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Materie

Matematica

9 dic 2025

586

10 pagine

Comprendere la Parabola: Teoria ed Esempi Pratici

C

Chiara Martoni @chiaramartoni

La parabola è una delle curve più importanti che studierai in matematica! È il grafico di ogni funzione... Mostra di più

# Parabola

e' il luogo dei punti equidistanti
da un punto fisso detto FUOCO (F)
e da una retta fissa detta
diretice d

(non ha ie coefficen

I Parametri della Parabola

Il termine noto c ti dice subito dove la parabola interseca l'asse y - precisamente nel punto (0; c). Quando c = 0, la parabola passa per l'origine, il che semplifica molto i calcoli!

Il coefficiente b influenza la posizione orizzontale. Quando b = 0, il vertice si trova esattamente sull'asse y. Se sia b che c sono zero, il vertice coincide con l'origine degli assi.

Ogni parabola ha un asse di simmetria - una retta verticale che passa per il vertice e divide la curva in due parti speculari. Questo asse è sempre perpendicolare alla direttrice.

Trucco per l'esame Se conosci il valore di a, puoi subito capire forma e apertura della parabola solo guardando l'equazione!

# Parabola

e' il luogo dei punti equidistanti
da un punto fisso detto FUOCO (F)
e da una retta fissa detta
diretice d

(non ha ie coefficen

Cos'è una Parabola

Geometricamente parlando, una parabola è il luogo dei punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato fuoco (F) e da una retta fissa detta direttrice. Sembra complicato, ma in realtà è un concetto molto elegante!

Nel piano cartesiano, ogni parabola può essere scritta nella forma esplicita y = ax² + bx + c. Questo significa che qualsiasi polinomio di secondo grado rappresenta sempre una parabola.

Il coefficiente a è il vero protagonista determina verso dove si apre la parabola. Se a > 0 la concavità è verso l'alto (come un sorriso), se a < 0 è verso il basso (come una faccina triste).

Ricorda Il valore assoluto di a controlla anche quanto è "stretta" la parabola - più è grande, più la curva si chiude!

# Parabola

e' il luogo dei punti equidistanti
da un punto fisso detto FUOCO (F)
e da una retta fissa detta
diretice d

(non ha ie coefficen

Vertice, Fuoco e Direttrice

Il vertice è il punto più importante della parabola e ha coordinate Vb/2a;f(b/2a)-b/2a; f(-b/2a). L'ascissa del vertice si calcola sempre con la formula xv = -b/2a - impara questa formula a memoria!

Il fuoco ha la stessa ascissa del vertice ma ordinata diversa Fb/2a;(1Δ)/4a-b/2a; (1-Δ)/4a, dove Δ = b² - 4ac è il discriminante. Il fuoco non appartiene mai alla parabola, ma si trova sempre dentro la sua concavità.

La direttrice è una retta orizzontale con equazione y = (1+Δ)/4a. Non interseca mai la parabola ed è sempre equidistante dal vertice rispetto al fuoco.

Per disegnare bene Ti servono il vertice, l'asse di simmetria e almeno due punti simmetrici rispetto all'asse!

# Parabola

e' il luogo dei punti equidistanti
da un punto fisso detto FUOCO (F)
e da una retta fissa detta
diretice d

(non ha ie coefficen

Trovare l'Equazione con Tre Punti

Quando devi determinare l'equazione di una parabola che passa per tre punti, usi il metodo della sostituzione. Sostituisci le coordinate di ciascun punto nell'equazione y = ax² + bx + c e ottieni un sistema di tre equazioni.

Per esempio, se la parabola passa per A(1;0), B(0;-5) e C(2;3), scrivi

  • 0 = a + b + c (punto A)
  • -5 = c (punto B)
  • 3 = 4a + 2b + c (punto C)

Risolvi il sistema partendo dall'equazione più semplice. Dal punto B ottieni subito c = -5, poi sostituisci negli altri per trovare a e b.

Strategia vincente Inizia sempre dal punto che dà l'equazione più semplice - di solito quello sull'asse y!

# Parabola

e' il luogo dei punti equidistanti
da un punto fisso detto FUOCO (F)
e da una retta fissa detta
diretice d

(non ha ie coefficen

Trovare l'Equazione con Vertice e un Punto

Quando conosci il vertice V(1;7) e un altro punto A(2;0), hai solo due equazioni ma tre incognite. Il trucco è usare la formula del vertice xv = -b/2a.

Se il vertice ha ascissa 1, allora 1 = -b/2a, da cui ricavi b = -2a. Ora hai la relazione tra a e b!

