Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

Esistono diversi metodi per risolvere i sistemi lineari. Ecco i principali:

1. Metodo di sostituzione: Si ricava un'incognita da una delle due equazioni e si sostituisce l'espressione ottenuta nell'altra equazione.

Esempio: Per il sistema {x + y = 3, x - 2y = 0}, ricaviamo x dalla prima equazione: x = 3 - y. Sostituendo nella seconda: (3 - y) - 2y = 0, da cui si ricava y = 1 e quindi x = 2.

2. Metodo del confronto: È un caso particolare del metodo di sostituzione. Si ricava la stessa incognita in entrambe le equazioni e si uguagliano le due espressioni trovate.

3. Metodo di riduzione: Sommando o sottraendo opportunamente membro a membro le due equazioni o loro multipli, si ottiene un'equazione in una sola incognita.

Esempio: Per il sistema {2x - 3y = 5, 4x + 3y = 1}, moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 1, poi sottraiamo: 4x - 6y = 10, 4x + 3y = 1. Sottraendo membro a membro: -9y = 9, da cui y = -1.

4. Metodo di Cramer: Utilizza le matrici e i determinanti per risolvere il sistema.

Definizione: Il metodo di Cramer si basa sulle formule: x = Dx/D e y = Dy/D, dove D è il determinante del sistema, Dx è il determinante ottenuto sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti di x, e Dy è ottenuto in modo analogo per y.

Highlight: Il metodo di Cramer è particolarmente efficace per sistemi 2x2 e 3x3, ma diventa meno pratico per sistemi di ordine superiore.

Questi metodi offrono diverse strategie per affrontare i sistemi lineari, permettendo di scegliere l'approccio più adatto in base alla natura del problema e alle preferenze personali.