Materie

Matematica

26 nov 2025

488

5 pagine

Guida Completa ai Sistemi di Equazioni

Cristina Luschi @ristinauschi_zikgkjd

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Il risolvere sistemi di equazioni è una competenza fondamentale in algebra. Esistono diversi metodi efficaci per trovare i... Mostra di più

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Metodo di Sostituzione

Il metodo di sostituzione è uno dei più intuitivi per risolvere sistemi di equazioni. Inizia con l'isolare un'incognita da una delle equazioni e poi sostituirla nell'altra.

Prendiamo come esempio il sistema $\begin{cases} x - 3y = 7 \ 2x + 5y = 3 \end{cases}$ . Dalla prima equazione isoliamo $x$ ottenendo $x = 7 + 3y$ . Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione $2(7 + 3y) + 5y = 3$ . Sviluppando otteniamo $14 + 6y + 5y = 3$ , quindi $11y = -11$ .

Da qui ricaviamo facilmente $y = -1$ . Sostituendo questo valore nell'espressione $x = 7 + 3y$ , otteniamo $x = 7 + 3(-1) = 4$ . La soluzione del sistema è quindi $\begin{cases} x = 4 \ y = -1 \end{cases}$ .

💡 Consiglio pratico Quando usi il metodo di sostituzione, cerca di isolare l'incognita che ha il coefficiente più semplice (possibilmente 1) per evitare calcoli con frazioni.

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Metodo del Confronto

Con questo metodo, isoliamo la stessa incognita da entrambe le equazioni e poi confrontiamo le espressioni ottenute.

Consideriamo il sistema $\begin{cases} 3x + 5y = -1 \ 2x - 3y = 12 \end{cases}$ . Isoliamo $x$ da entrambe dalla prima otteniamo $x = \frac{-1 - 5y}{3}$ , dalla seconda $x = \frac{12 + 3y}{2}$ .

Poiché si tratta della stessa incognita, le due espressioni devono essere uguali $\frac{-1 - 5y}{3} = \frac{12 + 3y}{2}$ . Per eliminare le frazioni, moltiplichiamo entrambi i membri per 6 $2(-1 - 5y) = 3(12 + 3y)$ .

Sviluppando otteniamo $-2 - 10y = 36 + 9y$ , quindi $-19y = 38$ , da cui $y = -2$ . Sostituendo nell'espressione di $x$ troviamo $x = 3$ . La soluzione è $\begin{cases} x = 3 \ y = -2 \end{cases}$ .

🔍 Attenzione Il metodo del confronto può essere molto utile quando isolare la stessa incognita è immediato in entrambe le equazioni, ma richiede attenzione nei passaggi algebrici.

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Metodo di Addizione e Sottrazione

Questo metodo sfrutta l'addizione o sottrazione delle equazioni per eliminare una delle incognite.

Prendiamo il sistema $\begin{cases} 2x + 3y = -2 \ 5x + 4y = 3 \end{cases}$ . Per eliminare la $x$ , moltiplichiamo la prima equazione per 5 e la seconda per 2, ottenendo $\begin{cases} 10x + 15y = -10 \ 10x + 8y = 6 \end{cases}$ .

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, eliminiamo la $x$ $0 + 7y = -16$ , quindi $y = -\frac{16}{7}$ . Sostituendo questo valore nella prima equazione originale, troviamo il valore di $x$ .

Questo metodo è particolarmente efficace quando i coefficienti dell'incognita da eliminare sono già uguali o facilmente riconducibili a valori uguali.

🧮 Trucco Scegli l'incognita da eliminare in base ai coefficienti più semplici da manipolare. Se i coefficienti sono già opposti, puoi sommare direttamente le equazioni!

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Metodo di Cramer

Il metodo di Cramer utilizza i determinanti per risolvere sistemi di equazioni in modo sistematico.