Sostituisci questa relazione nelle due equazioni dei punti e risolvi il sistema a due incognite. È più semplice di quanto sembri!

Attenzione La formula del vertice ti dà sempre una terza equazione quando ne hai bisogno!

# Parabola

e' il luogo dei punti equidistanti
da un punto fisso detto FUOCO (F)
e da una retta fissa detta
diretice d

(non ha ie coefficen

Trovare l'Equazione con Due Punti e Asse di Simmetria

Questo caso è simile al precedente. Hai due punti A(-1;-7) e B(2;2) più l'asse di simmetria x = 5/8. L'asse ti dà la terza equazione -b/2a = 5/8.

Dalla formula dell'asse ricavi b = -5a/4. Sostituisci questa relazione nelle equazioni dei due punti e risolvi il sistema risultante.

Il bello di questo metodo è che l'asse di simmetria semplifica molto i calcoli, dandoti subito il rapporto tra a e b.

Consiglio Quando hai l'asse di simmetria, usalo sempre per eliminare una variabile prima di sostituire i punti!

# Parabola

e' il luogo dei punti equidistanti
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Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

12

Strumenti Intelligenti NUOVO

Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi

Simulazione d'Esame
Quiz
Flashcard
Saggio

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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Andrea

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C

Chiara Martoni

@chiaramartoni

La parabola è una delle curve più importanti che studierai in matematica! È il grafico di ogni funzione quadratica e ha delle proprietà geometriche affascinanti che la rendono fondamentale sia per i test che per capire il mondo che ti... Mostra di più

# Parabola

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I Parametri della Parabola

Il termine noto c ti dice subito dove la parabola interseca l'asse y - precisamente nel punto (0; c). Quando c = 0, la parabola passa per l'origine, il che semplifica molto i calcoli!

Il coefficiente b influenza la posizione orizzontale. Quando b = 0, il vertice si trova esattamente sull'asse y. Se sia b che c sono zero, il vertice coincide con l'origine degli assi.

Ogni parabola ha un asse di simmetria - una retta verticale che passa per il vertice e divide la curva in due parti speculari. Questo asse è sempre perpendicolare alla direttrice.

Trucco per l'esame: Se conosci il valore di a, puoi subito capire forma e apertura della parabola solo guardando l'equazione!

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Geometricamente parlando, una parabola è il luogo dei punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato fuoco (F) e da una retta fissa detta direttrice. Sembra complicato, ma in realtà è un concetto molto elegante!

Nel piano cartesiano, ogni parabola può essere scritta nella forma esplicita: y = ax² + bx + c. Questo significa che qualsiasi polinomio di secondo grado rappresenta sempre una parabola.

Il coefficiente a è il vero protagonista: determina verso dove si apre la parabola. Se a > 0 la concavità è verso l'alto (come un sorriso), se a < 0 è verso il basso (come una faccina triste).

Ricorda: Il valore assoluto di a controlla anche quanto è "stretta" la parabola - più è grande, più la curva si chiude!

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Il fuoco ha la stessa ascissa del vertice ma ordinata diversa: Fb/2a;(1Δ)/4a-b/2a; (1-Δ)/4a, dove Δ = b² - 4ac è il discriminante. Il fuoco non appartiene mai alla parabola, ma si trova sempre dentro la sua concavità.

La direttrice è una retta orizzontale con equazione y = (1+Δ)/4a. Non interseca mai la parabola ed è sempre equidistante dal vertice rispetto al fuoco.

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Per esempio, se la parabola passa per A(1;0), B(0;-5) e C(2;3), scrivi:

  • 0 = a + b + c (punto A)
  • -5 = c (punto B)
  • 3 = 4a + 2b + c (punto C)

Risolvi il sistema partendo dall'equazione più semplice. Dal punto B ottieni subito c = -5, poi sostituisci negli altri per trovare a e b.

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Se il vertice ha ascissa 1, allora 1 = -b/2a, da cui ricavi b = -2a. Ora hai la relazione tra a e b!

Sostituisci questa relazione nelle due equazioni dei punti e risolvi il sistema a due incognite. È più semplice di quanto sembri!

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Dalla formula dell'asse ricavi b = -5a/4. Sostituisci questa relazione nelle equazioni dei due punti e risolvi il sistema risultante.

Il bello di questo metodo è che l'asse di simmetria semplifica molto i calcoli, dandoti subito il rapporto tra a e b.

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Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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Francesca

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Sudenaz Ocak

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Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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