Matematica

Metodi di Risoluzione con i Determinanti

metodo di Cramer

778

•

26 gen 2026

•

5 pagine

Guida Completa ai Sistemi di Equazioni

Cristina Luschi

@ristinauschi_zikgkjd

Il risolvere sistemi di equazioni è una competenza fondamentale in... Mostra di più

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$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Metodo di Sostituzione

Il metodo di sostituzione è uno dei più intuitivi per risolvere sistemi di equazioni. Inizia con l'isolare un'incognita da una delle equazioni e poi sostituirla nell'altra.

Prendiamo come esempio il sistema $\begin{cases} x - 3y = 7 \ 2x + 5y = 3 \end{cases}$ . Dalla prima equazione isoliamo $x$ ottenendo $x = 7 + 3y$ . Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione: $2 $7 + 3y$ + 5y = 3 $. Sviluppando otteniamo$ 14 + 6y + 5y = 3 $, quindi$ 11y = -11$.

Da qui ricaviamo facilmente $y = -1$ . Sostituendo questo valore nell'espressione $x = 7 + 3y$ , otteniamo $x = 7 + 3(-1) = 4$ . La soluzione del sistema è quindi $\begin{cases} x = 4 \ y = -1 \end{cases}$ .

💡 Consiglio pratico: Quando usi il metodo di sostituzione, cerca di isolare l'incognita che ha il coefficiente più semplice (possibilmente 1) per evitare calcoli con frazioni.

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Metodo del Confronto

Con questo metodo, isoliamo la stessa incognita da entrambe le equazioni e poi confrontiamo le espressioni ottenute.

Consideriamo il sistema $\begin{cases} 3x + 5y = -1 \ 2x - 3y = 12 \end{cases}$ . Isoliamo $x$ da entrambe: dalla prima otteniamo $x = \frac{-1 - 5y}{3}$ , dalla seconda $x = \frac{12 + 3y}{2}$ .

Poiché si tratta della stessa incognita, le due espressioni devono essere uguali: $\frac{-1 - 5y}{3} = \frac{12 + 3y}{2}$ . Per eliminare le frazioni, moltiplichiamo entrambi i membri per 6: $2 $-1 - 5y$ = 3 $12 + 3y$ $.

Sviluppando otteniamo $-2 - 10y = 36 + 9y$ , quindi $-19y = 38$ , da cui $y = -2$ . Sostituendo nell'espressione di $x$ troviamo $x = 3$ . La soluzione è $\begin{cases} x = 3 \ y = -2 \end{cases}$ .

🔍 Attenzione: Il metodo del confronto può essere molto utile quando isolare la stessa incognita è immediato in entrambe le equazioni, ma richiede attenzione nei passaggi algebrici.

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Metodo di Addizione e Sottrazione

Questo metodo sfrutta l'addizione o sottrazione delle equazioni per eliminare una delle incognite.

Prendiamo il sistema $\begin{cases} 2x + 3y = -2 \ 5x + 4y = 3 \end{cases}$ . Per eliminare la $x$ , moltiplichiamo la prima equazione per 5 e la seconda per 2, ottenendo: $\begin{cases} 10x + 15y = -10 \ 10x + 8y = 6 \end{cases}$ .

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, eliminiamo la $x$ : $0 + 7y = -16 $, quindi$ y = -\frac{16}{7} $. Sostituendo questo valore nella prima equazione originale, troviamo il valore di$ x$.

Questo metodo è particolarmente efficace quando i coefficienti dell'incognita da eliminare sono già uguali o facilmente riconducibili a valori uguali.

🧮 Trucco: Scegli l'incognita da eliminare in base ai coefficienti più semplici da manipolare. Se i coefficienti sono già opposti, puoi sommare direttamente le equazioni!

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Metodo di Cramer

Il metodo di Cramer utilizza i determinanti per risolvere sistemi di equazioni in modo sistematico.

Per un sistema nella forma $\begin{cases} ax+by=c\a'x+b'y=c' \end{cases}$ , calcoliamo:

Il determinante principale: $D=\begin{vmatrix} a & b\a' & b' \end{vmatrix} = ab'-ba'$
Il determinante per $x$ : $D_x=\begin{vmatrix} c & b\c' & b' \end{vmatrix} = cb'-bc'$
Il determinante per $y$ : $D_y=\begin{vmatrix} a & c\a' & c' \end{vmatrix} = ac'-ca'$

Se $D \neq 0$ , la soluzione è $x = \frac{D_x}{D}$ e $y = \frac{D_y}{D}$ .

Il metodo di Cramer è particolarmente utile quando devi risolvere molti sistemi simili o quando vuoi una formula diretta per la soluzione. Funziona anche con sistemi di dimensioni maggiori.

📐 Nota importante: Se $D = 0$ e anche $D_x = D_y = 0$ , il sistema è indeterminato (infinite soluzioni). Se $D = 0$ ma $D_x \neq 0$ o $D_y \neq 0$ , il sistema è impossibile (nessuna soluzione).

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Applicazione del Metodo di Cramer

Vediamo un esempio concreto del metodo di Cramer con il sistema $\begin{cases} 2x + 4y = 1 \ 3x - 2y = -1 \end{cases}$ .

Calcoliamo il determinante principale: $D = \begin{vmatrix} 2 & 4 \ 3 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (4)(3) = -4 - 12 = -16$

Calcoliamo il determinante per $x$ : $D_x = \begin{vmatrix} 1 & 4 \ -1 & -2 \end{vmatrix} = (1)(-2) - (4)(-1) = -2 + 4 = 2$

Calcoliamo il determinante per $y$ : $D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 3 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Poiché $D \neq 0$ , possiamo calcolare i valori delle incognite: $x = \frac{D_x}{D} = \frac{2}{-16} = -\frac{1}{8}$ $y = \frac{D_y}{D} = \frac{-5}{-16} = \frac{5}{16}$

⭐ Pro-tip: Il metodo di Cramer è particolarmente efficace per verificare se un sistema ha soluzione senza doverla calcolare completamente. Basta controllare il valore di $D$ !

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