Scomposizioni: raccoglimento totale, raccoglimento parziale, prodotti notevoli e regola di Ruffini

Didascalia alternativa:

4x² • 2x = 8x³; 4x² • 4y = 16x²y 12x6 + 8x³ + 16x²y = 12x6 + 8x³ + 16x²y Il raccoglimento parziale è un metodo di scomposizione dei polinomi che consente di scomporre un polinomio attraverso due raccoglimenti successivi, tra cui una parziale e uno totale. Il raccoglimento parziale si può applicare solo ai polinomi con un numero di termini pari e nei polinomi in cui non c'è un fattore comune tra tutti. Si seguono alcuni passaggi: 1) Dobbiamo assicurarci che non si possa effettuare il raccoglimento totale e che il numero dei monomi sia pari; x³ + x² + 3x +3 2) Suddividiamo i vari termini in coppie tali da avere un fattore comune tra i due; x³ + x² e 3x + 3 3) Raccogliamo il fattore comune per ogni coppia di monomi scelta; x³ + x² raccogliamo il fattore comune x² e otteniamo: x³ + x² = x²(x+1) E facciamo lo stesso passaggio anche con la seconda coppia 3x + 3 raccogliamo il fattore comune 3 e otteniamo: 3x + 3 = 3(x+1) Così ricaviamo: x³ + x² + 3x + 3 = x²(x+1) + 3(x+1) ↓ ↓ x³ + x² 3x + 3 4) Raccogliamo a fattor comune le parentesi tonde uguali ottenute al punto precedente; x³ + x² + 3x + 3 = x²(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x²+3) Quindi la fattorizzazione (scrivere un polinomio come prodotto di altri due polinomi) di questo raccoglimento parziale è (x+1)(x²+3) Scomporre un polinomio vuol dire scrivere il polinomio dato come prodotto di polinomi di grado inferiore. Per svolgere la scomposizione si può procedere con vari metodi di raccoglimento, con la regola dei prodotti notevoli oppure con la regola di Ruffini. Questa scelta dipende dal numero di termini del polinomio. Per la scomposizione come prima cosa si deve verificare se è possibile effettuare il raccoglimento a fattor comune. In questo caso dovremmo fare il raccoglimento totale e poi usare i vari tipi di scomposizioni che variano in base al numero di termini. 2 termini - differenza di quadrati a² - b² = (a+b)(a-b) - differenza di cubi a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²) - somma di cubi a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²) 3 termini - quadrato di un binomio a² +/- 2ab + b² = (a+/-b)² - regola di Ruffini - trinomio speciale x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = (x+2)(x+3) 4 termini - cubo di binomio a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³ - regola di Ruffini - raccoglimento parziale 5 termini - regola di Ruffini 6 termini - quadrato di trinomio a² + b²+ c² + 2ab + 2ac + 2bc = (a+b+c)² - raccoglimento parziale - regola di Ruffini 7 o più termini - raccoglimento parziale (se i termini sono di un numero pari) - regola di Ruffini Esempi: 1. 2x³ + 8x² + 8x il fattore 2x è comune a tutti i termini e quindi facciamo un raccoglimento totale 2x³ + 8x² + 8x = 2x (x²+4x+4) il polinomio ha tre termini ed è lo sviluppo di un quadrato di binomio 2x³ + 8x² + 8x = 2x (x²+4x+4) = 2x (x+2)² 2. 2ab + 3a + 10b + 15 i termini del polinomio non hanno nessun fattore in comune, e ciò rende impossibile fare il raccoglimento totale, quindi, visto che è un polinomio con termini pari, dovremmo fare un raccoglimento parziale 2ab + 3a + 10b + 15 = a (2b+3)+5 (2b+3) raccogliamo a nei primi due e 5 negli ultimi due 2ab + 3a + 10b + 15 = a (2b+3) +5 (2b+3) = (2b+3) (a+5) si termina il raccoglimento Scomporre un polinomio secondo la regola di Ruffini: - cerchiamo lo zero del polinomio, cioè il valore che sostituito al posto della variabile rende il polinomio uguale a 0 (gli eventuali zeri interi di un polinomio a coefficienti interi vanno cercati tra i divisori interi del termine noto del polinomio) (gli eventuali zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi vanno cercati tra le frazioni aventi come numeratore un divisore del termine noto e come denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo); - dividiamo il polinomio per x - zero, attraverso la regola di Ruffini; - trovato il quoziente riscriviamo il polinomio come prodotto tra il divisore e il quoziente appena trovato (nel caso in cui il quoziente sia scomponibile, continuiamo con la scomposizione); Esempio: x³+4x²+x-6 il termine noto è 6, e 6 è divisibile per 6,-6,3,-3,1,-1, quindi dobbiamo provare a scambiare le x e se il risultato del polinomio torna 0, avremo trovato lo zero del nostro polinomio. si parte dal più piccolo al più grande e in questo caso è 1 P(1) = 1³ + 4 • 1²+1-6=0 a questo punto, trovato lo zero del polinomio, dividiamo il polinomio iniziale per x - 1 (che in questo caso è lo zero trovato, sennò potrebbe essere qualsiasi altro numero) facciamo la divisione attraverso la regola di Ruffini e il quoziente che troviamo sarà 1x² + 5x + 6 (x-1) (1x² + 5x + 6) riscriviamo il polinomio come prodotto tra il divisore ed il dividendo (x-1) (x+2) (x+3) abbiamo scomposto il dividendo. per farlo abbiamo cercato due numeri che come prodotto diano 6 e gli stessi due numeri che sommandoli diano 5, quindi 3 e 2 Esempio 2: 2x³ + x² + x - 1 qui lo zero del polinomio potrebbe essere 1 o -1, ma entrambi i numeri non danno come risultato del polinomio 0, quindi dovremo cercare lo zero secondo il secondo metodo, attraverso una frazione, che avrà come numeratore un divisore del termine noto e come denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo. in questo caso al numeratore di potrà essere +/- 1 e al denominatore +/- 1 0 +/- 2 P(1/2) = 2 (½)³ + (1/2)² + 1 - 1 = 0 col -1 e 1 avevamo già provato prima e non tornava, però in questo caso, con ½2, il risultato torna zero e quindi abbiamo trovato lo 0 della funzione facciamo la divisione attraverso la regola di Ruffini e il quoziente che troviamo sarà 2x² +2x +2 (x-2) (2x²+2x+2) riscriviamo il polinomio come prodotto tra il divisore ed il dividendo (x-2)2(x²+x+1) raccogliamo il 2 nel dividendo (2x-1) (x²+x+1) moltiplichiamo il 2 per il divisore e abbiamo finito la scomposizione