Per un sistema nella forma $\begin{cases} ax+by=c\a'x+b'y=c' \end{cases}$ , calcoliamo

Il determinante principale $D=\begin{vmatrix} a & b\a' & b' \end{vmatrix} = ab'-ba'$
Il determinante per $x$ $D_x=\begin{vmatrix} c & b\c' & b' \end{vmatrix} = cb'-bc'$
Il determinante per $y$ $D_y=\begin{vmatrix} a & c\a' & c' \end{vmatrix} = ac'-ca'$

Se $D \neq 0$ , la soluzione è $x = \frac{D_x}{D}$ e $y = \frac{D_y}{D}$ .

Il metodo di Cramer è particolarmente utile quando devi risolvere molti sistemi simili o quando vuoi una formula diretta per la soluzione. Funziona anche con sistemi di dimensioni maggiori.

📐 Nota importante Se $D = 0$ e anche $D_x = D_y = 0$ , il sistema è indeterminato (infinite soluzioni). Se $D = 0$ ma $D_x \neq 0$ o $D_y \neq 0$ , il sistema è impossibile (nessuna soluzione).

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

Applicazione del Metodo di Cramer

Vediamo un esempio concreto del metodo di Cramer con il sistema $\begin{cases} 2x + 4y = 1 \ 3x - 2y = -1 \end{cases}$ .

Calcoliamo il determinante principale $D = \begin{vmatrix} 2 & 4 \ 3 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (4)(3) = -4 - 12 = -16$

Calcoliamo il determinante per $x$ $D_x = \begin{vmatrix} 1 & 4 \ -1 & -2 \end{vmatrix} = (1)(-2) - (4)(-1) = -2 + 4 = 2$

Calcoliamo il determinante per $y$ $D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 3 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Poiché $D \neq 0$ , possiamo calcolare i valori delle incognite $x = \frac{D_x}{D} = \frac{2}{-16} = -\frac{1}{8}$ $y = \frac{D_y}{D} = \frac{-5}{-16} = \frac{5}{16}$

⭐ Pro-tip Il metodo di Cramer è particolarmente efficace per verificare se un sistema ha soluzione senza doverla calcolare completamente. Basta controllare il valore di $D$ !

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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4.9/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

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•

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•

26 nov 2025

•

5 pagine

Guida Completa ai Sistemi di Equazioni

Cristina Luschi

@ristinauschi_zikgkjd

Il risolvere sistemi di equazioni è una competenza fondamentale in algebra. Esistono diversi metodi efficaci per trovare i valori delle incognite in un sistema di equazioni. Vediamo come applicare quattro metodi principali: sostituzione, confronto, addizione/sottrazione e Cramer.

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

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Metodo di Sostituzione

Il metodo di sostituzione è uno dei più intuitivi per risolvere sistemi di equazioni. Inizia con l'isolare un'incognita da una delle equazioni e poi sostituirla nell'altra.

Prendiamo come esempio il sistema $\begin{cases} x - 3y = 7 \ 2x + 5y = 3 \end{cases}$ . Dalla prima equazione isoliamo $x$ ottenendo $x = 7 + 3y$ . Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione: $2(7 + 3y) + 5y = 3$ . Sviluppando otteniamo $14 + 6y + 5y = 3$ , quindi $11y = -11$ .

💡 Consiglio pratico: Quando usi il metodo di sostituzione, cerca di isolare l'incognita che ha il coefficiente più semplice (possibilmente 1) per evitare calcoli con frazioni.

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

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Metodo del Confronto

Con questo metodo, isoliamo la stessa incognita da entrambe le equazioni e poi confrontiamo le espressioni ottenute.

Consideriamo il sistema $\begin{cases} 3x + 5y = -1 \ 2x - 3y = 12 \end{cases}$ . Isoliamo $x$ da entrambe: dalla prima otteniamo $x = \frac{-1 - 5y}{3}$ , dalla seconda $x = \frac{12 + 3y}{2}$ .

Poiché si tratta della stessa incognita, le due espressioni devono essere uguali: $\frac{-1 - 5y}{3} = \frac{12 + 3y}{2}$ . Per eliminare le frazioni, moltiplichiamo entrambi i membri per 6: $2(-1 - 5y) = 3(12 + 3y)$ .

