Classificazione delle Funzioni

Le funzioni matematiche si dividono in due categorie principali: algebriche e trascendenti. Le funzioni algebriche comprendono quelle razionali (intere e fratte) e irrazionali (intere e fratte). Le funzioni trascendenti includono quelle esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

Definizione: Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti i valori reali di x per cui la funzione è definita e può essere rappresentata graficamente.

Esempio: Per la funzione y = x² + 3x² + 5, il dominio è l'insieme di tutti i numeri reali, ovvero D: x ∈ R (-∞; +∞).

Per calcolare il dominio di una funzione, è necessario considerare il tipo di funzione e le eventuali restrizioni matematiche.

Highlight: Per le funzioni algebriche razionali intere, il dominio è generalmente l'insieme di tutti i numeri reali.

Esempio: Per una funzione algebrica razionale fratta come y = (x + 1) / (x² + 3x - 4), il dominio esclude i valori che annullano il denominatore: D: x ∈ R - {-4, 1}.

Studio di Funzione: Esempio Pratico

Consideriamo la funzione y = (x² + 2x - 3) / (x - 2). Ecco i passaggi per lo studio di questa funzione:

1. Dominio: x ≠ 2, quindi D: x ∈ R - {2}
2. Parità: La funzione non è né pari né dispari.
3. Intersezioni con gli assi:
   • Asse x: A(-3; 0) e B(1; 0)
   • Asse y: C(0; 3/2)

Highlight: Lo studio di funzioni irrazionali richiede un'analisi attenta del dominio, della parità e delle intersezioni con gli assi.

4. Studio del segno:
   • Positività: -3 < x < 1 ∨ x > 2
   • Negatività: x < -3 ∨ 1 < x < 2

Esempio: Il grafico della funzione mostrerà discontinuità in x = 2 e cambierà segno in corrispondenza delle intersezioni con l'asse x.

Questo esempio dimostra l'importanza di un approccio sistematico nello studio di funzioni, combinando l'analisi algebrica con l'interpretazione geometrica.