questa app, la adoro. รˆ utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone รจ molto utile perchรจ posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione รจ semplicemente fantastica! Tutto ciรฒ che devo fare รจ inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity รจ un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" รจ almeno per me molto utile, perchรฉ a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciรฒ che non รจ chiaro! Posso studiare piรน velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi รจ una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity รจ PERFETTA

Aurora

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Lโ€™app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho lโ€™abbonamento ma la parte gratuita รจ sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Chiara

utente IOS

Questa app รจ una delle migliori, nientโ€™altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione รจ molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerรฒ sicuramente l'app per i compiti in classe! รˆ molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione รจ davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, รจ il francese e l'app ha cosรฌ tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perchรฉ l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app รจ L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

รˆ bellissima questa app, la adoro. รˆ utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone รจ molto utile perchรจ posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione รจ semplicemente fantastica! Tutto ciรฒ che devo fare รจ inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity รจ un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" รจ almeno per me molto utile, perchรฉ a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciรฒ che non รจ chiaro! Posso studiare piรน velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi รจ una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity รจ PERFETTA

Aurora

utente Android

Lโ€™app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho lโ€™abbonamento ma la parte gratuita รจ sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo รจ ormai poco, mi sta aiutando molto perchรฉ piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi giร  fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app รจ una delle migliori, nientโ€™altro da dire.

Andrea

utente iOS