Sviluppando otteniamo $-2 - 10y = 36 + 9y$ , quindi $-19y = 38$ , da cui $y = -2$ . Sostituendo nell'espressione di $x$ troviamo $x = 3$ . La soluzione è $\begin{cases} x = 3 \ y = -2 \end{cases}$ .

🔍 Attenzione: Il metodo del confronto può essere molto utile quando isolare la stessa incognita è immediato in entrambe le equazioni, ma richiede attenzione nei passaggi algebrici.

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Metodo di Addizione e Sottrazione

Questo metodo sfrutta l'addizione o sottrazione delle equazioni per eliminare una delle incognite.

Prendiamo il sistema $\begin{cases} 2x + 3y = -2 \ 5x + 4y = 3 \end{cases}$ . Per eliminare la $x$ , moltiplichiamo la prima equazione per 5 e la seconda per 2, ottenendo: $\begin{cases} 10x + 15y = -10 \ 10x + 8y = 6 \end{cases}$ .

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, eliminiamo la $x$ : $0 + 7y = -16$ , quindi $y = -\frac{16}{7}$ . Sostituendo questo valore nella prima equazione originale, troviamo il valore di $x$ .

Questo metodo è particolarmente efficace quando i coefficienti dell'incognita da eliminare sono già uguali o facilmente riconducibili a valori uguali.

🧮 Trucco: Scegli l'incognita da eliminare in base ai coefficienti più semplici da manipolare. Se i coefficienti sono già opposti, puoi sommare direttamente le equazioni!

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Metodo di Cramer

Il metodo di Cramer utilizza i determinanti per risolvere sistemi di equazioni in modo sistematico.

Per un sistema nella forma $\begin{cases} ax+by=c\a'x+b'y=c' \end{cases}$ , calcoliamo:

Il determinante principale: $D=\begin{vmatrix} a & b\a' & b' \end{vmatrix} = ab'-ba'$
Il determinante per $x$ : $D_x=\begin{vmatrix} c & b\c' & b' \end{vmatrix} = cb'-bc'$
Il determinante per $y$ : $D_y=\begin{vmatrix} a & c\a' & c' \end{vmatrix} = ac'-ca'$

Se $D \neq 0$ , la soluzione è $x = \frac{D_x}{D}$ e $y = \frac{D_y}{D}$ .

Il metodo di Cramer è particolarmente utile quando devi risolvere molti sistemi simili o quando vuoi una formula diretta per la soluzione. Funziona anche con sistemi di dimensioni maggiori.

📐 Nota importante: Se $D = 0$ e anche $D_x = D_y = 0$ , il sistema è indeterminato (infinite soluzioni). Se $D = 0$ ma $D_x \neq 0$ o $D_y \neq 0$ , il sistema è impossibile (nessuna soluzione).

$METODO DI SOSTITUZIONE ISOLO UNA DELLE INCOGNITE DA UNA DELLE DUE EQ.NI \{ \begin{aligned} x - 3y &= 7 \\ 2x + 5y &= 3 \end{aligned} \} \{ \$

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Applicazione del Metodo di Cramer

Vediamo un esempio concreto del metodo di Cramer con il sistema $\begin{cases} 2x + 4y = 1 \ 3x - 2y = -1 \end{cases}$ .

Calcoliamo il determinante principale: $D = \begin{vmatrix} 2 & 4 \ 3 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (4)(3) = -4 - 12 = -16$

Calcoliamo il determinante per $x$ : $D_x = \begin{vmatrix} 1 & 4 \ -1 & -2 \end{vmatrix} = (1)(-2) - (4)(-1) = -2 + 4 = 2$

Calcoliamo il determinante per $y$ : $D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 3 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Poiché $D \neq 0$ , possiamo calcolare i valori delle incognite: $x = \frac{D_x}{D} = \frac{2}{-16} = -\frac{1}{8}$ $y = \frac{D_y}{D} = \frac{-5}{-16} = \frac{5}{16}$

⭐ Pro-tip: Il metodo di Cramer è particolarmente efficace per verificare se un sistema ha soluzione senza doverla calcolare completamente. Basta controllare il valore di $D$ !

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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Stefano S

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Samantha Klich

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Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

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