Dominio e simmetria

Per iniziare a studiare una funzione, è fondamentale determinare il suo dominio. Il procedimento varia in base al tipo di funzione:

• Per le funzioni razionali intere come y = 3x²-2x+5, il dominio è tutto ℝ
• Per le funzioni razionali fratte, devi escludere i valori che annullano il denominatore
• Nelle funzioni irrazionali come y = √$x²-4$, devi verificare che l'espressione sotto radice sia positiva
• Per le funzioni logaritmiche come y = ln$x²-5x-6$, l'argomento deve essere strettamente positivo

Il secondo passo è verificare eventuali simmetrie:

• Una funzione è pari se f$-x$ = f(x) e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate
• Una funzione è dispari se f$-x$ = -f(x) e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine

Ricorda: individuare correttamente dominio e simmetrie ti permette di ridurre notevolmente il lavoro successivo, poiché puoi sfruttare le proprietà geometriche del grafico!

Intersezioni e studio del segno

Per trovare le intersezioni con gli assi devi risolvere due sistemi:

• Per l'asse x: imponi y = 0 nell'equazione della funzione
• Per l'asse y: sostituisci x = 0 e calcoli il valore di y

Lo studio del segno della funzione ti permette di determinare dove il grafico si trova sopra l'asse x (funzione positiva) e dove sotto (funzione negativa). Per farlo:

1. Poni la funzione maggiore di zero: f(x) > 0
2. Risolvi la disequazione ottenuta
3. Segna su una linea dei numeri gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa

Per funzioni complesse, può essere utile analizzare separatamente numeratore e denominatore, determinando prima il loro segno e poi quello della funzione completa.

Attenzione: alcune funzioni, come quelle esponenziali, possono essere sempre positive in tutto il loro dominio. Non dimenticare di verificare questa possibilità!

Studio dei limiti

I limiti ci permettono di capire come si comporta la funzione quando ci si avvicina a determinati punti o all'infinito. Il tipo di limiti da calcolare dipende dal dominio:

Se il dominio è ℝ, studia i limiti per x→+∞ e x→-∞.

Se invece ci sono punti esclusi dal dominio, devi analizzare anche i limiti in prossimità di questi punti, sia da destra che da sinistra.

Per esempio, nella funzione y = $x²+2$/$x²-1$ con dominio ℝ{-1,1}, dovrai calcolare:

• lim x→±∞ $x²+2$/$x²-1$ = 1
• lim x→1⁺ $x²+2$/$x²-1$ = +∞
• lim x→1⁻ $x²+2$/$x²-1$ = -∞
• e analogamente per x→-1

Questo passaggio è cruciale perché ti fornisce informazioni su eventuali asintoti orizzontali, verticali o obliqui del grafico.

Suggerimento: organizza i risultati dei limiti in una tabella per visualizzare meglio il comportamento della funzione nei punti critici!

Asintoti

Un asintoto è una retta alla quale la funzione si avvicina indefinitamente. Gli asintoti possono essere di tre tipi:

1. Asintoto verticale: di equazione x = c, dove c è un punto escluso dal dominio in cui almeno uno dei limiti destro o sinistro è infinito

2. Asintoto orizzontale: di equazione y = l, dove l = lim x→±∞ f(x)

3. Asintoto obliquo: di equazione y = mx + n, dove:

   • m = lim x→±∞ f(x)/x
   • n = lim x→±∞ $f(x) - mx$

Per esempio, studiando y = $x³-1$/$x²-3x-4$, troviamo:

• Asintoti verticali in x = -1 e x = 4
• Asintoto obliquo di equazione y = x+3

Ricorda che una funzione può avvicinarsi al suo asintoto sia dall'alto che dal basso, e questo comportamento può cambiare lungo l'asintoto stesso.

Nota: se il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore più 1, la funzione non ha asintoti obliqui!

Studio della derivata prima

La derivata prima ci permette di determinare dove la funzione è crescente e dove è decrescente:

• Se f'(x) > 0 in un intervallo, la funzione è crescente in quell'intervallo
• Se f'(x) < 0 in un intervallo, la funzione è decrescente in quell'intervallo

Per trovare i punti di massimo e minimo relativi:

1. Calcola la derivata prima
2. Determina i punti in cui f'(x) = 0 (punti stazionari)
3. Studia il segno della derivata prima a destra e a sinistra di ciascun punto stazionario

Esempio: per y = $x³-8$/x⁵, calcoliamo f'(x) = $-x³+32$/x⁵ Studiando il segno di f'(x), troviamo che la funzione è:

• Crescente per 0 < x < 2∛4
• Decrescente per x < 0 e x > 2∛4

I punti dove f'(x) = 0 sono possibili punti di massimo o minimo relativi.

Consiglio pratico: la derivata prima rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in ogni punto. Visualizza questo concetto per comprendere meglio crescita e decrescita!

Derivata seconda e conclusione

La derivata seconda ti permette di studiare la concavità della funzione:

• Se f''(x) > 0 in un intervallo, la curva volge la concavità verso l'alto
• Se f''(x) < 0 in un intervallo, la curva volge la concavità verso il basso

I punti di flesso sono i punti in cui la concavità cambia, quindi dove f''(x) = 0 (a condizione che f''(x) cambi segno attraversando quel punto).

Per classificare completamente i punti critici:

• Massimo relativo in xₒ: f'(xₒ) = 0 e f''(xₒ) < 0
• Minimo relativo in xₒ: f'(xₒ) = 0 e f''(xₒ) > 0
• Flesso a tangente orizzontale in xₒ: f'(xₒ) = 0 e f''(xₒ) = 0
• Flesso a tangente obliqua in xₒ: f'(xₒ) ≠ 0 e f''(xₒ) = 0

Consiglio: quando non riesci a classificare un punto con il test della derivata seconda, puoi sempre usare lo studio del segno della derivata prima nei dintorni del punto!

Riepilogo dello studio di funzione

Ecco i passi fondamentali per lo studio completo di una funzione:

1. Determina il dominio
2. Verifica eventuali simmetrie (funzione pari o dispari)
3. Calcola le intersezioni con gli assi
4. Studia il segno della funzione $dove è positiva/negativa$
5. Calcola i limiti e individua gli asintoti
6. Analizza crescenza e decrescenza tramite la derivata prima
7. Trova massimi, minimi relativi e flessi usando derivata prima e seconda

Seguendo metodicamente questi passaggi, riuscirai a tracciare correttamente il grafico di qualsiasi funzione. Ricorda che ogni passo fornisce informazioni importanti e complementari, che insieme compongono il quadro completo del comportamento della funzione.

Suggerimento finale: disegna il grafico man mano che procedi con lo studio, aggiungendo nuove informazioni ad ogni passaggio. Questo ti aiuterà a visualizzare meglio la funzione!